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Satz von Wintner Wielandt Der ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Theorie der linearen Operatoren einem Teilgebiet d

Satz von Wintner-Wielandt

Der Satz von Wintner-Wielandt ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Theorie der linearen Operatoren, einem Teilgebiet der Funktionalanalysis, das enge Verbindungen zur theoretischen Physik aufweist. Er geht in seiner ursprünglichen Fassung zurück auf Aurel Wintner (1903–1958) und Helmut Wielandt (1910–2001) und gibt Aufschluss über die Frage, inwieweit die quantenmechanischen Grundoperatoren, welche mit der heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation verknüpft sind, als beschränkte Operatoren existieren.

Im Zusammenhang mit dem Satz von Wintner-Wielandt entstand eine Reihe von weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben sei ein normierter Vektorraum und dazu die normierte Algebra der beschränkten linearen Operatoren von , versehen mit der Operatornorm . Der Identitätsoperator von werde mit bezeichnet.

Für zwei lineare Operatoren und auf und einen (reellen oder komplexen) Skalar sei unter (H) die folgende Gleichung (heisenbergsche Vertauschungsrelation) verstanden:

Dann gilt:

Die Gleichung (H) ist dann und nur dann erfüllbar, wenn ist, also genau dann, wenn und miteinander vertauschbar sind.

Beweis Bearbeiten

Wintner hat einen Beweis mit Hilfe der Spektraltheorie geliefert.

Einen anderen und allgemeineren, dabei leichter zugänglichen Beweis gab Wielandt. Der Beweis von Wielandt lässt sich wie folgt darstellen:

I: Ausweitung der heisenbergschen Vertauschungsrelation Bearbeiten

Wegen lässt sich die heisenbergsche Vertauschungsrelation für jedes auf die folgende Identität ausweiten:

Dies ergibt sich mittels vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

Den Induktionsanfang für liefert (H) selbst.

Induktionsschritt :

Mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich mittels Einsetzen weiter:

Somit folgt:

II: Eigentlicher Widerspruchsbeweis Bearbeiten

Nun wird als Widerspruchsannahme als gegeben angesehen.

Dann folgt zunächst mit (H), dass nicht der Nulloperator sein kann, und wegen (H1) gilt dies dann für jedes und jedes in gleicher Weise.

Andererseits erhält man aus (H1) für jedes die folgende Abschätzung:

Also weiter:

Also schließlich:

Nun kann man durch teilen und erhält für jedes :

Mit (H2) gelangt man wie gewünscht zu einem Widerspruch, denn die Menge der natürlichen Zahlen hat innerhalb der reellen Zahlen keine obere Schranke.

III: Abschluss Bearbeiten

Es muss demnach gelten. Dies aber besagt, dass der Nulloperator ist, was gleichbedeutend mit ist.

Zusammenhang mit den quantenmechanischen Grundoperatoren Bearbeiten

Der Satz von Wintner-Wielandt impliziert, dass die quantenmechanischen Grundoperatoren nicht sämtlich beschränkt sein können, also unstetig sein müssen. Insbesondere können die Hilberträume der Quantenmechanik nicht von endlicher Dimension sein.

Weiterhin ist nachgewiesen, dass im Falle der Gültigkeit von (H) der Skalar stets rein imaginär, also ohne Realteil sein muss, wobei Voraussetzung ist, dass (H) überhaupt sinnvoll ist.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Wie der Beweis zeigt, ist die Aussage des Satzes von Wintner-Wielandt in gleicher Weise für jede normierte Algebra mit Einselement gültig.

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten Bearbeiten

Monographien Bearbeiten

  • Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4 (MR0165651).
  • Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book (= Graduate Texts in Mathematics. Band 19). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1982, ISBN 3-540-90090-X (MR0675952).
  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8 (MR2380292).
  • Johann v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1932 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 38). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04133-8 (MR0223138).
  • Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teil 1: Grundlagen (= Mathematische Leitfäden). Teubner Verlag, Stuttgart [u. a.] 2000, ISBN 3-519-02236-2 (MR1887367).

