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Unendlichzeichen displaystyle infty Mathematische ZeichenArithmetikPluszeichen Minuszeichen Malzeichen Geteiltzeichen Pl

Unendlichzeichen

Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen +
Minuszeichen −, ⁒
Malzeichen ⋅, ×
Geteiltzeichen :, ÷, /
Plusminuszeichen ±, ∓
Vergleichszeichen <, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen √
Prozentzeichen %
Analysis
Summenzeichen Σ
Produktzeichen Π
Differenzzeichen, Nabla ∆, ∇
Prime ′
Partielles Differential ∂
Integralzeichen ∫
Verkettungszeichen ∘
Unendlichzeichen ∞
Geometrie
Winkelzeichen ∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel ⊥, ∥
Dreieck, Viereck △, □
Durchmesserzeichen ⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt ∪, ∩
Differenz, Komplement ∖, ∁
Elementzeichen ∈
Teilmenge, Obermenge ⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge ∅
Logik
Folgepfeil ⇒, ⇔, ⇐
Allquantor ∀
Existenzquantor ∃
Konjunktion, Disjunktion ∧, ∨
Negationszeichen ¬

Das Unendlichzeichen ( oder ∞) ist ein mathematisches Zeichen, mit dem Unendlichkeit symbolisiert wird. Es ähnelt einer liegenden Ziffer Acht. In der Bedeutung als unendlich große Zahl wurde es 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis eingeführt. Die Gründe für diese Wahl sind nicht restlos geklärt; möglicherweise entstand es aus einer Ligatur ↀ des römischen Zahlzeichens CIƆ für die Zahl 1000, oder als geschlossene Variante des letzten griechischen Kleinbuchstabens ω (Omega). Je nach Schriftart sind die beiden Schleifen gleich groß, oder die linke kleiner.

In der modernen Mathematik wird das Unendlichzeichen vor allem zur Beschreibung von Grenzwerten bei Folgen und Reihen eingesetzt. Als Symbol wird es mit übertragener Bedeutung auch außerhalb der Mathematik verwendet.

Geschichte Bearbeiten

Der Mathematiker John Wallis gilt als einer der Pioniere der Infinitesimalrechnung. In seinen Arbeiten entwickelte er unter anderem das Prinzip der Indivisiblen von Bonaventura Cavalieri weiter. Gleich zu Beginn seines in lateinischer Sprache geschriebenen Werks über Kegelschnitte De sectionibus conicis aus dem Jahr 1655 schreibt er:

„Suppono in limine (juxta Bonaventuræ Cavallerii Geometriam Indiviſibilium) Planum quodlibet quaſi ex infinitis lineis parallelis conflari: Vel potius (quod ego mallem) ex infinitis Parallelogrammis æque altis; quorum quidem ſingulorum altitudo fit totius altitudinis , ſive aliquota pars infinite para; (eſto enim nota numeri infiniti;) adeoque omnium ſimul altitudo æqualis altitunini figuræ.“

„Zum Anfang nehme ich (gemäß Bonaventura Cavalieris Geometrie der Indivisibilien) an, dass jede flache Figur aus unendlich vielen parallelen Linien zusammengesetzt ist: Oder vielmehr (was ich bevorzuge) aus unendlich vielen Parallelogrammen gleicher Höhe; jede einzelne dieser Höhen mache der Gesamthöhe, oder auch einen unendlich kleinen Anteil, aus (hierzu bezeichne eine unendliche große Zahl;) daher ist die Höhe aller zusammen genommen gleich der Höhe der Figur.“

– John Wallis: De sectionibus conicis, 1655

An dieser Stelle nimmt Wallis eine signifikante Modifikation des cavalierischen Prinzips vor. Bei ihm besteht eine flache geometrische Figur nicht aus einzelnen Linien, sondern aus Parallelogrammen. Deren Höhe gibt er als , also als unendlich kleinen Teil der Gesamthöhe der Figur, an. Mit dem Symbol bezeichnet er dabei eine unendlich große Zahl.

