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Monomorphismus von griechisch μόνος monos ein allein und μορφή morphé Gestalt Form ist ein Begriff aus den mathematische

Monomorphismus

Monomorphismus (von griechisch μόνος monos „ein, allein“ und μορφή morphé „Gestalt, Form“) ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der Algebra und der Kategorientheorie. In der Algebra bezeichnet er einen Homomorphismus, der injektiv ist. In der Kategorientheorie verallgemeinert er den Begriff der injektiven Abbildung und erlaubt es, Objekte als Unterobjekte von anderen aufzufassen.

Man beachte, dass die universelle Algebra und die Kategorientheorie jeweils einen zu Monomorphismus dualen Begriff, nämlich den Epimorphismus, erklären, diese beiden Epimorphismus-Begriffe jedoch nicht äquivalent sind.

Monomorphismen algebraischer Strukturen Bearbeiten

Ein Homomorphismus von

der injektiv ist, heißt Monomorphismus.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Abbildung mit ist ein Vektorraum-Monomorphismus.
  • Die Abbildung mit ist zwar ein Gruppenhomomorphismus, aber nicht injektiv.
  • Ein Homomorphismus von Gruppen, Ringen oder Moduln (insbesondere Vektorräumen) ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist. Für einen beliebigen Homomorphismus von Gruppen, Ringen oder Moduln (bzw. Vektorräumen) ist
ein Monomorphismus, wenn die kanonische Abbildung auf der Restklassenstruktur ist. Denn es gilt und damit ist trivial.
  • Homomorphismen von Körpern sind stets injektiv, also stets Monomorphismen.

Monomorphismen relationaler Strukturen Bearbeiten

Für allgemeinere Strukturen (im Sinne der Modelltheorie), insbesondere für relationale Strukturen, ist ein Monomorphismus definiert als injektiver starker Homomorphismus. Äquivalent dazu: Die Abbildung ist ein Isomorphismus auf ihr Bild. Für den Spezialfall algebraischer Strukturen erhält man die obige Definition, da jeder Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen stark ist.

Monomorphismen in beliebigen Kategorien Bearbeiten

Definition Bearbeiten

In der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus ein Morphismus mit folgender Eigenschaft:

(zusammen mit ) heißt dann ein Unterobjekt von .

In Kategorien von algebraischen Strukturen sowie in den Kategorien der Mengen oder der topologischen Räume sind die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen. Es gibt aber auch konkrete Kategorien mit nicht-injektiven Monomorphismen.

In den Pfeildiagrammen der homologischen Algebra wird ein Monomorphismus als kurze exakte Sequenz

oder unter Verwendung eines Hakenpfeils mit zwei Termen als

notiert.

Beispiel eines nicht injektiven Monomorphismus Bearbeiten

Wir betrachten die Kategorie der teilbaren abelschen Gruppen: Die Objekte sind die abelschen Gruppen , für die folgendes gilt:

Die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen zwischen diesen Gruppen.

Die Gruppen und sind teilbare abelsche Gruppen. Die kanonische Projektion ist surjektiv und ein Monomorphismus in , aber nicht injektiv.

Ist nämlich eine beliebige teilbare Gruppe und sind zwei Morphismen mit der Eigenschaft , dann gilt . Wäre nun , dann gäbe es ein mit . Falls , vertausche die Rollen von und ; somit bleibt der Fall . Weil teilbar ist, gäbe es dann ein mit . Dann wäre aber

also , was widerspräche.

Extremale Monomorphismen Bearbeiten

Ein Monomorphismus heißt extremal, wenn er zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:

Weil automatisch ein Monomorphismus ist, sind in Kategorien, in denen alle Bimorphismen (das sind Monomorphismen, die Epimorphismen sind) bereits Isomorphismen sind, alle Monomorphismen extremal. Dies hat man zum Beispiel in der Kategorie der Mengen und der Kategorie der Gruppen.

In der Kategorie der topologischen Räume sind die extremalen Monomorphismen die Einbettungen. In der Kategorie der Hausdorff-Räume sind die extremalen Monomorphismen die abgeschlossenen Einbettungen.