Weblinks Bearbeiten

Fußnoten und Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wintner: Physical Rev. Band 71.
  2. ↑ Wielandt: Math. Ann. Band 121.
  3. ↑ Collatz, S. 77–79.
  4. ↑ Heuser, S. 102.
  5. Halmos, S. 126–127, 333.
  6. Wobei ist der sogenannte Kommutator der beiden Operatoren und .
  7. Halmos, S. 333.
  8. Halmos, S. 126, bezeichnet die beiden Beweise als two beautiful proofs.
  9. In einer Operatoralgebra schreibt man für die Hintereinanderausführung zweier Operatoren und aus Übersichtlichkeitsgründen oft statt .
  10. Hier ist zu beachten.
  11. Denn nach Ausmultiplizieren heben sich die beiden mittleren Terme weg.
  12. Dies zeigt man ausgehend von (H1) mit Hilfe eines weiteren Induktionsbeweises.
  13. Von rechts nach links gelesen!
  14. Da nicht der Nulloperator ist, gilt .
  15. v. Neumann, S. 123.
  16. Halmos, S. 126.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Wintner Wielandt ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Theorie der linearen Operatoren einem Teilgebiet der Funktionalanalysis das enge Verbindungen zur theoretischen Physik aufweist Er geht in seiner ursprunglichen Fassung zuruck auf Aurel Wintner 1903 1958 1 und Helmut Wielandt 1910 2001 2 und gibt Aufschluss uber die Frage inwieweit die quantenmechanischen Grundoperatoren welche mit der heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation verknupft sind als beschrankte Operatoren existieren 3 4 Im Zusammenhang mit dem Satz von Wintner Wielandt entstand eine Reihe von weitergehenden Untersuchungen Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Beweis 2 1 I Ausweitung der heisenbergschen Vertauschungsrelation 2 2 II Eigentlicher Widerspruchsbeweis 2 3 III Abschluss 3 Zusammenhang mit den quantenmechanischen Grundoperatoren 4 Verallgemeinerung 5 Literatur 5 1 Originalarbeiten 5 2 Monographien 6 Weblinks 7 Fussnoten und EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich folgendermassen formulieren 3 5 Gegeben sei ein normierter Vektorraum X displaystyle X nbsp und dazu die normierte Algebra der beschrankten linearen Operatoren L X displaystyle L X nbsp von X displaystyle X nbsp versehen mit der Operatornorm displaystyle cdot nbsp Der Identitatsoperator von X displaystyle X nbsp werde mit 1X displaystyle mathbf 1 X nbsp bezeichnet Fur zwei lineare Operatoren P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp auf X displaystyle X nbsp und einen reellen oder komplexen Skalar a displaystyle a nbsp sei unter H die folgende Gleichung heisenbergsche Vertauschungsrelation 2 verstanden H P Q a1X displaystyle P Q a mathbf 1 X nbsp 6 Dann gilt Die Gleichung H ist dann und nur dann erfullbar wenn a 0 displaystyle a 0 nbsp ist also genau dann wenn P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp miteinander vertauschbar sind Beweis BearbeitenWintner hat einen Beweis mit Hilfe der Spektraltheorie geliefert 7 Einen anderen und allgemeineren dabei leichter zuganglichen Beweis gab Wielandt 2 8 Der Beweis von Wielandt lasst sich wie folgt darstellen I Ausweitung der heisenbergschen Vertauschungsrelation Bearbeiten Wegen P Q PQ QP displaystyle P Q PQ QP nbsp 9 lasst sich die heisenbergsche Vertauschungsrelation fur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp auf die folgende Identitat ausweiten H1 PQn QnP naQn 1 displaystyle PQ n Q n P naQ n 1 nbsp 10 Dies ergibt sich mittels vollstandiger Induktion Induktionsanfang