Römische Zahlzeichen nach Freigius (1582)

Warum Wallis gerade dieses Symbol wählte, ist nicht genau bekannt. Er kannte es vermutlich als eine aus dem 7. Jahrhundert stammende Ligatur ↀ des römischen Zahlzeichens CIƆ (auch M) für die Zahl 1000. Der niederländische Mathematiker Bernard Nieuwentijt verwendete 1695 in seinem Werk Analysis infinitorum ebenfalls ein kleines m als Zeichen für Unendlichkeit. Anderen Autoren zufolge entstand das Zeichen aus einer geschlossenen Variante des letzten griechischen Kleinbuchstabens ω (Omega). Interpretationen des Zeichens als Lemniskate, Möbiusband oder auf der Seite liegende Zahl 8 (englisch „lazy eight“) sind modernerer Natur.

Zu Beginn des 18. Jahrhunderts findet sich das Unendlichzeichen in der Literatur meist im Zusammenhang mit dem Begriff des unendlich Kleinen. Bei Gottfried Leibniz und Isaac Newton galt dessen Bedeutung und Zulässigkeit noch als mathematisches und philosophisches Problem. Erst mit Leonhard Euler, der einen formalen Standpunkt einnahm und im Gegensatz zu Leibniz und Newton metaphysische Legitimationen von unendlich kleinen Größen verwarf, wurde das Unendlichzeichen in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts zum festen Bestandteil der mathematischen Symbolsprache. Im Verlauf des 19. Jahrhunderts wurde dann die Theorie der infinitesimalen Größen durch die mathematisch stringentere Theorie der Differenzial- und Integralrechnung ersetzt. Seitdem dient das Unendlichsymbol vor allem zur Beschreibung von Grenzwerten bei Folgen und Reihen.

Verwendung Bearbeiten

In der modernen Mathematik wird das Unendlichzeichen vor allem verwendet, um potentielle Unendlichkeit darzustellen. Strebt eine Folge von Zahlen gegen einen Grenzwert , so wird dieser Sachverhalt durch

notiert. Dabei symbolisiert , dass die natürliche Zahl beliebig groß werden soll. Das Unendlichzeichen selbst stellt hierbei jedoch keine natürliche Zahl dar. Eine Reihe, also eine unendliche Summe der Glieder einer Folge, wird entsprechend durch

notiert. Für reelle Zahlenfolgen wird auch bestimmte Divergenz definiert und man schreibt dann

Entsprechend wird ein nach oben unbeschränktes Intervall reeller Zahlen mit bezeichnet. In der Integralrechnung werden auch uneigentliche Integrale der Form

betrachtet. Bestimmte Divergenz kann auch nach erfolgen und daher gibt es auch nach unten oder beidseitig unbeschränkte Intervalle und entsprechende Integrale. In der Topologie wird auch eine Erweiterung der reellen Zahlen um die beiden Elemente und betrachtet, in der dann bestimmt divergente Folgen ebenfalls konvergieren. Mit

wird auch die Supremumsnorm einer (beschränkten) Funktion bezeichnet, welche als Grenzwert der Lp-Normen für entsteht.

Symbolik Bearbeiten

Das Zeichen wird mit unterschiedlichen Bedeutungen auch außerhalb der Mathematik verwendet, unter anderem als Symbol für

Als Markenzeichen wird es beispielsweise bei der Lautsprechermarke Infinity, der Automarke Infiniti und der Software Microsoft Visual Studio verwendet. Es findet sich auch in dem Label ♾ für säurefreies und damit lange haltbares Papier.

Objektive z. B. in der Fotografie müssen mittels der Entfernungseinstellung scharf gestellt werden. Die axiale Einstellung relativ zur Filmebene verläuft dabei nicht linear zur Objektentfernung. Für große Distanzen (abhängig von der verwendeten Brennweite) muss nicht mehr sehr präzise eingestellt werden, da die Werte sehr dicht beieinander liegen. Ab einer bestimmten – von der Objektivkonstruktion abhängigen – Entfernung werden alle Objekte gleichzeitig als scharf empfunden. Diese Einstellung ist auf Objektiven meist mit Unendlich () markiert.

