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Satz von Osgood Funktionalanalysis Der Satz von Osgood ist ein mathematischer Lehrsatz der im übergangsfeld zwischen Fun

Satz von Osgood (Funktionalanalysis)

Der Satz von Osgood ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen Funktionalanalysis und Topologie angesiedelt und nach dem Mathematiker William Fogg Osgood benannt ist. Er ist eng verbunden mit und sogar eine direkte Folgerung aus dem Kategoriensatz von Baire. Als Folgerung aus dem Satz von Osgood ergibt sich das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, eines der klassischen Resultate der Funktionalanalysis.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum und darin eine Teilmenge von zweiter Bairescher Kategorie.

Gegeben sei weiter eine Familie von unterhalb stetigen reellwertigen Funktionen

Hierfür sei vorausgesetzt, dass die Familie auf punktweise gleichmäßig nach oben beschränkt sei:

Dann gilt:

Beweisskizze Bearbeiten

Unter den genannten Bedingungen ist die Supremumsfunktion , definiert durch die Zuordnungsregel , selbst wieder unterhalb stetig

Folglich genügt es, den Beweis nur für den Fall einer einzigen unterhalb stetigen reellen Funktion zu führen. Zudem kann man von vornherein voraussetzen.

Nun bildet man für jeweils die Teilmenge .

Diese bilden wegen der genannten Halbstetigkeitsbedingung eine aus lauter abgeschlossenen Mengen bestehende Überdeckung von . Da nun nach Voraussetzung von zweiter Bairescher Kategorie ist, hat notwendigerweise eine dieser abgeschlossenen Teilmengen, etwa , ein nicht-leeres Inneres. Nun setzt man und gewinnt so die gesuchte offene Teilmenge.

Folgerungen Bearbeiten

Mit dem Satz von Osgood gelangt man direkt zum Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, wonach gilt:

Denn zunächst ist der Satz von Osgood insbesondere anwendbar für den Fall, dass ein Bairescher Raum ist und dass alle   stetig sind. Er gilt nach dem Baireschen Kategoriensatz dann sicher auch, wenn seine topologische Struktur durch eine vollständige Metrik erzeugt wird. In diesem Falle lässt sich die Aussage noch verschärfen und man gewinnt folgende spezielle Version des Osgoodschen Satzes:

Ausgehend von dieser speziellen Version kann man weiter verschärfen, indem man noch die besondere uniforme Struktur normierter Räume in Rechnung stellt, wonach alle abgeschlossenen Vollkugeln durch zentrische Streckung und Parallelverschiebung aus der abgeschlossenen Einheitskugel hervorgehen. Stellt man weiter in Rechnung, dass durch Verkettung eines stetigen Operators mit einer Norm – sofern möglich – stets eine unterhalb stetigen reellwertige Funktion entsteht, so hat man das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.

Verwandtes Resultat Bearbeiten

Eng verwandt mit den obigen Sätzen ist das folgende Lemma von Gelfand:

Das Lemma lässt sich mit den gleichen Überlegungen wie oben aus dem Satz von Osgood herleiten. Es führt seinerseits (und in gleicher Weise wie oben) direkt zum Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.

Weitere Folgerungen aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Bearbeiten

  • Jede schwach beschränkte Teilmenge – also damit jede schwach konvergente Folge – in einem normierten Vektorraums ist beschränkt.
  • Ist eine Familie stetiger linearer Operatoren von einem Banachraum in einem normierten Raum und ist für jedes schwach beschränkt in , so ist bezüglich der Operatornorm gleichmäßig nach oben beschränkt.
  • Konvergiert eine Folge stetiger linearer Operatoren von einem Banachraum in einen normierten Raum punktweise gegen eine Grenzfunktion , so ist ebenfalls ein stetiger linearer Operator und dabei gilt

