Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst In der Algebra oder allgemeiner der Kategorientheorie ist der projektive Limes oder inverse Limes oder einfach Limes eine Konstruktion mit der man verschiedene in gewisser Weise zusammengehorende Strukturen verbinden kann Das Ergebnis dieses Verbindungsvorgangs wird vor allem bestimmt von Abbildungen zwischen diesen Strukturen Inhaltsverzeichnis 1 Projektive Limites fur Mengen und einfache algebraische Strukturen 2 Die universelle Eigenschaft 3 Projektive Limites in beliebigen Kategorien 4 Beispiele 5 Limites mit Indexkategorien 6 Einzelnachweise und Anmerkungen 7 Siehe auchProjektive Limites fur Mengen und einfache algebraische Strukturen BearbeitenDie folgende Konstruktion definiert den Limes fur Mengen oder beliebige algebraische Strukturen die mithilfe von Limites Produkten Endobjekten Differenzkernen definiert sind Als Beispiel werden Gruppen behandelt Gegeben seien eine halbgeordnete Menge I gt displaystyle I gt nbsp 1 fur jedes i I displaystyle i in I nbsp eine Gruppe X i displaystyle X i nbsp und fur je zwei Indizes i j I displaystyle i j in I nbsp mit i gt j displaystyle i gt j nbsp ein Gruppenhomomorphismus f i j X i X j displaystyle f ij colon X i to X j nbsp Diese Homomorphismen seien ausserdem vertraglich in dem Sinne dass fur i gt j gt k displaystyle i gt j gt k nbsp gilt f i k f j k f i j displaystyle f ik f jk circ f ij nbsp um von i displaystyle i nbsp nach k displaystyle k nbsp zu kommen kann man auch einen Umweg uber j displaystyle j nbsp nehmen Der projektive Limes lim i I X i displaystyle varprojlim i in I X i nbsp ist die Menge aller Familien x i i I displaystyle x i i in I nbsp mit x i X i displaystyle x i in X i nbsp mit der Eigenschaft f i j x i x j displaystyle f ij x i x j nbsp fur i gt j displaystyle i gt j nbsp Durch die komponentenweise Definition seiner Verknupfung uber die Verknupfungen in den Komponenten X i displaystyle X i nbsp wird lim i I X i displaystyle varprojlim i in I X i nbsp zu einer Gruppe Die universelle Eigenschaft BearbeitenDer projektive Limes lim i I X i displaystyle varprojlim i in I X i nbsp zusammen mit den Homomorphismen p r i lim j I X j X i x j j I x i displaystyle mathrm pr i colon varprojlim j in I X j to X i quad x j j in I mapsto x i nbsp den kanonischen Projektionen hat die folgende universelle Eigenschaft Fur jede Gruppe T displaystyle T nbsp und Homomorphismen t i T X i displaystyle t i colon T to X i nbsp fur die t j f i j t i displaystyle t j f ij circ t i nbsp fur alle i gt j displaystyle i gt j nbsp gilt existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus c T lim i I X i displaystyle c colon T to varprojlim i in I X i nbsp so dass t i p r i c displaystyle t i mathrm pr i circ c nbsp gilt nbsp Kommutatives Diagramm zur Definition des Limes in der KategorientheorieProjektive Limites in beliebigen Kategorien BearbeitenMithilfe des Begriffs des projektiven Limes fur Mengen kann man projektive Limites in beliebigen lokal kleinen Kategorien definieren Sind Objekte X i displaystyle X i nbsp einer Kategorie C displaystyle C nbsp und Ubergangsmorphismen f i j displaystyle f i j nbsp gegeben so ist der Limes dieses projektiven Systems auch inverses System charakterisiert durch eine naturliche Aquivalenz Hom C T lim X i lim Hom C T X i displaystyle operatorname Hom C T lim X i lim operatorname Hom C T X i nbsp von Funktoren in T displaystyle T nbsp dabei ist der Limes auf der rechten Seite der bereits definierte Limesbegriff fur Mengen Der derartig definierte Limes erfullt die analoge universelle Eigenschaft Fur einfache algebraische Strukturen wie Vektorraume Gruppen oder Ringe stimmt dieser Limesbegriff mit dem oben definierten mengenbasierten uberein Es gibt jedoch Kategorien in denen projektive Limites nicht existieren beispielsweise die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen Es sei X i f i j displaystyle X i f i j nbsp das projektive System Z 2 Z 3 Z 2 Z 2 Z 2 Z displaystyle ldots to mathbb Z 2 mathbb Z 3 to mathbb Z 2 mathbb Z 2 to mathbb Z 2 mathbb Z nbsp mit der Projektion auf die ersten Faktoren als Ubergangsabbildungen Fur T Z 2 Z displaystyle T mathbb Z 2 mathbb Z nbsp ist lim Hom T X i displaystyle lim operatorname Hom T X i nbsp unendlich also nicht gleich Hom T L displaystyle operatorname Hom T L nbsp fur irgendeine endliche abelsche Gruppe L displaystyle L nbsp Beispiele