Kodierung Bearbeiten

Das Unendlichzeichen in verschiedenen Schriftarten

Das Unendlichzeichen wird in Computersystemen folgendermaßen kodiert:

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
Zeichen Unicode Bezeichnung HTML LaTeX
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt
∞ U+221E infinity Unendlichkeit &#x221E; &#8734; &infin; \infty

Abwandlungen des Unendlichzeichens sind folgende Zeichen:

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
Zeichen Unicode Bezeichnung HTML LaTeX
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt
∝ U+221D proportional to proportional zu &#x221D; &#8733; &prop; \propto
⧞ U+22DE infinity negated with vertical bar mit Vertikalstrich negierte Unendlichkeit &#x22DE; &#8926;
♾ U+267E permanent paper sign Zeichen für säurefreies Papier &#x267E; &#9854;
⧜ U+29DC incomplete infinity unvollständige Unendlichkeit &#x29DC; &#10716;
⧝ U+29DD tie over infinity Bogen über Unendlichkeit &#x29DD; &#10717;

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Brian Clegg: A brief history of infinity. Constable & Robinson, 2013, ISBN 978-1-4721-0764-0.
  • Maria Reményi: Geschichte des Symbols ∞. In: Spektrum der Wissenschaft Highlights 2/13. Spektrum Verlag, 2013.
  • Paolo Zellini: Eine kurze Geschichte der Unendlichkeit. C. H. Beck, 2010, ISBN 978-3-406-59092-4.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Infinity – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: ∞ – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John Wallis: De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus. 1655 (Online bei Google Books).
  2. ↑ Maria Reményi: Geschichte des Symbols ∞. In: Spektrum der Wissenschaft Highlights 2/13. Spektrum Verlag, 2013, S. 41.
  3. Brian Clegg: A brief history of infinity. Constable & Robinson, 2013, Kapitel 6. Labelling the infinite.
  4. Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Springer, 2012, S. 178.
  5. Wendy Doniger O’Flaherty: Dreams, Illusion, and Other Realities. University of Chicago Press, 1986, S. 242–243.
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displaystyle infty Mathematische ZeichenArithmetikPluszeichen Minuszeichen Malzeichen Geteiltzeichen Plusminuszeichen Vergleichszeichen lt gt Wurzelzeichen Prozentzeichen AnalysisSummenzeichen SProduktzeichen PDifferenzzeichen Nabla Prime Partielles Differential Integralzeichen Verkettungszeichen Unendlichzeichen GeometrieWinkelzeichen Senkrecht Parallel Dreieck Viereck Durchmesserzeichen MengenlehreVereinigung Schnitt Differenz Komplement Elementzeichen Teilmenge Obermenge Leere Menge LogikFolgepfeil Allquantor Existenzquantor Konjunktion Disjunktion Negationszeichen Das Unendlichzeichen displaystyle infty oder ist ein mathematisches Zeichen mit dem Unendlichkeit symbolisiert wird Es ahnelt einer liegenden Ziffer Acht In der Bedeutung als unendlich grosse Zahl wurde es 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis eingefuhrt Die Grunde fur diese Wahl sind nicht restlos geklart moglicherweise entstand es aus einer Ligatur des romischen Zahlzeichens CIƆ fur die Zahl 1000 oder als geschlossene Variante des letzten griechischen Kleinbuchstabens w Omega Je nach Schriftart sind die beiden Schleifen gleich gross oder die linke kleiner In der modernen Mathematik wird das Unendlichzeichen vor allem zur Beschreibung von Grenzwerten bei Folgen und Reihen eingesetzt Als Symbol wird es mit ubertragener Bedeutung auch ausserhalb der Mathematik verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Verwendung 3 Symbolik 4 Kodierung 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDer Mathematiker John Wallis gilt als einer der Pioniere der Infinitesimalrechnung In seinen Arbeiten entwickelte er unter anderem das Prinzip