In der Kategorie der Banachräume sind die extremalen Monomorphismen genau diejenigen linearen stetigen injektiven Abbildungen , für die es ein positives gibt, so dass für alle aus dem Definitionsbereich gilt:

Unterobjekte Bearbeiten

Zu einem gegebenen Objekt einer Kategorie kann man die Unterkategorie der Scheibenkategorie betrachten, deren Objekte allesamt Monomorphismen in sind. Parallele Pfeile sind hier immer identisch; es handelt sich also um eine Quasiordnung. Die partielle Ordnung der Unterobjekte von ist nun diejenige, die aus durch den Übergang zu Isomorphieklassen entsteht.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, S. 21.
  2. Steve Awodey: Category theory. Clarendon Press, Oxford 2010, ISBN 0-19-923718-2, S. 25.
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Monomorphismus von griechisch monos monos ein allein und morfh morphe Gestalt Form ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der Algebra und der Kategorientheorie In der Algebra bezeichnet er einen Homomorphismus der injektiv ist In der Kategorientheorie verallgemeinert er den Begriff der injektiven Abbildung und erlaubt es Objekte als Unterobjekte von anderen aufzufassen Man beachte dass die universelle Algebra und die Kategorientheorie jeweils einen zu Monomorphismus dualen Begriff namlich den Epimorphismus erklaren diese beiden Epimorphismus Begriffe jedoch nicht aquivalent sind Inhaltsverzeichnis 1 Monomorphismen algebraischer Strukturen 1 1 Beispiele 2 Monomorphismen relationaler Strukturen 3 Monomorphismen in beliebigen Kategorien 3 1 Definition 3 2 Beispiel eines nicht injektiven Monomorphismus 3 3 Extremale Monomorphismen 3 4 Unterobjekte 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseMonomorphismen algebraischer Strukturen BearbeitenEin Homomorphismus von Vektorraumen oder allgemeiner Moduln oder abelschen Gruppen oder Ringen oder Korpern oder allgemein algebraischen Strukturen der injektiv ist heisst Monomorphismus Beispiele Bearbeiten Die Abbildung h R 2 R 3 displaystyle h colon mathbb R 2 to mathbb R 3 nbsp mit h x y x y x y displaystyle h left x y right left x y x y right nbsp ist ein Vektorraum Monomorphismus Die Abbildung g C R displaystyle g colon left mathbb C right to left mathbb R right nbsp mit g z Re z displaystyle g left z right operatorname Re left z right nbsp ist zwar ein Gruppenhomomorphismus aber nicht injektiv Ein Homomorphismus von Gruppen Ringen oder Moduln insbesondere Vektorraumen ist genau dann injektiv wenn sein Kern trivial ist Fur einen beliebigen Homomorphismus f A B displaystyle f colon A to B nbsp von Gruppen Ringen oder Moduln bzw Vektorraumen istf A ker f B displaystyle tilde f colon A ker f to B nbsp dd ein Monomorphismus wenn f a f a displaystyle tilde f colon a mapsto f a nbsp die kanonische Abbildung auf der Restklassenstruktur ist Denn es gilt ker f ker f displaystyle ker tilde f lbrace ker f rbrace nbsp und damit ist ker f displaystyle ker tilde f nbsp trivial Homomorphismen von Korpern sind stets injektiv also stets Monomorphismen Monomorphismen relationaler Strukturen BearbeitenFur allgemeinere Strukturen im Sinne der Modelltheorie insbesondere fur relationale Strukturen ist ein Monomorphismus definiert als injektiver starker Homomorphismus 1 Aquivalent dazu Die Abbildung ist ein Isomorphismus auf ihr Bild Fur den Spezialfall algebraischer Strukturen erhalt man die obige Definition da jeder Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen stark ist Monomorphismen in beliebigen Kategorien BearbeitenDefinition Bearbeiten In der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus ein Morphismus f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp mit folgender Eigenschaft 2 Sind g h T X displaystyle g h colon T to X nbsp beliebige Morphismen mit f g f h displaystyle f circ g f circ h nbsp dann folgt g h displaystyle g h nbsp Man sagt auch f displaystyle f nbsp ist linkskurzbar X displaystyle X nbsp zusammen mit f displaystyle f nbsp heisst dann ein Unterobjekt von Y displaystyle Y nbsp In Kategorien von algebraischen Strukturen sowie in den Kategorien der Mengen oder der topologischen Raume sind die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen Es gibt aber auch konkrete Kategorien mit nicht injektiven Monomorphismen In den Pfeildiagrammen der homologischen