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Betti-Zahl

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Betti-Zahlen eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Von Henri Poincaré wurde gezeigt, dass sie topologische Invarianten sind. Er benannte die Zahlen nach dem Mathematiker Enrico Betti, da sie eine Verallgemeinerung der von Betti in seiner Arbeit über komplexe algebraische Flächen eingeführten Flächenzahlen sind.

Definition Bearbeiten

Es sei ein topologischer Raum. Dann ist die -te Betti-Zahl von

Dabei bezeichnet die -te singuläre Homologiegruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen.

Anschauung Bearbeiten

Der Torus

Obwohl die Definition der Betti-Zahlen sehr abstrakt ist, steckt hinter ihr eine Anschauung. Die Betti-Zahlen geben an, wie viele k-dimensionale nicht zusammenhängende Flächen der entsprechende topologische Raum hat. Die ersten drei Betti-Zahlen besagen anschaulich also:

  • ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten.
  • ist die Anzahl der „zweidimensionalen Löcher“.
  • ist die Anzahl der dreidimensionalen Hohlräume.

Der rechts abgebildete Torus (gemeint ist die Oberfläche) besteht aus einer Zusammenhangskomponente, hat zwei „zweidimensionale Löcher“, zum einen das in der Mitte, zum andern das im Inneren des Torus, und hat einen dreidimensionalen Hohlraum. Die Betti-Zahlen des Torus sind daher 1, 2, 1, die weiteren Betti-Zahlen sind 0.

Ist der zu betrachtende topologische Raum jedoch keine orientierbare kompakte Mannigfaltigkeit, so versagt diese Anschauung allerdings schon.

Eigenschaften Bearbeiten

Beispiele Bearbeiten

  • Die Betti-Zahlen der -Sphäre sind
  • Die Betti-Zahlen der reellen projektiven Ebene sind , genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im . Zwei sehr verschiedene Räume können also in allen Betti-Zahlen übereinstimmen.

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Die Euler-Charakteristik ist die alternierende Summe der Betti-Zahlen, d. h.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hatcher: Algebraic Topology. math.cornell.edu Proposition 2.7
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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Betti Zahlen eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben Von Henri Poincare wurde gezeigt dass sie topologische Invarianten sind Er benannte die Zahlen nach dem Mathematiker Enrico Betti da sie eine Verallgemeinerung der von Betti in seiner Arbeit uber komplexe algebraische Flachen eingefuhrten Flachenzahlen sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anschauung 3 Eigenschaften 4 Beispiele 5 Verwandte Begriffe 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum Dann ist die i displaystyle i nbsp te Betti Zahl von X displaystyle X nbsp b i X dim Q H i X Q displaystyle b i X dim mathbb Q H i X mathbb Q nbsp fur i 0 1 2 displaystyle i 0 1 2 ldots nbsp Dabei bezeichnet H i X Q displaystyle H i X mathbb Q nbsp die i displaystyle i nbsp te singulare Homologiegruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen Anschauung Bearbeiten nbsp Der TorusObwohl die Definition der Betti Zahlen sehr abstrakt ist steckt hinter ihr eine Anschauung Die Betti Zahlen geben an wie viele k dimensionale nicht zusammenhangende Flachen der entsprechende topologische Raum hat Die ersten drei Betti Zahlen besagen anschaulich also b 0 displaystyle b 0 nbsp ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten b 1 displaystyle b 1 nbsp ist die Anzahl der zweidimensionalen Locher b 2 displaystyle b 2 nbsp ist die Anzahl der dreidimensionalen Hohlraume Der rechts abgebildete Torus gemeint ist die Oberflache besteht aus einer Zusammenhangskomponente hat zwei zweidimensionale Locher zum einen das in der Mitte zum andern das im Inneren des Torus und hat einen dreidimensionalen Hohlraum Die Betti Zahlen des Torus sind daher 1 2 1 die weiteren Betti Zahlen sind 0 Ist der zu betrachtende topologische Raum jedoch keine orientierbare kompakte Mannigfaltigkeit so versagt diese Anschauung allerdings schon Eigenschaften Bearbeitenb 0 X displaystyle b 0 X nbsp ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten von X displaystyle X nbsp 1 b 1 X displaystyle b 1 X nbsp ist der Rang der abelisierten Fundamentalgruppe von X displaystyle X nbsp Fur eine orientierbare geschlossene Flache vom Geschlecht g displaystyle g nbsp ist b 0 1 displaystyle b 0 1 nbsp b 1 2 g displaystyle b 1 2g nbsp b 2 1 displaystyle b 2 1 nbsp Allgemein gilt fur jede n displaystyle n nbsp dimensionale orientierbare geschlossene Mannigfaltigkeit die Poincare Dualitat b k b n k displaystyle b k b n k nbsp Fur jede n displaystyle n nbsp dimensionale Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp gilt b k 0 displaystyle b k 0 nbsp fur k gt n displaystyle k gt n nbsp Fur zwei topologische Raume X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp giltb n X Y l m n b l X b m Y displaystyle b n X times Y sum lambda mu n b lambda X b mu Y nbsp Das ist eine direkte Folgerung aus dem Satz von Kunneth Beispiele BearbeitenDie Betti Zahlen der n displaystyle n nbsp Sphare sind b k S n d k 0 d k n 2 f u r n k 0 1 f u r n k 0 o d e r n k 0 0 s o n s t displaystyle b k S n delta k0 delta kn begin cases 2 amp mathrm f ddot u r n k 0 1 amp mathrm f ddot u r n neq k 0 mathrm oder n k neq 0 0 amp mathrm sonst end cases nbsp Die Betti Zahlen der reellen projektiven Ebene sind 1 0 0 0 displaystyle 1 0 0 0 ldots nbsp genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im R n displaystyle mathbb R n nbsp Zwei sehr verschiedene Raume konnen also in allen Betti Zahlen ubereinstimmen Verwandte Begriffe BearbeitenDie Euler Charakteristik ist die alternierende Summe der Betti Zahlen d h x X b 0 X b 1 X b 2 X i 0 1 1 i b i X displaystyle begin aligned chi X amp b 0 X b 1 X b 2 X cdots amp sum i 0 1 dots 1 i b i X end aligned nbsp Literatur BearbeitenEdwin H Spanier Algebraic Topology 1 corrected Springer edition Reprint Springer Berlin u a 1995 ISBN 3 540 90646 0 M I Voitsekhovskii Betti number In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Vorlage EoM idWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Betti Number In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Hatcher Algebraic Topology math cornell edu Proposition 2 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Betti Zahl amp oldid 233019821