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Idealoperator In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge einer algebraischen Struktur mit mindestens einer m

Idealoperator

In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge einer algebraischen Struktur mit mindestens einer multiplikativen zweistelligen Operation, die abgeschlossen bezüglich Produkten mit Elementen aus der gesamten Struktur ist.

Die Ideale gleichen Typs auf einer gegebenen algebraischen Struktur bilden stets ein Hüllensystem, das Idealsystem genannt wird. Zu jedem Idealsystem ist immer ein entsprechender Hüllenoperator gegeben (und umgekehrt), das ist der zugehörige Idealoperator.

Zur einfacheren Darstellung wird hier nur der kommutative Fall beschrieben. Verzichtet man auf die Kommutativität der Multiplikation, dann handelt es sich im Folgenden jedoch um Linksideale, und vertauscht man bei jedem Produkt den linken und den rechten Faktor, ergeben sich entsprechend Rechtsideale. Zweiseitige Ideale oder einfach nur Ideale sind sowohl Links- als auch Rechtsideale. Bei Kommutativität besteht kein Unterschied zwischen diesen drei Arten von Idealen.

Ringideale Bearbeiten

Zahlentheoretische Untersuchungen von Zahlenbereichen, bei denen eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen nicht mehr gegeben war, führten zur Entwicklung der „klassischen“ Idealtheorie für kommutative Ringe.

Definition Bearbeiten

Ist ein Ring, dann ist ein (dedekindsches) Ideal oder -Ideal die Trägermenge einer Untergruppe von , für die gilt:

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die Ideale eines Rings sind genau die Kerne der Ringhomomorphismen des Ringes.
  • Die Ideale eines Rings bilden jeweils ein Hüllensystem, so dass die Ideale durch den zugehörigen Hüllenoperator gegeben sind.

Bemerkungen Bearbeiten

Allgemeine Idealoperatoren Bearbeiten

Da in der Regel nur die jeweilige assoziative zweistellige Operation entscheidend für die Faktorisierung ist (der nicht assoziative Fall wird im Folgenden nicht behandelt), ist es für eine allgemeine Idealtheorie ausreichend, Halbgruppen zu betrachten:

Gegeben sei im Folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe , und es sei

die Komplexmultiplikation über , wobei die Potenzmenge von ist.

bildet dann einen unter anderem kommutativen, assoziativen, vollständigen multiplikativen Verband mit einem Nullelement .

Definition Bearbeiten

Es soll nun

ein Hüllenoperator auf sein, mit der Eigenschaft, dass

wird dann ein -Idealoperator oder kurz -Operator auf genannt, ist das -Idealsystem bzw. -System zu , ein heißt -Ideal und ist das von erzeugte -Ideal. bezeichnet das von erzeugte -Ideal und ist das von erzeugte -Hauptideal.

Bemerkung Bearbeiten

  • ist gewöhnlich kein Ideal, weil es aber für die Idealarithmetik von Vorteil ist, soll hier auch ein unechtes -Hauptideal sein, falls .
  • Zur Unterscheidung von Idealen und beliebigen Teilmengen von werden im Folgenden die Ideale, im Gegensatz zu beliebigen Teilmengen, mit einem entsprechenden Index versehen.

Idealverbände Bearbeiten

Auf sind zwei zweistellige Operationen

gegeben, so dass einen vollständigen Verband bildet, den Verband der -Ideale von . Dabei ist die -Idealverbindung, der -Idealdurchschnitt.

Wie für alle Hüllensysteme gilt auch für jedes -Idealsystem:

Algebraische Idealoperatoren Bearbeiten

ist genau dann algebraisch, wenn algebraisch ist, also

Bezeichnet die Mächtigkeit der Menge , so existiert mit

immer ein algebraischer -Idealoperator zu .

x-Idealoperatoren Bearbeiten

Die -Idealmultiplikation

besitzt zwar die für Ideale charakteristische Eigenschaft

sie bietet aber im Allgemeinen noch nicht genügend Eigenschaften, um gut untersuchen zu können. Als gut geeignet für eine allgemeine Idealtheorie hat sich hingegen die folgende Klasse von -Idealoperatoren erwiesen.

