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Semiklassische Näherung Eine semiklassische Näherung wörtl halbklassische Näherung in der Quantenphysik steht für eine N

Semiklassische Näherung

Eine semiklassische Näherung (wörtl. halbklassische Näherung) in der Quantenphysik steht für eine Näherung an ein System, in der die niedrigste quantenmechanische Korrektur der klassischen Behandlung des Systems betrachtet wird; es ist also gemeint, dass diese Näherung bzw. Korrektur noch relativ nahe an der klassischen Behandlung des Systems liegt, verglichen mit anderen möglichen Korrekturen, die weiter von der klassischen Behandlung entfernt liegen.

Der Begriff wird dabei auf zwei unterschiedliche Arten verwendet:

Wie der Name schon sagt tritt die quasiklassische oder semiklassische Näherung beim Übergang von der Beschreibung durch die klassische Physik zur Quantenmechanik auf. Beispiele sind hochangeregte Zustände im Atom (hohe Quantenzahlen, Rydberg-Zustand) und Streuprozesse mit hohen Energien, zum Beispiel Coulomb-Anregung bei Streuung von Protonen hoher kinetischer Energie an Atomkernen. Die klassische Beschreibung ist bei letzterem über die abstoßende Coulombwechselwirkung am Gesamtkern. Die Projektile kommen aber dem Kern so nahe, dass sie auch die Wirkung der einzelnen Nukleonen über die Coulombwechselwirkung zu spüren bekommen und diese inelastisch anregen können, sie nähern sich aber nicht so nahe dem Kern, dass sie die Kernkraft selbst spüren. Die Abweichungen der Coulombwechselwirkung mit den einzelnen Nukleonen von der eines punktförmigen Kerns wird dann in der semiklassischen Näherung behandelt.

Semiklassische Näherung in Störungsrechnung nach ℏ Bearbeiten

Der Übergang von der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik sollte im Grenzwert erfolgen. In der Pfadintegral-Formulierung, in der über alle Pfade zwischen zwei Raum-Zeit-Punkten jeweils mit der Wahrscheinlichkeitsamplitude (mit der Wirkung , Lagrangefunktion ) summiert wird, führt das zu stark singulärem Verhalten bei . Der Hauptbeitrag stammt aber von Pfaden in der Nähe der klassischen Lösung, für die die Variation der Wirkung bei Variation des Pfades im Ortsraum, angedeutet durch die Ortsvariable , minimal ist (Lösungen der Lagrangegleichungen).

Im Hamilton-Jacobi-Formalismus erfüllt das klassische die Hamilton-Jacobi-Gleichung für ein nichtrelativistisches Einteilchenproblem mit Potential und Masse :

Wenn man in der Schrödingergleichung folgenden Ansatz macht:

mit

erhält man in der Quantenmechanik (siehe WKB-Methode) die Gleichung:

Man hat also auf der linken Seite die klassische Hamilton-Jacobi-Gleichung und rechts einen quantenmechanischen Diffusions-Term, der mit verschwindet und außerdem komplex ist.

Entwickelt man nach :

mit der klassischen Wirkung , so ist eine gute Näherung falls:

ist oder mit der lokalen (ortsabhängigen) De-Broglie-Wellenlänge , definiert über :

Neues Interesse ergab sich für den halbklassische Näherung der Quantenmechanik in der Theorie des Quantenchaos ab den 1970er Jahren (Michael Berry, Martin Gutzwiller u. a.). Bei klassisch chaotischen Systemen ist das chaotische Verhalten in der quantenmechanischen Version eigentlich unterdrückt, wenn man isolierte Systeme betrachtet (die Energieniveaus sind diskret). Der hoch singuläre Übergang führt jedoch bei nicht isolierten Systemen, auch wenn sie nur schwach mit der Umgebung wechselwirken (Dekohärenz), zu Quantenchaos, der sich z. B. in der Statistik der Energieniveaus für hochangeregte Zustände niederschlägt.