BearbeitenIn der Kategorie der topologischen Raume gibt es Limites Der mengenbasierte Limes ist konstruiert als eine Teilmenge des kartesischen Produktes Versieht man das Produkt mit der Produkttopologie und den Mengen Limes mit der Teilraumtopologie erhalt man den kategoriellen Limes Sind alle A i displaystyle A i nbsp kompakt und hausdorffsch dann ist der projektive Limes A displaystyle A nbsp ebenfalls kompakt und hausdorffsch Jede kompakte topologische Gruppe ist projektiver Limes von kompakten Lie Gruppen Fur p P displaystyle p in mathbb P nbsp ist der Ring Z p displaystyle mathbb Z p nbsp der p adischen ganzen Zahlen der projektive Limes der Restklassenringe X i Z p i displaystyle X i mathbb Z p i nbsp wobei die halbgeordnete Indexmenge I N displaystyle I mathbb N nbsp mit der naturlichen Ordnung versehen ist und die Morphismen die Restklassenabbildungen sind Die naturliche Topologie auf Z p displaystyle mathbb Z p nbsp ist die von der diskreten Topologie auf den Z p i displaystyle mathbb Z p i nbsp induzierte Produkttopologie und Z displaystyle mathbb Z nbsp ist dicht in Z p displaystyle mathbb Z p nbsp Hauptartikel Proendliche Zahl Die proendliche Vervollstandigung Z displaystyle hat mathbb Z nbsp des Rings der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp ist der projektive Limes der Restklassenringe X m Z m displaystyle X m mathbb Z m nbsp wobei die Indexmenge I N displaystyle I mathbb N nbsp mit der Halbordnung der Teilbarkeit versehen ist und die Morphismen die Restklassenabbildungen sind Genauer Sind m n N displaystyle m n in mathbb N nbsp mit m n displaystyle m mid n nbsp dann sind die Restklassenabbildungen f n m Z n Z m displaystyle f nm colon mathbb Z n to mathbb Z m nbsp wie oben ein vertragliches System von Homomorphismen Z displaystyle hat mathbb Z nbsp erweist sich als das direkte Produkt p P Z p displaystyle prod p in mathbb P mathbb Z p nbsp Addition und Multiplikation gehen komponentenweise letztere mit Nullteilern Die naturliche Topologie auf Z displaystyle hat mathbb Z nbsp ist die von der diskreten Topologie auf den Z m displaystyle mathbb Z m nbsp induzierte Produkttopologie und Z displaystyle mathbb Z nbsp ist dicht in Z displaystyle hat mathbb Z nbsp Beweis der Dichtheit von Z displaystyle mathbb Z nbsp in Z displaystyle hat mathbb Z nbsp Fur die Zwecke des Beweises werden die Primzahlen durchnummeriert p i i N P displaystyle p i vert i in mathbb N mathbb P nbsp Die Einbettung i Z Z displaystyle iota colon mathbb Z to hat mathbb Z nbsp wirft eine ganze Zahl m displaystyle m nbsp in jedem Faktorraum Z p i displaystyle mathbb Z p i nbsp an die Stelle m displaystyle m nbsp i m x i i N displaystyle iota m x i i in mathbb N nbsp mit x i m displaystyle x i m nbsp fur jedes i N displaystyle i in mathbb N nbsp Sei x x i i N displaystyle x x i i in mathbb N nbsp ein Element aus Z displaystyle hat mathbb Z nbsp Fur jedes i N displaystyle i in mathbb N nbsp ist x i n 0 x i n p i n Z p i displaystyle x i sum nu 0 infty x i nu p i nu in mathbb Z p i nbsp eine p i displaystyle p i nbsp adische ganze Zahl Die approximierende Folge sei y n n 1 displaystyle y n n geq 1 nbsp mit y n Z displaystyle y n in mathbb Z nbsp Ein Folgenglied y n displaystyle y n nbsp approximiert x displaystyle x nbsp mit der Approximationsgute n displaystyle n nbsp wenn die folgenden Kongruenzen fur 1 i n displaystyle 1 ldots i ldots n nbsp y n n 0 n 1 x 1 n p 1 n mod p 1 n y n n 0 n i x i n p i n mod p i n i 1 y n x n 0 mod p n displaystyle begin array llll y n amp equiv sum nu 0 n 1 amp x 1 nu p 1 nu amp operatorname mod p 1 n y n amp equiv sum nu 0 n i amp x i nu p i nu amp operatorname mod p i n i 1 y n amp equiv amp x n 0 amp operatorname mod p n end array nbsp simultan gelten Das ist machbar weil die Moduln p i n i 1 displaystyle p i n i 1 nbsp paarweise teilerfremd sind Zu jedem i displaystyle i nbsp und m displaystyle m nbsp gibt es eine Approximationsgute n i m displaystyle n geq i m nbsp so dass y n n 0 m x i n p i n mod p i m 1 displaystyle y n equiv sum nu 0 m x i nu p i nu operatorname mod p i m 1 nbsp Die Komponente x i displaystyle x i nbsp kann also beliebig namlich auf mod p i m 1 displaystyle operatorname mod p i m 1 nbsp genau approximiert werden Mithin konvergiert die Folge y n n 1 displaystyle y n n geq 1 nbsp fur n displaystyle n to infty nbsp gegen lim n y n x displaystyle lim n to infty y n x nbsp Fur eine