der Indivisiblen von Bonaventura Cavalieri weiter Gleich zu Beginn seines in lateinischer Sprache geschriebenen Werks uber Kegelschnitte De sectionibus conicis aus dem Jahr 1655 schreibt er Suppono in limine juxta Bonaventurae Cavallerii Geometriam Indiviſibilium Planum quodlibet quaſi ex infinitis lineis parallelis conflari Vel potius quod ego mallem ex infinitis Parallelogrammis aeque altis quorum quidem ſingulorum altitudo fit totius altitudinis 1 displaystyle tfrac 1 infty nbsp ſive aliquota pars infinite para eſto enim nota displaystyle infty nbsp numeri infiniti adeoque omnium ſimul altitudo aequalis altitunini figurae Zum Anfang nehme ich gemass Bonaventura Cavalieris Geometrie der Indivisibilien an dass jede flache Figur aus unendlich vielen parallelen Linien zusammengesetzt ist Oder vielmehr was ich bevorzuge aus unendlich vielen Parallelogrammen gleicher Hohe jede einzelne dieser Hohen mache 1 displaystyle tfrac 1 infty nbsp der Gesamthohe oder auch einen unendlich kleinen Anteil aus hierzu bezeichne displaystyle infty nbsp eine unendliche grosse Zahl daher ist die Hohe aller zusammen genommen gleich der Hohe der Figur John Wallis De sectionibus conicis 1655 1 An dieser Stelle nimmt Wallis eine signifikante Modifikation des cavalierischen Prinzips vor Bei ihm besteht eine flache geometrische Figur nicht aus einzelnen Linien sondern aus Parallelogrammen Deren Hohe gibt er als 1 displaystyle tfrac 1 infty nbsp also als unendlich kleinen Teil der Gesamthohe der Figur an Mit dem Symbol displaystyle infty nbsp bezeichnet er dabei eine unendlich grosse Zahl nbsp Romische Zahlzeichen nach Freigius 1582 Warum Wallis gerade dieses Symbol wahlte ist nicht genau bekannt Er kannte es vermutlich als eine aus dem 7 Jahrhundert stammende Ligatur des romischen Zahlzeichens CIƆ auch M fur die Zahl 1000 2 Der niederlandische Mathematiker Bernard Nieuwentijt verwendete 1695 in seinem Werk Analysis infinitorum ebenfalls ein kleines m als Zeichen fur Unendlichkeit 2 Anderen Autoren zufolge entstand das Zeichen aus einer geschlossenen Variante des letzten griechischen Kleinbuchstabens w Omega 3 Interpretationen des Zeichens als Lemniskate Mobiusband oder auf der Seite liegende Zahl 8 englisch lazy eight sind modernerer Natur Zu Beginn des 18 Jahrhunderts findet sich das Unendlichzeichen in der Literatur meist im Zusammenhang mit dem Begriff des unendlich Kleinen Bei Gottfried Leibniz und Isaac Newton galt dessen Bedeutung und Zulassigkeit noch als mathematisches und philosophisches Problem Erst mit Leonhard Euler der einen formalen Standpunkt einnahm und im Gegensatz zu Leibniz und Newton metaphysische Legitimationen von unendlich kleinen Grossen verwarf wurde das Unendlichzeichen in der zweiten Halfte des 18 Jahrhunderts zum festen Bestandteil der mathematischen Symbolsprache Im Verlauf des 19 Jahrhunderts wurde dann die Theorie der infinitesimalen Grossen durch die mathematisch stringentere Theorie der Differenzial und Integralrechnung ersetzt Seitdem dient das Unendlichsymbol vor allem zur Beschreibung von Grenzwerten bei Folgen und Reihen 2 Verwendung BearbeitenIn der modernen Mathematik wird das Unendlichzeichen vor allem verwendet um potentielle Unendlichkeit darzustellen Strebt eine Folge von Zahlen a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 ldots nbsp gegen einen Grenzwert a displaystyle a nbsp so wird dieser Sachverhalt durch lim n a n a displaystyle lim n to infty a n a nbsp notiert Dabei symbolisiert n displaystyle n to infty nbsp dass die naturliche Zahl n displaystyle n nbsp beliebig gross werden soll Das Unendlichzeichen selbst stellt hierbei jedoch keine naturliche Zahl dar 4 Eine Reihe also eine unendliche Summe der Glieder einer Folge wird entsprechend