Eine Grothendieck-Topologie ist ein mathematisches Konzept, das es erlaubt, in einem abstrakten kategoriellen Rahmen eine Garbentheorie und eine Kohomologietheorie zu entwickeln. Eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist, nennt man einen Situs. Auf einem Situs kann eine Garbe erklärt werden. Das Konzept der Grothendieck-Topologie wurde um 1960 von Alexander Grothendieck entwickelt, um in der algebraischen Geometrie in positiver Charakteristik einen Ersatz für die topologischen Kohomologietheorien wie bspw. die singuläre Kohomologie zu haben. Die Motivation hierfür kam von den Vermutungen von André Weil, die einen engen Zusammenhang zwischen der topologischen Gestalt (etwa den Bettizahlen) einer Varietät und der Anzahl der Punkte auf ihr über einem endlichen Körper voraussagte (Weil-Vermutungen). Die in diesem Kontext eingeführte étale Topologie zusammen mit der étalen Kohomologie und der l-adischen Kohomologie ermöglichte schließlich den Beweis der Weil-Vermutungen durch Pierre Deligne.
Einführung Bearbeiten
Der für die algebraische Geometrie wichtige, klassische Begriff der Prägarbe auf einem topologischen Raum ordnet jeder offenen Menge eine Menge zu, so dass folgende Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind:
- Für eine Inklusion offener Mengen von gibt es eine als Restriktion bezeichnete Funktion .
- für alle offenen .
- für alle offenen .
(Typisches Beispiel: = Menge der stetigen Funktionen und = Einschränkung einer Funktion auf .)
Betrachtet man das System der offenen Mengen von als Objekte einer Kategorie , deren einzige Morphismen die Inklusionen sind, so besagen obige Bedingungen gerade, dass durch die Daten und ein kontravarianter Funktor von in die Kategorie der Mengen. Ziel ist es, dies auf Situationen, in denen man statt eine beliebige Kategorie hat, zu verallgemeinern.
Viele Konstruktionen verwenden offene Überdeckungen des Raumes und von diesen folgende Eigenschaften:
- Die nur aus bestehende Familie ist eine offene Überdeckung von .
- Ist stetig und eine offene Überdeckung von , so ist eine offene Überdeckung von .
- Ist eine offene Überdeckung von und ist jede Familie eine offene Überdeckung von , so ist die Familie eine offene Überdeckung von .
Die richtige (weil erfolgreiche) Verallgemeinerung der offenen Überdeckung einer Menge auf beliebige Kategorien ist der Begriff des Siebs auf einem Objekt, d. h. einer Menge von Morphismen mit diesem Objekt als festem Ziel, so dass mit jedem Morphismus und jedem von rechts damit komponierbaren Morphismus auch darin enthalten ist. (Im Falle topologischer Räume muss man sich dann auf solche Überdeckungen beschränken, die mit jeder offenen Menge auch alle darin enthaltenen offenen Teilmengen enthalten.) Die Idee der angedeuteten Verallgemeinerung besteht nun darin, festzulegen, welche Siebe auf einem Objekt als „Überdeckung“ gelten und welche Beziehungen zwischen ihnen bestehen sollen. Die nachfolgende Definition, die im Wesentlichen eine Übertragung der oben genannten Überdeckungseigenschaften ist, hat sich als sehr weitreichend erwiesen.
Definition Bearbeiten
Eine Grothendieck-Topologie auf einer kleinen Kategorie ist eine Zuordnung , die jedem Objekt aus eine Menge von Sieben auf zuordnet, so dass Folgendes gilt:
- Maximale Siebe: Für jedes Objekt ist das maximale Sieb aller Morphismen mit Ziel in enthalten.
- Stabilitätsaxiom: Ist ein Morphismus und , so ist .
- Transitivitätsaxiom: Ist und ist ein Sieb auf , so dass für alle , so ist .
Ein Paar , bestehend aus einer kleinen Kategorie und einer darauf definierten Grothendieck-Topologie heißt ein Situs.
Beispiele Bearbeiten
- Ist ein topologischer Raum und ist für jede offene Menge die Menge aller offenen Überdeckungen, die mit jedem Familienmitglied auch alle seine offenen Teilmengen enthalten, so ist eine Grothendieck-Topologie auf . In diesem Sinne wird aus jedem topologische Raum ein Situs.
- Ist eine kleine Kategorie und besteht nur aus dem maximalen Sieb auf , so ist eine Grothendieck-Topologie auf , die sogenannte triviale Grothendieck-Topologie.
- Ist eine kleine Kategorie und besteht aus allen nicht-leeren Sieben auf , so liegt genau dann eine Grothendieck-Topologie vor, wenn man je zwei Pfeile und mit demselben Ziel zu einem kommutativen Quadrat
Basis einer Grothendieck-Topologie Bearbeiten
Eine Basis einer Grothendieck-Topologie in einer Kategorie mit Pullbacks ist gegeben, indem man für jedes Objekt aus Familien von Morphismen als überdeckende Familien von auszeichnet. Diese Familien müssen folgende Axiome erfüllen:
- Ein Isomorphismus ist eine überdeckende Familie von .
- Wenn eine überdeckende Familie von ist und ein Morphismus, dann existiert der Pullback für jedes und die induzierte Familie ist eine überdeckende Familie für .
- Wenn eine überdeckende Familie von ist und wenn für jedes eine überdeckende Familie von ist, so ist eine überdeckende Familie von .
Setzt man für ein Objekt und ein Sieb auf :
Garben auf einer Grothendieck-Topologie Bearbeiten
Eine Prägarbe auf einer Kategorie ist ein kontravarianter Funktor in eine Kategorie , etwa die Kategorie der Mengen oder die Kategorie der abelschen Gruppen. Wenn auf eine Grothendieck-Topologie erklärt ist und Produkte besitzt, so nennt man eine Prägarbe eine Garbe, wenn für jede überdeckende Familie im Diagramm
der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist. Hierbei ist der obere Pfeil von den Projektionen und der untere Pfeil von den Projektionen induziert. Hat nicht genügend Produkte, so fordert man, dass für alle Objekte von die durch definierte Prägarbe eine Garbe ist.
Wie im Fall eines topologischen Raumes kann man Prägarben vergarben, das heißt man erhält einen zum Vergissfunktor linksadjungierten Funktor . Das heißt, man hat eine in Garben und Prägarben natürliche Isomorphie
Ebenso kann man verschiedene Kohomologietheorien entwickeln, etwa die Čech-Kohomologie.
Die Kategorie aller Garben auf einem Situs bildet einen Grothendieck-Topos.
Siehe auch Bearbeiten
- Lawvere-Tierney-Topologie, eine Verallgemeinerung der Grothendieck-Topologie.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag (1992), ISBN 978-0-387-97710-2, Kapitel III.2: Grothendieck-Topologies, Definition 1
- Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag (1992), ISBN 978-0-387-97710-2, Kapitel III.2: Grothendieck-Topologies
- Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag (1992), ISBN 978-0-387-97710-2, Kapitel III.2: Grothendieck-Topologies, Definition 2
- Stacks project: Tag 00VR
- Stacks project: Tag 00WG
- Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag (1992), ISBN 978-0-387-97710-2, Kapitel III.5: The Assiciated Sheaf Functor,
- Nlab: Grothendieck topos