Algebra wird ein Monomorphismus f displaystyle f nbsp als kurze exakte Sequenz 0 X f Y displaystyle 0 longrightarrow X overset f longrightarrow Y nbsp oder unter Verwendung eines Hakenpfeils mit zwei Termen als X f Y displaystyle X overset f hookrightarrow Y nbsp notiert Beispiel eines nicht injektiven Monomorphismus Bearbeiten Wir betrachten die Kategorie D i v displaystyle mathbf Div nbsp der teilbaren abelschen Gruppen Die Objekte sind die abelschen Gruppen G displaystyle G nbsp fur die folgendes gilt Fur alle a G displaystyle a in G nbsp und alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp existiert ein b G displaystyle b in G nbsp mit a n b displaystyle a nb nbsp das Element a displaystyle a nbsp lasst sich also durch n displaystyle n nbsp teilen Die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen zwischen diesen Gruppen Die Gruppen Q displaystyle mathbb Q nbsp und Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nbsp sind teilbare abelsche Gruppen Die kanonische Projektion p Q Q Z displaystyle pi colon mathbb Q to mathbb Q mathbb Z nbsp ist surjektiv und ein Monomorphismus in D i v displaystyle mathbf Div nbsp aber nicht injektiv Ist namlich X displaystyle X nbsp eine beliebige teilbare Gruppe und sind f g X Q displaystyle f g colon X to mathbb Q nbsp zwei Morphismen mit der Eigenschaft p f p g displaystyle pi circ f pi circ g nbsp dann gilt x X f x g x ker p Z displaystyle forall x in X f x g x in operatorname ker pi mathbb Z nbsp Ware nun f g displaystyle f neq g nbsp dann gabe es ein x X displaystyle x in X nbsp mit t f x g x 0 displaystyle t f x g x neq 0 nbsp Falls t lt 0 displaystyle t lt 0 nbsp vertausche die Rollen von f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp somit bleibt der Fall t N displaystyle t in mathbb N nbsp Weil X displaystyle X nbsp teilbar ist gabe es dann ein y X displaystyle y in X nbsp mit x 2 t y displaystyle x 2ty nbsp Dann ware aber t f x g x f 2 t y g 2 t y 2 t f y g y displaystyle t f x g x f 2ty g 2ty 2t f y g y nbsp also f y g y 1 2 displaystyle f y g y 1 2 nbsp was x X f x g x Z displaystyle forall x in X f x g x in mathbb Z nbsp widersprache Extremale Monomorphismen Bearbeiten Hauptartikel Extremer Monomorphismus und Epimorphismus Ein Monomorphismus f displaystyle f nbsp heisst extremal wenn er zusatzlich folgende Extremaleigenschaft erfullt Ist f g m displaystyle f g circ m nbsp und m displaystyle m nbsp ist ein Epimorphismus dann muss m displaystyle m nbsp ein Isomorphismus sein Weil m displaystyle m nbsp automatisch ein Monomorphismus ist sind in Kategorien in denen alle Bimorphismen das sind Monomorphismen die Epimorphismen sind bereits Isomorphismen sind alle Monomorphismen extremal Dies hat man zum Beispiel in der Kategorie der Mengen und der Kategorie der Gruppen In der Kategorie der topologischen Raume sind die extremalen Monomorphismen die Einbettungen In der Kategorie der Hausdorff Raume sind die extremalen Monomorphismen die abgeschlossenen Einbettungen In der Kategorie der Banachraume sind die extremalen Monomorphismen genau diejenigen linearen stetigen injektiven Abbildungen f displaystyle f nbsp fur die es ein positives m displaystyle m nbsp gibt so dass fur alle x displaystyle x nbsp aus dem Definitionsbereich gilt m x f x displaystyle m left x right leq left f x right nbsp Unterobjekte Bearbeiten Zu einem gegebenen Objekt A displaystyle A nbsp einer Kategorie C displaystyle mathcal C nbsp kann man die Unterkategorie Q S u b A displaystyle mathrm QSub A nbsp der Scheibenkategorie C A displaystyle mathcal C A nbsp betrachten deren Objekte allesamt Monomorphismen in C displaystyle mathcal C nbsp sind Parallele Pfeile sind hier immer identisch es handelt sich also um eine Quasiordnung Die partielle Ordnung S u b A displaystyle mathrm Sub A nbsp der Unterobjekte von A displaystyle A nbsp ist nun diejenige die aus Q S u b A displaystyle mathrm QSub A nbsp durch den Ubergang zu Isomorphieklassen entsteht Siehe auch BearbeitenIsomorphismusEinzelnachweise Bearbeiten Philipp Rothmaler Einfuhrung in die Modelltheorie Spektrum Akademischer Verlag 1995 ISBN 978 3 86025 461 5 S 21 Steve Awodey Category theory Clarendon Press Oxford 2010 ISBN 0 19 923718 2 S 25 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Monomorphismus amp oldid 222844135