Literatur Bearbeiten

Monographien Bearbeiten

  • Izrail M. Gelfand: Collected Papers. Volume I. Edited by S. G. Gindikin – V. W. Guillemin – A. A. Kirillov – B. Kostant – S. Sternberg. Springer Verlag, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-13619-3.
  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0026-2 (MR2380292).
  • L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1978, ISBN 3-87144-327-1 (MR0458199).
  • Ronald Larsen: Functional Analysis. An Introduction (= Pure and Applied Mathematics. Band 15). Marcel Dekker, New York 1973, ISBN 0-8247-6042-5 (MR0461069).
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ H. Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 2006, S. 246 ff.
  2. ↑ R. Larsen: Functional Analysis. An Introduction. 1973, S. 146 ff.
  3. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 132 ff.
  4. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 134.
  5. Es handelt sich sogar eine Seminorm.
  6. I. M. Gelfand: Collected Papers. 1987, S. 205 ff.
  7. ↑ L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. 1978, S. 107 ff.
  8. Kantorowitsch und Akilow nennen eine solche Seminorm ein nach unten halbstetiges konvexes Funktional.
  9. H. Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 2006, S. 326.
  10. ↑ F. Hirzebruch, W. Scharlau: Titel? Jahr?, S. 37–38
  11. Dies folgt mit dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit aufgrund der Tatsache, dass sich jeder normierte Raum linear-isometrisch in seinen Bidualraum einbetten lässt.
  12. H. Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 2006, S. 248.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Osgood ist ein mathematischer Lehrsatz der im Ubergangsfeld zwischen Funktionalanalysis und Topologie angesiedelt und nach dem Mathematiker William Fogg Osgood benannt ist Er ist eng verbunden mit und sogar eine direkte Folgerung aus dem Kategoriensatz von Baire Als Folgerung aus dem Satz von Osgood ergibt sich das Prinzip der gleichmassigen Beschranktheit eines der klassischen Resultate der Funktionalanalysis 1 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Beweisskizze 3 Folgerungen 4 Verwandtes Resultat 5 Weitere Folgerungen aus dem Prinzip der gleichmassigen Beschranktheit 6 Literatur 6 1 Monographien 7 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenGegeben sei ein topologischer Raum X O displaystyle left X mathcal O right nbsp und darin eine Teilmenge W X displaystyle W subseteq X nbsp von zweiter Bairescher Kategorie Gegeben sei weiter eine Familie F f i i I displaystyle mathcal F f i i in I nbsp von unterhalb stetigen reellwertigen Funktionen f i X O R i I displaystyle f i colon left X mathcal O right to mathbb R i in I nbsp Hierfur sei vorausgesetzt dass die Familie F displaystyle mathcal F nbsp auf W displaystyle W nbsp punktweise gleichmassig nach oben beschrankt sei sup i I f i w lt w W displaystyle sup i in I f i w lt infty w in W nbsp Dann gilt Es existiert eine nicht leere offene Teilmenge U O displaystyle U in mathcal O nbsp derart dass die Familie F U f i U i I displaystyle mathcal F upharpoonright U f i upharpoonright U i in I nbsp der auf U displaystyle U nbsp eingeschrankten Funktionen sogar gleichmassig nach oben beschrankt ist also der Bedingungsup i I u U f i u lt displaystyle sup i in I u in U f i u lt infty nbsp dd genugt Beweisskizze BearbeitenUnter den genannten Bedingungen ist die Supremumsfunktion F sup F X O R displaystyle F sup mathcal F colon left X mathcal O right to mathbb R nbsp definiert durch die Zuordnungsregel x sup i I f i x displaystyle x mapsto sup i in I f i x nbsp selbst wieder unterhalb stetig 4 Folglich genugt es den Beweis nur fur den Fall einer einzigen unterhalb stetigen reellen Funktion f displaystyle f nbsp zu fuhren Zudem kann man von vornherein X W displaystyle X W nbsp voraussetzen Nun bildet man fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp jeweils die Teilmenge W n x X f x n displaystyle W n x in X f x leq n nbsp Diese W n n N displaystyle W n n in mathbb N nbsp bilden wegen der genannten Halbstetigkeitsbedingung eine aus lauter abgeschlossenen Mengen bestehende Uberdeckung von W displaystyle W nbsp Da nun X W displaystyle X W nbsp nach Voraussetzung von zweiter Bairescher Kategorie ist hat notwendigerweise eine dieser abgeschlossenen Teilmengen etwa W N displaystyle W N nbsp ein nicht leeres Inneres Nun setzt man U W N displaystyle U W N circ nbsp und gewinnt so die gesuchte offene Teilmenge Folgerungen BearbeitenMit dem Satz von Osgood gelangt man direkt zum Prinzip der gleichmassigen Beschranktheit wonach gilt Eine punktweise nach oben beschrankte Familie stetiger Operatoren von einem Banachraum in einen normierten Raum ist bezuglich der Operatornorm stets gleichmassig nach oben beschrankt Denn zunachst ist der Satz von Osgood insbesondere anwendbar fur den Fall dass X O displaystyle X mathcal O nbsp ein Bairescher