Definition Bearbeiten

So genannte -Idealoperatoren bzw. -Operatoren sind -Idealoperatoren, bei denen Translationen

„stetig“ sind wie bei topologischen Abschlussoperatoren:

mit für jedes und alle .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Mit jedem -Idealoperator ist auch ein -Idealoperator.
  • Für jeden -Idealoperator auf folgt sogar
  • Die zweiseitigen -Ideale einer Halbgruppe sind genau die Kerne von bestimmten Halbgruppenhomomorphismen von , und es gilt
  • Ein zweiseitiges -Idealsystem bildet einen (kommutativen,) assoziativen, quasiganzen und vollständigen multiplikativen Verband .
  • Ebenso ist für zweiseitige -Ideale ein solcher multiplikativer Verband, der zudem stets algebraisch ist.

Bemerkungen Bearbeiten

  • Ein beliebiger -Idealoperator induziert stets einen -Idealoperator, so dass auch -Idealoperatoren sehr allgemeiner Natur sind.
  • Ein anderer, abstrakter Ansatz für eine allgemeine Idealtheorie ist die Beschreibung von Idealsystemen durch entsprechende multiplikative Verbände.
  • In der Regel können Begriffe aus der „klassischen“ Idealtheorie, wie Maximalideal, Primideal usw., problemlos für -Ideale übernommen werden.

r-Idealoperatoren Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ein -Idealoperator auf ist ein -Idealoperator, der zusätzlich translationsabgeschlossen ist, also

und für den auch noch gilt:

Eigenschaften Bearbeiten

  • Für jeden translationsabgeschlossenen -Idealoperator auf folgt sogar
  • Besitzt ein Einselement 1, dann ist jeder translationsabgeschlossene -Idealoperator auf bereits ein -Idealoperator und
  • ist ebenfalls ein -Idealoperator.
  • Jedes zweiseitige -Hauptideal ist ein Multiplikationsideal, das heißt
  • Ein zweiseitiges ist in kürzbar, also

Bemerkung Bearbeiten

  • -Idealsysteme weisen alle wesentlichen Eigenschaften der -Idealsysteme von Ringen auf, weshalb sie eine gute Untersuchung der Teilbarkeitsverhältnisse in erlauben.

