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Konstanter Funktor Der konstante Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie Ein kon

Konstanter Funktor

Der konstante Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Ein konstanter Funktor zwischen zwei Kategorien ist ein Funktor, der jedes Objekt auf ein festes Objekt der Zielkategorie und jeden Morphismus auf die Identität dieses festen Objekts abbildet.

Definition Bearbeiten

Seien und zwei Kategorien, sei ein Objekt in . Die Zuordnungen

  • Objekt aus
  • Morphismus aus

bilden einen Funktor . Man nennt diesen den konstanten Funktor mit Wert und bezeichnet ihn oft auch mit .

Bemerkungen Bearbeiten

Der Funktor der konstanten Funktoren Bearbeiten

Seien und zwei Kategorien, und Objekte aus , die auch die durch sie gegebenen konstanten Funktoren bezeichnen. Ist und definiert durch für alle Objekte , so ist eine natürliche Transformation zwischen den konstanten Funktoren. Auf diese Weise erhält man einen Funktor von in die Funktorkategorie , der jedes Objekt auf den zugehörigen konstanten Funktor abbildet. Der Funktor erhält sowohl Limites als auch Kolimites.

Ist eine kleine Kategorie und existieren in alle Limites mit Indexkategorie , so hat man eine Adjunktion . Dabei bezeichnet einen durch Wahlen von Limes-Objekten gebildeten Funktor .

Ist eine kleine Kategorie und existieren in alle Kolimites mit Indexkategorie , so hat man eine Adjunktion . Dabei bezeichnet einen durch Wahlen von Kolimes-Objekten gebildeten Funktor .

Trifft beides zu, erhält man die leicht einprägsame Formel (die Pfeile unter dem Limeszeichen in nachstehender Formel zeigen zur Mitte):

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Definition 3.1.1, S. 74.
  2. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Springer, 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 3.2.21 2..
  3. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory. Allyn and Bacon Inc., 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, Beispiel 9.2 (4).
  4. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory. Allyn and Bacon Inc., 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, 15.8, S. 97.
  5. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory. Allyn and Bacon Inc., 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, Beispiel 24.4 (9), S. 168.
  6. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory. Allyn and Bacon Inc., 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, 25.7, S. 199.
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Der konstante Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie Ein konstanter Funktor zwischen zwei Kategorien ist ein Funktor der jedes Objekt auf ein festes Objekt der Zielkategorie und jeden Morphismus auf die Identitat dieses festen Objekts abbildet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Der Funktor der konstanten Funktoren 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSeien C displaystyle mathcal C nbsp und D displaystyle mathcal D nbsp zwei Kategorien D displaystyle D nbsp sei ein Objekt in D displaystyle mathcal D nbsp Die Zuordnungen Objekt aus C D displaystyle mathcal C quad mapsto quad D nbsp Morphismus aus C 1 D displaystyle mathcal C quad mapsto quad 1 D nbsp bilden einen Funktor C D displaystyle mathcal C rightarrow mathcal D nbsp Man nennt diesen den konstanten Funktor mit Wert D displaystyle D nbsp und bezeichnet ihn oft auch mit D displaystyle D nbsp 1 2 3 Bemerkungen BearbeitenDass es sich bei diesen Zuordnungen um einen Funktor handelt ergibt sich direkt aus 1 D 1 D 1 D displaystyle 1 D circ 1 D 1 D nbsp Kegel und Kokegel sind naturliche Transformationen zwischen Funktoren auf kleinen Kategorien konstanten Funktoren Der Funktor der konstanten Funktoren BearbeitenSeien C displaystyle mathcal C nbsp und D displaystyle mathcal D nbsp zwei Kategorien D 1 displaystyle D 1 nbsp und D 2 displaystyle D 2 nbsp Objekte aus D displaystyle mathcal D nbsp die auch die durch sie gegebenen konstanten Funktoren bezeichnen Ist f H o m D D 1 D 2 displaystyle f in mathrm Hom mathcal D D 1 D 2 nbsp und a f a C C C displaystyle alpha f alpha C C in mathcal C nbsp definiert durch a C f displaystyle alpha C f nbsp fur alle Objekte C C displaystyle C in mathcal C nbsp so ist a f displaystyle alpha f nbsp eine naturliche Transformation D 1 D 2 displaystyle D 1 rightarrow D 2 nbsp zwischen den konstanten Funktoren Auf diese Weise erhalt man einen Funktor K C D D D C displaystyle K mathcal C mathcal D colon mathcal D rightarrow mathcal D mathcal C nbsp von D displaystyle mathcal D nbsp in die Funktorkategorie D C displaystyle mathcal D mathcal C nbsp der jedes Objekt D displaystyle D nbsp auf den zugehorigen konstanten Funktor abbildet 4 Der Funktor K C D displaystyle K mathcal C mathcal D nbsp erhalt sowohl Limites als auch Kolimites 5 Ist C displaystyle mathcal C nbsp eine kleine Kategorie und existieren in D displaystyle mathcal D nbsp alle Limites mit Indexkategorie C displaystyle mathcal C nbsp so hat man eine Adjunktion K C D lim C displaystyle K mathcal C mathcal D dashv lim leftarrow mathcal C nbsp Dabei bezeichnet lim C displaystyle lim leftarrow mathcal C nbsp einen durch Wahlen von Limes Objekten gebildeten Funktor D C D displaystyle mathcal D mathcal C rightarrow mathcal D nbsp Ist C displaystyle mathcal C nbsp eine kleine Kategorie und existieren in D displaystyle mathcal D nbsp alle Kolimites mit Indexkategorie C displaystyle mathcal C nbsp so hat man eine Adjunktion lim C K C D displaystyle lim rightarrow mathcal C dashv K mathcal C mathcal D nbsp Dabei bezeichnet lim C displaystyle lim mathcal C rightarrow nbsp einen durch Wahlen von Kolimes Objekten gebildeten Funktor D C D displaystyle mathcal D mathcal C rightarrow mathcal D nbsp 6 Trifft beides zu erhalt man die leicht einpragsame Formel die Pfeile unter dem Limeszeichen in nachstehender Formel zeigen zur Mitte lim C K C D lim C displaystyle lim mathcal C rightarrow dashv K mathcal C mathcal D dashv lim leftarrow mathcal C nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Emily Riehl Category Theory in Context AMS Dover Publications 2016 ISBN 0 486 80903 X Definition 3 1 1 S 74 Martin Brandenburg Einfuhrung in die Kategorientheorie Springer 2016 ISBN 978 3 662 53520 2 Beispiel 3 2 21 2 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn and Bacon Inc 1972 ISBN 978 3 540 05634 8 Beispiel 9 2 4 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn and Bacon Inc 1972 ISBN 978 3 540 05634 8 15 8 S 97 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn and Bacon Inc 1972 ISBN 978 3 540 05634 8 Beispiel 24 4 9 S 168 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn and Bacon Inc 1972 ISBN 978 3 540 05634 8 25 7 S 199 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konstanter Funktor amp oldid 221766448