Raum ist und dass alle f i displaystyle f i nbsp i I displaystyle i in I nbsp stetig sind Er gilt nach dem Baireschen Kategoriensatz dann sicher auch wenn seine topologische Struktur durch eine vollstandige Metrik erzeugt wird In diesem Falle lasst sich die Aussage noch verscharfen und man gewinnt folgende spezielle Version des Osgoodschen Satzes 1 Ist f i i I displaystyle f i i in I nbsp eine punktweise nach oben beschrankte Familie von stetigen reellwertigen Funktionen auf einem vollstandigen metrischen Raum X d displaystyle X d nbsp so existiert eine abgeschlossene Vollkugel B r X displaystyle overline B r subseteq X nbsp mit sup i I x B r f i x lt displaystyle sup i in I x in overline B r f i x lt infty nbsp Ausgehend von dieser speziellen Version kann man weiter verscharfen indem man noch die besondere uniforme Struktur normierter Raume in Rechnung stellt wonach alle abgeschlossenen Vollkugeln durch zentrische Streckung und Parallelverschiebung aus der abgeschlossenen Einheitskugel hervorgehen Stellt man weiter in Rechnung dass durch Verkettung eines stetigen Operators mit einer Norm sofern moglich stets eine unterhalb stetigen reellwertige Funktion entsteht 5 so hat man das Prinzip der gleichmassigen Beschranktheit 2 Verwandtes Resultat BearbeitenEng verwandt mit den obigen Satzen ist das folgende Lemma von Gelfand 6 7 Sei X displaystyle X cdot nbsp ein normierter Raum und sei p X R displaystyle p X cdot to mathbb R nbsp eine nach unten halbstetige Seminorm 8 auf X displaystyle X cdot nbsp Ist diese Seminorm punktweise nach oben beschrankt auf einer Teilmenge der Zweiten Baireschen Kategorie so existiert eine reelle Konstante M gt 0 displaystyle M gt 0 nbsp mit p x M x displaystyle p x leq M x nbsp x X displaystyle x in X nbsp Das Lemma lasst sich mit den gleichen Uberlegungen wie oben aus dem Satz von Osgood herleiten Es fuhrt seinerseits und in gleicher Weise wie oben direkt zum Prinzip der gleichmassigen Beschranktheit 7 Weitere Folgerungen aus dem Prinzip der gleichmassigen Beschranktheit BearbeitenJede schwach beschrankte Teilmenge also damit jede schwach konvergente Folge in einem normierten Vektorraums ist beschrankt 9 10 11 Ist F displaystyle mathcal F nbsp eine Familie stetiger linearer Operatoren von einem Banachraum X displaystyle X nbsp in einem normierten Raum Y displaystyle Y nbsp und ist F x f x f F displaystyle mathcal F x f x f in mathcal F nbsp fur jedes x X displaystyle x in X nbsp schwach beschrankt in Y displaystyle Y nbsp so ist F displaystyle mathcal F nbsp bezuglich der Operatornorm gleichmassig nach oben beschrankt 10 Konvergiert eine Folge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp stetiger linearer Operatoren von einem Banachraum X displaystyle X nbsp in einen normierten Raum Y displaystyle Y nbsp punktweise gegen eine Grenzfunktion f displaystyle f nbsp so ist f displaystyle f nbsp ebenfalls ein stetiger linearer Operator und dabei gilt f lim inf n f n displaystyle f leq liminf n rightarrow infty f n nbsp 12 Literatur BearbeitenMonographien Bearbeiten Izrail M Gelfand Collected Papers Volume I Edited by S G Gindikin V W Guillemin A A Kirillov B Kostant S Sternberg Springer Verlag Berlin u a 1987 ISBN 3 540 13619 3 Harro Heuser Funktionalanalysis Theorie und Anwendung Mathematische Leitfaden 4 durchgesehene Auflage Teubner Verlag Wiesbaden 2006 ISBN 3 8351 0026 2 MR2380292 L W Kantorowitsch G P Akilow Funktionalanalysis in normierten Raumen In deutscher Sprache herausgegeben von Prof Dr rer nat habil P Heinz Muller Technische Universitat Dresden Ubersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer Dresden und Rolf Kuhne Dresden Verlag Harri Deutsch Thun Frankfurt am Main 1978 ISBN 3 87144 327 1 MR0458199 Ronald Larsen Functional Analysis An Introduction Pure and Applied Mathematics Band 15 Marcel Dekker New York 1973 ISBN 0 8247 6042 5 MR0461069 Horst Schubert Topologie 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 MR0423277 Einzelnachweise Bearbeiten a b H Heuser Funktionalanalysis Theorie und Anwendung 2006 S 246 ff a b R Larsen Functional Analysis An Introduction 1973 S 146 ff H Schubert Topologie 1975 S 132 ff H Schubert Topologie 1975 S 134 Es handelt sich sogar eine Seminorm I M Gelfand Collected Papers 1987 S 205 ff a b L W Kantorowitsch G P Akilow Funktionalanalysis in normierten Raumen 1978 S 107 ff Kantorowitsch und Akilow nennen eine solche Seminorm p displaystyle p nbsp ein nach unten halbstetiges konvexes Funktional H Heuser Funktionalanalysis Theorie und Anwendung 2006 S 326 a b F Hirzebruch W Scharlau Titel Jahr S 37 38 Dies folgt mit dem Prinzip der gleichmassigen Beschranktheit aufgrund der Tatsache dass sich jeder normierte Raum linear isometrisch in seinen Bidualraum einbetten lasst H Heuser Funktionalanalysis Theorie und Anwendung 2006 S 248 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Osgood Funktionalanalysis amp oldid 204248834