Literatur Bearbeiten

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  • K. E. Aubert: Theory of x-ideals. In: Acta Math. Band 107, 1962, S. 1–52.
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  • P. Lorenzen: Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie. In: Math. Z. Band 45, 1939, S. 533–553.
  • M. Ward, R. P. Dilworth: The lattice theory of ova. In: Ann. Math. Band 40, 1939, S. 600–608.
  • L. Fuchs:: Teilweise geordnete algebraische Strukturen. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1966.
  • G. Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. American Mathematical Society, Providence (R. I.) 1973.
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In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge einer algebraischen Struktur mit mindestens einer multiplikativen zweistelligen Operation die abgeschlossen bezuglich Produkten mit Elementen aus der gesamten Struktur ist Die Ideale gleichen Typs auf einer gegebenen algebraischen Struktur bilden stets ein Hullensystem das Idealsystem genannt wird Zu jedem Idealsystem ist immer ein entsprechender Hullenoperator gegeben und umgekehrt das ist der zugehorige Idealoperator Zur einfacheren Darstellung wird hier nur der kommutative Fall beschrieben Verzichtet man auf die Kommutativitat der Multiplikation dann handelt es sich im Folgenden jedoch um Linksideale und vertauscht man bei jedem Produkt den linken und den rechten Faktor ergeben sich entsprechend Rechtsideale Zweiseitige Ideale oder einfach nur Ideale sind sowohl Links als auch Rechtsideale Bei Kommutativitat besteht kein Unterschied zwischen diesen drei Arten von Idealen Inhaltsverzeichnis 1 Ringideale 1 1 Definition 1 2 Eigenschaften 1 3 Bemerkungen 2 Allgemeine Idealoperatoren 2 1 Definition 2 2 Bemerkung 2 3 Idealverbande 2 4 Algebraische Idealoperatoren 3 x Idealoperatoren 3 1 Definition 3 2 Eigenschaften 3 3 Bemerkungen 4 r Idealoperatoren 4 1 Definition 4 2 Eigenschaften 4 3 Bemerkung 5 LiteraturRingideale BearbeitenZahlentheoretische Untersuchungen von Zahlenbereichen bei denen eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen nicht mehr gegeben war fuhrten zur Entwicklung der klassischen Idealtheorie fur kommutative Ringe Definition Bearbeiten Ist R displaystyle R cdot nbsp ein Ring dann ist ein dedekindsches Ideal oder d displaystyle d nbsp Ideal die Tragermenge A d R displaystyle A d subseteq R nbsp einer Untergruppe von R displaystyle R nbsp fur die gilt r R a A d displaystyle forall r in R forall a in A d nbsp r a A d displaystyle r cdot a in A d nbsp Eigenschaften Bearbeiten Die Ideale eines Rings sind genau die Kerne der Ringhomomorphismen des Ringes Die Ideale eines Rings bilden jeweils ein Hullensystem so dass die Ideale durch den zugehorigen Hullenoperator d displaystyle d nbsp gegeben sind Bemerkungen Bearbeiten Es entstanden weitere Idealbegriffe fur Ringe aber auch fur andere algebraische Strukturen wie Verbande Halbgruppen Halbringe usw die mindestens eine assoziative zweistellige Operation besitzen Es gibt auch Ideale bei algebraischen Strukturen mit nicht assoziativen zweistelligen Operationen beispielsweise Lie Algebren Der Begriff des Verbandsideals wurde auch fur beliebige halbgeordnete Mengen zum Ordnungsideal verallgemeinert In der Regel lasst man den Index weg wenn klar ist um welchen Hullenoperator es sich handelt Allgemeine Idealoperatoren BearbeitenDa in der Regel nur die jeweilige assoziative zweistellige Operation entscheidend fur die Faktorisierung ist der nicht assoziative Fall wird im Folgenden nicht behandelt ist es fur eine allgemeine Idealtheorie ausreichend Halbgruppen zu betrachten Gegeben sei im Folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe S displaystyle S cdot nbsp und es sei P S P S P S A B A B a b a A b B displaystyle cdot mathfrak P S times mathfrak P S to mathfrak P S A B mapsto A cdot B a cdot b mid a in A b in B nbsp die Komplexmultiplikation uber S displaystyle S cdot nbsp wobei P S A A S displaystyle mathfrak P S A mid A subseteq S nbsp die Potenzmenge von S displaystyle S nbsp ist P S displaystyle bigl mathfrak P S cup cap cdot bigr nbsp bildet dann einen unter anderem kommutativen assoziativen vollstandigen multiplikativen Verband mit einem Nullelement displaystyle emptyset nbsp Definition Bearbeiten Es soll nun x P S P S A A x displaystyle x mathfrak P S to mathfrak P S A mapsto A x nbsp ein Hullenoperator auf S displaystyle S nbsp sein mit der Eigenschaft dass A P S displaystyle forall A in mathfrak P S nbsp S A x A x displaystyle