Literatur Bearbeiten

  • Michael Berry, K. E. Mount: Semiclassical approximations in wave mechanics, Reports Progress Physics, 35, 1972, 315–397, Online, Webseite von Berry
  • M. Berry, Semiclassical Mechanics of regular and irregular motion, in: G. Iooss, R. H. G. Helleman, R. Stora (Hrsg.): Les Houches Lecture Series Session XXXVI, North Holland, Amsterdam, 1983, S. 171–271.
  • M. Gutzwiller: Chaos in classical and quantum mechanics, Springer 1990
  • M. Gutzwiller: Resource Letter ICQM-1: The Interplay between Classical and Quantum Mechanics, American Journal of Physics, Band 66, 1998, S. 304 (Literaturübersicht)
  • Eric Heller: The semiclassical way to Dynamics and Spectroscopy, Princeton UP 2018

Sowie viele Lehrbücher über Pfadintegrale wie von Hagen Kleinert (Path Integrals, 2. Auflage, World Scientific 1995).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Zum Beispiel Albert Messiah, Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter, 1985, S. 212f, Kapitel 17.1.2.: Halbklassische Theorie der Coulombanregung von Atomkernen.
  2. Darstellung nach Kurt Gottfried, Yan: Quantum Mechanics, Springer 2003, S. 102ff
  3. Berry, Chaos and the semiclassical limit of quantum mechanics, 2001, pdf.
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Eine semiklassische Naherung wortl halbklassische Naherung in der Quantenphysik steht fur eine Naherung an ein System in der die niedrigste quantenmechanische Korrektur der klassischen Behandlung des Systems betrachtet wird es ist also gemeint dass diese Naherung bzw Korrektur noch relativ nahe an der klassischen Behandlung des Systems liegt verglichen mit anderen moglichen Korrekturen die weiter von der klassischen Behandlung entfernt liegen Der Begriff wird dabei auf zwei unterschiedliche Arten verwendet man betrachtet nur einen Teil des Systems quantenmechanisch wahrend externe Felder als konstant oder als sich klassisch andernd beschrieben werden Das aussere Feld kann z B ein elektromagnetisches Feld sein oder das Gravitationsfeld beispielsweise die Quantenfeldtheorie von Teilchen in der gemass der klassischen Einstein schen Allgemeinen Relativitatstheorie gekrummten aber klassischen Raumzeit man beschreibt das System durch eine Storungsreihe in der Regel mit einer Entwicklung nach Potenzen der Planckschen Konstante ℏ displaystyle hbar Dabei ergibt sich die klassische Physik in der Potenz 0 displaystyle 0 die erste nichttriviale Naherung in der Potenz 1 displaystyle 1 wird als semiklassische Naherung bezeichnet ein Beispiel hierfur ist die WKB Naherung der Quantenmechanik In der Quantenfeldtheorie werden in der semiklassischen Naherung nur Feynman Diagramme mit maximal einer geschlossenen Schleife berucksichtigt dies entspricht gerade den oben angegebenen Potenzen der Planck schen Konstante Wie der Name schon sagt tritt die quasiklassische oder semiklassische Naherung beim Ubergang von der Beschreibung durch die klassische Physik zur Quantenmechanik auf Beispiele sind hochangeregte Zustande im Atom hohe Quantenzahlen Rydberg Zustand und Streuprozesse mit hohen Energien zum Beispiel Coulomb Anregung bei Streuung von Protonen hoher kinetischer Energie an Atomkernen Die klassische Beschreibung ist bei letzterem uber die abstossende Coulombwechselwirkung am Gesamtkern Die Projektile kommen aber dem Kern so nahe dass sie auch die Wirkung der einzelnen Nukleonen uber die Coulombwechselwirkung zu spuren bekommen und diese inelastisch anregen konnen sie nahern sich aber nicht so nahe dem Kern dass sie die Kernkraft selbst spuren Die Abweichungen der Coulombwechselwirkung mit den einzelnen Nukleonen von der eines punktformigen Kerns wird dann in der semiklassischen Naherung behandelt 1 Semiklassische Naherung in Storungsrechnung nach ℏ BearbeitenDer Ubergang von der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik sollte im Grenzwert ℏ 0 displaystyle hbar rightarrow 0 nbsp erfolgen In der Pfadintegral Formulierung in der uber alle Pfade zwischen zwei Raum Zeit Punkten jeweils mit der Wahrscheinlichkeitsamplitude exp i S ℏ displaystyle exp left i frac S hbar right nbsp mit der Wirkung S L d t displaystyle S int L dt nbsp Lagrangefunktion