Den Induktionsanfang fur n 1 displaystyle n 1 nbsp liefert H selbst Induktionsschritt n n 1 displaystyle n to n 1 nbsp PQn 1 Qn 1P PQn QnP Q Qn PQ QP displaystyle PQ n 1 Q n 1 P PQ n Q n P Q Q n PQ QP nbsp 11 Mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich mittels Einsetzen weiter PQn 1 Qn 1P naQn 1 Q Qn a1X naQn aQn displaystyle PQ n 1 Q n 1 P naQ n 1 Q Q n a mathbf 1 X naQ n aQ n nbsp Somit folgt PQn 1 Qn 1P n 1 aQn displaystyle PQ n 1 Q n 1 P n 1 aQ n nbsp II Eigentlicher Widerspruchsbeweis Bearbeiten Nun wird als Widerspruchsannahme a 0 displaystyle a neq 0 nbsp als gegeben angesehen Dann folgt zunachst mit H dass Q displaystyle Q nbsp nicht der Nulloperator sein kann und wegen H1 gilt dies dann fur jedes Qn displaystyle Q n nbsp und jedes Qn 1 displaystyle Q n 1 nbsp in gleicher Weise 12 Andererseits erhalt man aus H1 13 fur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp die folgende Abschatzung n a Qn 1 PQn QnP PQn 1 QnP P Qn Qn P 2 P Qn displaystyle n cdot a cdot Q n 1 PQ n Q n P PQ n 1 Q n P leq P cdot Q n Q n cdot P 2 cdot P cdot Q n nbsp Also weiter n a Qn 1 2 P Qn 1Q displaystyle n cdot a cdot Q n 1 leq 2 cdot P cdot Q n 1 Q nbsp Also schliesslich n a Qn 1 2 P Qn 1 Q displaystyle n cdot a cdot Q n 1 leq 2 cdot P cdot Q n 1 cdot Q nbsp Nun kann man durch a Qn 1 displaystyle a cdot Q n 1 nbsp teilen 14 und erhalt fur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp H2 n 2 P Q a displaystyle n leq tfrac 2 cdot P cdot Q a nbsp Mit H2 gelangt man wie gewunscht zu einem Widerspruch denn die Menge der naturlichen Zahlen N displaystyle mathbb N nbsp hat innerhalb der reellen Zahlen keine obere Schranke III Abschluss Bearbeiten Es muss demnach a 0 displaystyle a 0 nbsp gelten Dies aber besagt dass P Q displaystyle P Q nbsp der Nulloperator ist was gleichbedeutend mit PQ QP displaystyle PQ QP nbsp ist Zusammenhang mit den quantenmechanischen Grundoperatoren BearbeitenDer Satz von Wintner Wielandt impliziert dass die quantenmechanischen Grundoperatoren nicht samtlich beschrankt sein konnen also unstetig sein mussen 3 4 Insbesondere konnen die Hilbertraume der Quantenmechanik nicht von endlicher Dimension sein Weiterhin ist nachgewiesen dass im Falle der Gultigkeit von H der Skalar stets rein imaginar also ohne Realteil sein muss wobei Voraussetzung ist dass H uberhaupt sinnvoll ist 15 Verallgemeinerung BearbeitenWie der Beweis zeigt ist die Aussage des Satzes von Wintner Wielandt in gleicher Weise fur jede normierte Algebra mit Einselement gultig 16 Literatur BearbeitenOriginalarbeiten 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333 Halmos S 126 bezeichnet die beiden Beweise als two beautiful proofs In einer Operatoralgebra schreibt man fur die Hintereinanderausfuhrung zweier Operatoren P X X displaystyle P colon X to X nbsp und Q X X displaystyle Q colon X to X nbsp aus Ubersichtlichkeitsgrunden oft PQ displaystyle PQ nbsp statt P Q displaystyle P circ Q nbsp Hier ist Q0 1X displaystyle Q 0 mathbf 1 X nbsp zu beachten Denn nach Ausmultiplizieren heben sich die beiden mittleren Terme weg Dies zeigt man ausgehend von H1 mit Hilfe eines weiteren Induktionsbeweises Von rechts nach links gelesen Da Qn 1 displaystyle Q n 1 nbsp nicht der Nulloperator ist gilt a Qn 1 0 displaystyle a cdot Q n 1 neq 0 nbsp v Neumann S 123 Halmos S 126 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Wintner Wielandt amp oldid 188470257