S cdot A x subseteq A x nbsp x displaystyle x nbsp wird dann ein x displaystyle x nbsp Idealoperator oder kurz x displaystyle x nbsp Operator auf S displaystyle S cdot nbsp genannt I x A x A P S displaystyle mathfrak I x A x mid A in mathfrak P S nbsp ist das x displaystyle x nbsp Idealsystem bzw x displaystyle x nbsp System zu x displaystyle x nbsp ein A x I x displaystyle A x in mathfrak I x nbsp heisst x displaystyle x nbsp Ideal und A x displaystyle A x nbsp ist das von A P S displaystyle A in mathfrak P S nbsp erzeugte x displaystyle x nbsp Ideal a 1 a n x a 1 a n x displaystyle a 1 cdots a n x a 1 cdots a n x nbsp bezeichnet das von a 1 a n S n N displaystyle a 1 cdots a n in S n in mathbb N nbsp erzeugte x displaystyle x nbsp Ideal und a x displaystyle a x nbsp ist das von a S displaystyle a in S nbsp erzeugte x displaystyle x nbsp Hauptideal Bemerkung Bearbeiten displaystyle emptyset nbsp ist gewohnlich kein Ideal weil es aber fur die Idealarithmetik von Vorteil ist soll hier auch x I x displaystyle emptyset x bigcap mathfrak I x nbsp ein unechtes x displaystyle x nbsp Hauptideal sein falls x displaystyle emptyset x emptyset nbsp Zur Unterscheidung von Idealen und beliebigen Teilmengen von S displaystyle S nbsp werden im Folgenden die Ideale im Gegensatz zu beliebigen Teilmengen mit einem entsprechenden Index versehen Idealverbande Bearbeiten Auf I x displaystyle mathfrak I x nbsp sind zwei zweistellige Operationen x I x I x I x A x B x A x x B x A x B x x displaystyle vee x mathfrak I x times mathfrak I x to mathfrak I x A x B x mapsto A x vee x B x A x cup B x x nbsp x I x I x I x A x B x A x x B x A x B x x displaystyle wedge x mathfrak I x times mathfrak I x to mathfrak I x A x B x mapsto A x wedge x B x A x cap B x x nbsp gegeben so dass I x x x displaystyle mathfrak I x vee x wedge x nbsp einen vollstandigen Verband bildet den Verband der x displaystyle x nbsp Ideale von S displaystyle S cdot nbsp Dabei ist x displaystyle vee x nbsp die x displaystyle x nbsp Idealverbindung x displaystyle wedge x nbsp der x displaystyle x nbsp Idealdurchschnitt Wie fur alle Hullensysteme gilt auch fur jedes x displaystyle x nbsp Idealsystem A B P S displaystyle forall A B in mathfrak P S nbsp A x x B x A x B x displaystyle A x wedge x B x A x cap B x nbsp Algebraische Idealoperatoren Bearbeiten I x x x displaystyle mathfrak I x vee x wedge x nbsp ist genau dann algebraisch wenn x displaystyle x nbsp algebraisch ist also a S A P S displaystyle forall a in S forall A in mathfrak P S nbsp A displaystyle A neq emptyset nbsp und a A x a 1 a n A n N a a 1 a n x displaystyle a in A x implies exists a 1 cdots a n in A n in mathbb N a in a 1 cdots a n x nbsp Bezeichnet A displaystyle A nbsp die Machtigkeit der Menge A displaystyle A nbsp so existiert mit x s P S P S A A x s N x N A N N 0 displaystyle x s mathfrak P S to mathfrak P S A mapsto A x s bigcup N x mid N subseteq A N in mathbb N 0 nbsp immer ein algebraischer x displaystyle x nbsp Idealoperator zu x displaystyle x nbsp x Idealoperatoren BearbeitenDie x displaystyle x nbsp Idealmultiplikation x I x I x I x A x B x A x x B x A x B x x displaystyle cdot x mathfrak I x times mathfrak I x to mathfrak I x A x B x mapsto A x cdot x B x A x cdot B x x nbsp besitzt zwar die fur Ideale charakteristische Eigenschaft A x B x I x displaystyle forall A x B x in mathfrak I x nbsp B x x A x A x displaystyle B x cdot x A x subseteq A x nbsp sie bietet aber im Allgemeinen noch nicht genugend Eigenschaften um S displaystyle S cdot nbsp gut untersuchen zu konnen Als gut geeignet fur eine allgemeine Idealtheorie hat sich hingegen die folgende Klasse von x displaystyle x nbsp Idealoperatoren erwiesen Definition Bearbeiten So genannte x displaystyle x nbsp Idealoperatoren bzw x displaystyle x nbsp Operatoren x displaystyle x nbsp sind x displaystyle x nbsp Idealoperatoren bei denen Translationen t S displaystyle forall t in S nbsp ϑ t S S a ϑ t a a t displaystyle vartheta t colon S to S a mapsto vartheta t a a cdot t nbsp stetig sind wie bei topologischen Abschlussoperatoren t S A P S displaystyle forall t in S forall A in mathfrak P S nbsp ϑ t A x ϑ t A x displaystyle vartheta t bigl A x bigr subseteq bigl vartheta t A bigr x nbsp mit ϑ t A ϑ t a a A A t displaystyle vartheta t A vartheta t a mid a in A A cdot t nbsp fur jedes t S displaystyle t in S nbsp und alle A P S displaystyle A in mathfrak P S nbsp Eigenschaften Bearbeiten Mit jedem x displaystyle x nbsp Idealoperator x displaystyle x nbsp ist auch x s displaystyle