L displaystyle L nbsp summiert wird fuhrt das zu stark singularem Verhalten bei ℏ 0 displaystyle hbar rightarrow 0 nbsp Der Hauptbeitrag stammt aber von Pfaden in der Nahe der klassischen Losung fur die die Variation d S displaystyle delta S nbsp der Wirkung bei Variation d q displaystyle delta q nbsp des Pfades im Ortsraum angedeutet durch die Ortsvariable q displaystyle q nbsp minimal ist Losungen der Lagrangegleichungen Im Hamilton Jacobi Formalismus erfullt das klassische S displaystyle S nbsp die Hamilton Jacobi Gleichung fur ein nichtrelativistisches Einteilchenproblem mit Potential V displaystyle V nbsp und Masse m displaystyle m nbsp S t 1 2 m S q 2 V q 0 displaystyle frac partial S partial t frac 1 2m left frac partial S partial q right 2 V q 0 nbsp Wenn man in der Schrodingergleichung folgenden Ansatz macht PS exp i S q t ℏ cos S q t ℏ i sin S q t ℏ displaystyle Psi exp left i frac S q t hbar right cos frac S q t hbar i cdot sin frac S q t hbar nbsp mit Wellenfunktion PS displaystyle Psi nbsp orts und zeitabhangiger komplexer Phase S q t displaystyle S q t nbsp deren Realteil der Frequenz und deren Imaginarteil einer Dampfung entspricht imaginarer Einheit i displaystyle i nbsp erhalt man in der Quantenmechanik siehe WKB Methode die Gleichung 2 S t 1 2 m S q 2 V q ℏ i 1 2 m 2 S 2 q displaystyle frac partial S partial t frac 1 2m left frac partial S partial q right 2 V q frac hbar i cdot frac 1 2m frac partial 2 S partial 2 q nbsp Man hat also auf der linken Seite die klassische Hamilton Jacobi Gleichung und rechts einen quantenmechanischen Diffusions Term der mit ℏ 0 displaystyle hbar rightarrow 0 nbsp verschwindet und ausserdem komplex ist Entwickelt man S displaystyle S nbsp nach ℏ i displaystyle frac hbar i nbsp S S 0 ℏ i S 1 ℏ i 2 S 2 displaystyle S S 0 left frac hbar i right S 1 left frac hbar i right 2 S 2 dots nbsp mit der klassischen Wirkung S 0 displaystyle S 0 nbsp so ist PS exp i S 0 ℏ displaystyle Psi exp left i frac S 0 hbar right nbsp eine gute Naherung falls S q 2 ℏ 2 S 2 q displaystyle left frac partial S partial q right 2 gg hbar left frac partial 2 S partial 2 q right nbsp ist oder mit der lokalen ortsabhangigen De Broglie Wellenlange l q displaystyle lambda q nbsp definiert uber p q ℏ l q S q displaystyle p q frac hbar lambda q frac partial S partial q nbsp l q 1 displaystyle left frac partial lambda partial q right ll 1 nbsp Neues Interesse ergab sich fur den halbklassische Naherung der Quantenmechanik in der Theorie des Quantenchaos ab den 1970er Jahren Michael Berry Martin Gutzwiller u a Bei klassisch chaotischen Systemen ist das chaotische Verhalten in der quantenmechanischen Version eigentlich unterdruckt wenn man isolierte Systeme betrachtet die Energieniveaus sind diskret Der hoch singulare Ubergang ℏ 0 displaystyle hbar rightarrow 0 nbsp fuhrt jedoch bei nicht isolierten Systemen auch wenn sie nur schwach mit der Umgebung wechselwirken Dekoharenz zu Quantenchaos der sich z B in der Statistik der Energieniveaus fur hochangeregte Zustande niederschlagt 3 Literatur BearbeitenMichael Berry K E Mount Semiclassical approximations in wave mechanics Reports Progress Physics 35 1972 315 397 Online Webseite von Berry M Berry Semiclassical Mechanics of regular and irregular motion in G Iooss R H G Helleman R Stora Hrsg Les Houches Lecture Series Session XXXVI North Holland Amsterdam 1983 S 171 271 M Gutzwiller Chaos in classical and quantum mechanics Springer 1990 M Gutzwiller Resource Letter ICQM 1 The Interplay between Classical and Quantum Mechanics American Journal of Physics Band 66 1998 S 304 Literaturubersicht Eric Heller The semiclassical way to Dynamics and Spectroscopy Princeton UP 2018Sowie viele Lehrbucher uber Pfadintegrale wie von Hagen Kleinert Path Integrals 2 Auflage World Scientific 1995 Einzelnachweise Bearbeiten Zum Beispiel Albert Messiah Quantenmechanik Band 2 De Gruyter 1985 S 212f Kapitel 17 1 2 Halbklassische Theorie der Coulombanregung von Atomkernen Darstellung nach Kurt Gottfried Yan Quantum Mechanics Springer 2003 S 102ff Berry Chaos and the semiclassical limit of quantum 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