beliebige galoissche Korpererweiterung E K displaystyle E K nbsp ist die Galoisgruppe G E K displaystyle G E K nbsp isomorph zum projektiven Limes der Galoisgruppen G L K displaystyle G L K nbsp wobei L displaystyle L nbsp alle endlichen und galoisschen Zwischenerweiterungen von E K displaystyle E K nbsp durchlauft die halbgeordnete Indexmenge die Menge dieser Zwischenkorper mit der Inklusionsordnung ist und der Morphismus fur M L displaystyle M L nbsp gegeben ist durch f M L G M K G L K displaystyle f M L colon G M K to G L K nbsp s s L displaystyle s mapsto s vert L nbsp also die Einschrankung eines Automorphismus auf den kleineren Korper Betrachtet man alle G L K displaystyle G L K nbsp als diskrete topologische Gruppen dann wird auf G E K displaystyle G E K nbsp eine Produkttopologie induziert die Krulltopologie genannt wird Da alle endlichen Erweiterungen eines endlichen Korpers zyklisch sind ist die Galoisgruppe des algebraischen Abschlusses eines endlichen Korpers isomorph zu Z displaystyle hat mathbb Z nbsp als additiver Gruppe Erweiterungssatz von Kolmogorov Gegeben seien eine nichtleere Indexmenge I displaystyle I nbsp und Borel sche Raume W i A i displaystyle Omega i mathcal A i nbsp fur i I displaystyle i in I nbsp Sei E I displaystyle mathcal E I nbsp die Menge aller nichtleeren endlichen Teilmengen von I displaystyle I nbsp Ist eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmassen P J J E I displaystyle P J J in mathcal E I nbsp gegeben so existiert ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp auf dem Messraum W A i I W i i I A i displaystyle Omega mathcal A left prod i in I Omega i bigotimes i in I mathcal A i right nbsp fur das P J P p J I 1 displaystyle P J P circ pi J I 1 nbsp fur jedes J E I displaystyle J in mathcal E I nbsp gilt Dabei bezeichnet p J I displaystyle pi J I nbsp die Projektion auf die Komponenten der Indexmenge J displaystyle J nbsp Man schreibt dann lim J I P J P displaystyle varprojlim J uparrow I P J P nbsp und bezeichnet das Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp als projektiven Limes Limites mit Indexkategorien BearbeitenIn Verallgemeinerung des Limes fur teilgeordnete Indexmengen kann man Limites fur beliebige Indexkategorien betrachten Es sei I displaystyle I nbsp eine kleine Kategorie C displaystyle C nbsp eine beliebige Kategorie und X I C displaystyle X colon I to C nbsp ein Funktor Dann ist ein Limes von X displaystyle X nbsp ein darstellendes Objekt fur den Funktor C o p M e n g e n T M o r M o r I C c o n s t T X displaystyle C mathrm op to mathrm Mengen quad T mapsto mathrm Mor mathbf Mor I C mathrm const T X nbsp dabei bezeichne c o n s t T displaystyle mathrm const T nbsp den konstanten Funktor I C displaystyle I to C nbsp mit Wert T displaystyle T nbsp Der Limes ist also ein Objekt L displaystyle L nbsp zusammen mit einer naturlichen Aquivalenz M o r C T L M o r M o r I C c o n s t T X displaystyle mathrm Mor C T L mathrm Mor mathbf Mor I C mathrm const T X nbsp von Funktoren in T displaystyle T nbsp Aus dieser naturlichen Aquivalenz erhalt man fur T L displaystyle T L nbsp auch die kanonischen Projektionen L X i displaystyle L to X i nbsp als Entsprechung von i d L displaystyle id L nbsp auf der linken Seite Die naturliche Aquivalenz ist im Wesentlichen nur eine kompakte Schreibweise der universellen Eigenschaft Morphismen in ein Limesobjekt entsprechen kompatiblen Systemen von Morphismen in die einzelnen Objekte genau wie im Spezialfall von teilgeordneten Indexmengen Dieser Limesbegriff umfasst einige andere universelle Konstruktionen als Spezialfalle I displaystyle I nbsp universelle KonstruktionBeliebig viele Objekte nur Identitaten Produkt displaystyle varnothing nbsp Endobjekt nbsp Differenzkern nbsp FaserproduktHat die Indexkategorie ein Anfangsobjekt A displaystyle A nbsp so ist der Limes gleich X A displaystyle X A nbsp Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Manche Autoren definieren den projektiven Limes nur im Fall wo I gt displaystyle I gt nbsp gerichtet ist Fur die in diesem Artikel vorgestellten grundlegenden Eigenschaften des Limes in abstrakten Kategorien ist diese Forderung unnotig Sie kann aber bei topologischen Fragestellungen erforderlich sein Jon Brugger Pro endliche Gruppen Bemerkung 3 5Siehe auch BearbeitenKolimes Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Limes Kategorientheorie amp oldid 235054022