x s nbsp ein x displaystyle x nbsp Idealoperator Fur jeden x displaystyle x nbsp Idealoperator x displaystyle x nbsp auf S displaystyle S cdot nbsp folgt sogar A B P S displaystyle forall A B in mathfrak P S nbsp A x B A B x displaystyle A x cdot B subseteq A cdot B x nbsp Die zweiseitigen x displaystyle x nbsp Ideale einer Halbgruppe S displaystyle S cdot nbsp sind genau die Kerne von bestimmten Halbgruppenhomomorphismen von S displaystyle S cdot nbsp und es gilt A B P S displaystyle forall A B in mathfrak P S nbsp A x x B x A B x displaystyle A x cdot x B x A cdot B x nbsp Ein zweiseitiges x displaystyle x nbsp Idealsystem bildet einen kommutativen assoziativen quasiganzen und vollstandigen multiplikativen Verband I x x x x displaystyle mathfrak I x vee x wedge x cdot x nbsp Ebenso ist I x s x s x s x s displaystyle mathfrak I x s vee x s wedge x s cdot x s nbsp fur zweiseitige x displaystyle x nbsp Ideale ein solcher multiplikativer Verband der zudem stets algebraisch ist Bemerkungen Bearbeiten Ein beliebiger x displaystyle x nbsp Idealoperator induziert stets einen x displaystyle x nbsp Idealoperator so dass auch x displaystyle x nbsp Idealoperatoren sehr allgemeiner Natur sind Ein anderer abstrakter Ansatz fur eine allgemeine Idealtheorie ist die Beschreibung von Idealsystemen durch entsprechende multiplikative Verbande In der Regel konnen Begriffe aus der klassischen Idealtheorie wie Maximalideal Primideal usw problemlos fur x displaystyle x nbsp Ideale ubernommen werden r Idealoperatoren BearbeitenDefinition Bearbeiten Ein r displaystyle r nbsp Idealoperator r displaystyle r nbsp auf S displaystyle S cdot nbsp ist ein x displaystyle x nbsp Idealoperator der zusatzlich translationsabgeschlossen ist also t S A r I r displaystyle forall t in S forall A r in mathfrak I r nbsp ϑ t A r I r displaystyle vartheta t A r in mathfrak I r nbsp und fur den auch noch gilt a S displaystyle forall a in S nbsp a r a ϑ a S displaystyle a r a cup vartheta a S nbsp Eigenschaften Bearbeiten Fur jeden translationsabgeschlossenen x displaystyle x nbsp Idealoperator x displaystyle x nbsp auf S displaystyle S cdot nbsp folgt sogar t S A P S displaystyle forall t in S forall A in mathfrak P S nbsp ϑ t A x ϑ t A x displaystyle vartheta t bigl A x bigr bigl vartheta t A bigr x nbsp Besitzt S displaystyle S cdot nbsp ein Einselement 1 dann ist jeder translationsabgeschlossene x displaystyle x nbsp Idealoperator x displaystyle x nbsp auf S displaystyle S cdot nbsp bereits ein r displaystyle r nbsp Idealoperator und a S displaystyle forall a in S nbsp 1 x S displaystyle left 1 right x S nbsp und a x ϑ a S S a displaystyle a x vartheta a S S cdot a nbsp r s displaystyle r s nbsp ist ebenfalls ein r displaystyle r nbsp Idealoperator Jedes zweiseitige r displaystyle r nbsp Hauptideal ist ein Multiplikationsideal das heisst a S A r I r displaystyle forall a in S forall A r in mathfrak I r nbsp A r a r B r I r B r r a r A r a r displaystyle A r subset a r iff exists B r in mathfrak I r B r cdot r a r A r neq a r nbsp Ein zweiseitiges a r displaystyle a r nbsp ist in I r r r r displaystyle mathfrak I r vee r wedge r cdot r nbsp kurzbar also a S A r B r I r displaystyle forall a in S forall A r B r in mathfrak I r nbsp A r r a r B r r a r A r B r displaystyle A r cdot r a r B r cdot r a r implies A r B r nbsp wenn a S displaystyle a in S nbsp in S displaystyle S cdot nbsp kurzbar ist Bemerkung Bearbeiten r displaystyle r nbsp Idealsysteme weisen alle wesentlichen Eigenschaften der d displaystyle d nbsp Idealsysteme von Ringen auf weshalb sie eine gute Untersuchung der Teilbarkeitsverhaltnisse in S displaystyle S cdot nbsp erlauben Literatur BearbeitenH Prufer Untersuchungen uber die Teilbarkeitseigenschaften von Korpern In J reine angew Math Band 168 1932 S 1 36 K E Aubert Theory of x ideals In Acta Math Band 107 1962 S 1 52 I Fleischer Equivalence of x systems and m lattices In Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai 33 Contributions to Lattice Theory Szeged 1980 North Holland Amsterdam Oxford New York 1983 S 381 400 P Lorenzen Abstrakte Begrundung der multiplikativen Idealtheorie In Math Z Band 45 1939 S 533 553 M Ward R P Dilworth The lattice theory of ova In Ann Math Band 40 1939 S 600 608 L Fuchs Teilweise geordnete algebraische Strukturen Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1966 G Birkhoff Lattice Theory 3 Auflage American Mathematical Society Providence R I 1973 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Idealoperator amp oldid 200725152