durch i 1 a i lim n i 1 n a i displaystyle sum i 1 infty a i lim n to infty sum i 1 n a i nbsp notiert Fur reelle Zahlenfolgen wird auch bestimmte Divergenz definiert und man schreibt dann lim n a n displaystyle lim n to infty a n infty nbsp Entsprechend wird ein nach oben unbeschranktes Intervall reeller Zahlen mit a displaystyle a infty nbsp bezeichnet In der Integralrechnung werden auch uneigentliche Integrale der Form a f x d x lim b a b f x d x displaystyle int a infty f x dx lim b to infty int a b f x dx nbsp betrachtet Bestimmte Divergenz kann auch nach displaystyle infty nbsp erfolgen und daher gibt es auch nach unten oder beidseitig unbeschrankte Intervalle und entsprechende Integrale In der Topologie wird auch eine Erweiterung der reellen Zahlen um die beiden Elemente displaystyle infty nbsp und displaystyle infty nbsp betrachtet in der dann bestimmt divergente Folgen ebenfalls konvergieren Mit f lim p f p displaystyle f infty lim p to infty f p nbsp wird auch die Supremumsnorm einer beschrankten Funktion bezeichnet welche als Grenzwert der Lp Normen fur p displaystyle p to infty nbsp entsteht Symbolik BearbeitenDas Zeichen displaystyle infty nbsp wird mit unterschiedlichen Bedeutungen auch ausserhalb der Mathematik verwendet unter anderem als Symbol fur ein logisches Paradoxon oder einen Teufelskreis beispielsweise in Form des Ouroboros einer Schlange die sich selbst in den Schwanz beisst 5 Ganzheit beispielsweise auf den Tarotkarten Der Magier und Kraft 2 lange Bestandigkeit beispielsweise auf der Flagge der kanadischen Metis einen unendlich weit entfernten Punkt beispielsweise bei der Entfernungseinstellung in einer Kamera steht fur Ewigkeit und Bestandigkeit in der Liebe und FreundschaftAls Markenzeichen wird es beispielsweise bei der Lautsprechermarke Infinity der Automarke Infiniti und der Software Microsoft Visual Studio verwendet Es findet sich auch in dem Label fur saurefreies und damit lange haltbares Papier Objektive z B in der Fotografie mussen mittels der Entfernungseinstellung scharf gestellt werden Die axiale Einstellung relativ zur Filmebene verlauft dabei nicht linear zur Objektentfernung Fur grosse Distanzen abhangig von der verwendeten Brennweite muss nicht mehr sehr prazise eingestellt werden da die Werte sehr dicht beieinander liegen Ab einer bestimmten von der Objektivkonstruktion abhangigen Entfernung werden alle Objekte gleichzeitig als scharf empfunden Diese Einstellung ist auf Objektiven meist mit Unendlich displaystyle infty nbsp markiert Kodierung Bearbeiten nbsp Das Unendlichzeichen in verschiedenen SchriftartenDas Unendlichzeichen wird in Computersystemen folgendermassen kodiert Kodierung in Unicode HTML und LaTeX Zeichen Unicode Bezeichnung HTML LaTeXPosition Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt U 221E infinity Unendlichkeit amp x221E amp 8734 amp infin inftyAbwandlungen des Unendlichzeichens sind folgende Zeichen Kodierung in Unicode HTML und LaTeX Zeichen Unicode Bezeichnung HTML LaTeXPosition Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt U 221D proportional to proportional zu amp x221D amp 8733 amp prop propto U 22DE infinity negated with vertical bar mit Vertikalstrich negierte Unendlichkeit amp x22DE amp 8926 U 267E permanent paper sign Zeichen fur saurefreies Papier amp x267E amp 9854 U 29DC incomplete infinity unvollstandige Unendlichkeit amp x29DC amp 10716 U 29DD tie over infinity Bogen uber Unendlichkeit amp x29DD amp 10717 Siehe auch BearbeitenEndlosknotenLiteratur BearbeitenBrian Clegg A brief history of infinity Constable amp Robinson 2013 ISBN 978 1 4721 0764 0 Maria Remenyi Geschichte des Symbols In 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Unendlichzeichen amp oldid 236556317