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Millersche Indizes Die millerschen Indizes der Kristallographie auch Miller sche Indizes oder seltener Miller Indizes wu

Millersche Indizes

Die millerschen Indizes der Kristallographie (auch Miller’sche Indizes oder seltener Miller-Indizes) wurden im Jahr 1839 von William Hallowes Miller (1801–1880) vorgeschlagen.

Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel

In der gleichen Arbeit führte Miller auch die heute gebräuchlichen Schreibweisen ein:

  • (hkl) dient der eindeutigen Bezeichnung von Kristallflächen bzw. Ebenen im Kristallgitter,
  • {hkl} steht für Kristallformen, d. h. die Menge aller symmetrisch äquivalenten Flächen,
  • [uvw] für Richtungen (Richtungsindizes),
  • ⟨uvw⟩ für die Menge aller symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Die millerschen Indizes werden wie folgt gebildet: Man bestimmt die Schnittpunkte der Kristallebene mit den drei Koordinatenachsen, kürzt gemeinsame Faktoren, bildet die Kehrwerte und multipliziert mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, so dass sich drei ganze, teilerfremde Zahlen ergeben.

Anwendungen Bearbeiten

In der Mineralogie werden die millerschen Indizes verwendet, um Kristallflächen eindeutig zu beschreiben. Auch zur Angabe der Spaltbarkeit oder von Verzwillingungen werden sie benötigt.

Bei Beugungsmethoden wie der Röntgenbeugung oder der Elektronenbeugung bezeichnen sie eine Netzebenen-Schar.

Hier werden auch höhere Indizes – beispielsweise 222 – eingesetzt, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben. Diese Indizes werden als Laue-Indizes oder Laue-Symbol bezeichnet und zur Unterscheidung von den – nach Definition teilerfremden – millerschen Indizes üblicherweise ohne Klammern geschrieben. Die Laue-Indizes sind die mit der Ordnung n der Interferenz (siehe Bragg-Gleichung) multiplizierten Miller-Indizes. So wird z. B. die Reflexion 2. Ordnung an der Gitterebene mit den Miller-Indizes (100) mit den Laue-Indizes 200 bezeichnet. Laue-Indizes werden z. B. bei der Angabe von systematischen Auslöschungen verwendet und gehen in die Formel des Strukturfaktors ein.

In der Materialwissenschaft werden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benötigt, um Gitterfehler wie Versetzungen zu charakterisieren. Auch Gleitsysteme, Texturen oder die Kristallorientierung von Einkristallen können mit millerschen Indizes beschrieben werden.

Notation Bearbeiten

Abhängig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet. Die drei Vektoren , und mögen die Basis dieses Gitterkoordinatensystems bilden (nicht zu verwechseln mit den primitiven Translationen des Gitters).

Die Basis des zugehörigen reziproken Gitters sei durch die Vektoren , und gegeben (sie werden über die Basisvektoren des Gitters definiert).

Gitterebene (millersche Indizes) Bearbeiten

Es gibt zwei äquivalente Möglichkeiten, eine Gitterebene zu beschreiben:

Gitterebene im Ortsraum Bearbeiten

Betrachtet man eine Gitterebene mit den Spurpunkten , und ( sind die Einheitsvektoren eines rechtwinkligen Koordinatensystems des Raums), so ist die Achsenabschnittsform gegeben durch:

und ein Normalenvektor der Gitterebene durch

Man bilde nun ein Vielfaches dieses Normalenvektors, sodass alle Einträge dieses Vielfachen des Normalenvektors ganze teilerfremde Zahlen sind. Sei dies z. B. im Folgenden durch die ganze Zahl gewährleistet (möglich, da die , da die Schnittpunkte auf dem Kristallgitter liegen sollen), dann gilt

Die Komponenten des Tripletts heißen die millerschen Indizes. Jedes Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene. Negative Zahlen werden anstelle des Minuszeichens durch einen Strich über dem zugehörigen Index gekennzeichnet, also z. B. . Ein Index von Null bezeichnet einen Schnittpunkt im Unendlichen (wie man aus der Achsenabschnittsform sieht), d. h., der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Sind anstatt einer spezifischen Netzebene alle symmetrisch äquivalenten Ebenen gemeint, so wird die Notation verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit im kubischen Kristallsystem die aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen , , , , und , was den sechs Oberflächen eines Würfels entspricht.

Gitterebene im reziproken Gitter Bearbeiten

Jeder Netzebenen-Schar im direkten Gitter entspricht im reziproken Gitter des Kristalls ein Punkt bzw. Ortsvektor

Dieser hat im reziproken Raum die Koordinaten ; er steht senkrecht auf den gleichnamigen Netzebenen und hat als Länge den Kehrwert des Netzebenenabstandes.

Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen , und verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Gittervektoren (Richtungsindizes) Bearbeiten

Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation verwendet, um einen spezifischen Vektor im realen Gitter (Gittervektor) zu bezeichnen:

Dieser Vektor steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der Ebene . Dies ist nur im kubischen Gitter der Fall.

Die Notation bezeichnet alle zum Vektor symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Beispiel:
Bei einem kubischen Kristall (also einem Würfel) ist eine Richtung parallel zu einer der Würfelkanten, die Richtung einer der Flächendiagonalen und die Richtung einer Raumdiagonalen.

Vierer-Schreibweise Bearbeiten

Millersche Indizes im hexagonalen Kristallsystem

Gitterebenen Bearbeiten

Im trigonalen Kristallsystem und im hexagonalen Kristallsystem wird häufig die Schreibweise mit vier Indizes verwendet. Diese abgewandelten millerschen Indizes werden als bravaissche Indizes (auch Bravais-Miller-Indizes oder Miller-Bravais-Indizes) bezeichnet. Die Indizes , und stimmen mit den üblichen millerschen Indizes überein, der zusätzliche (und eigentlich redundante) Index ergibt sich immer als .

Ein Vorteil dieser Indizes im hexagonalen Kristallsystem ist, dass symmetrieäquivalente Flächen leicht zu identifizieren sind, da sie durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden. So sind die Flächen , und beispielsweise Flächen des hexagonalen Prismas.

Richtungsindizes Bearbeiten

Kristallographie und Mineralogie Bearbeiten

In der Kristallographie und Mineralogie werden meist die normalen Richtungsindizes oder verwendet, wobei durch einen Platzhalter . oder * für angedeutet wird, dass das trigonale bzw. hexagonale Kristallsystem gemeint ist. ist immer null.

Allerdings wird diese Schreibweise teilweise auch für die im Folgenden beschriebenen Weber-Indizes verwendet, weswegen es zu Verwechslungen kommen kann.

Werkstoffwissenschaft Bearbeiten

In der Werkstoffwissenschaft wird eine die abweichende Schreibweise bevorzugt, die Weber-Indizes (engl. Weber symbols). Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise ist hier unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:

Da die Umrechnung von Richtungen in die Vierer-Schreibweise verglichen mit Ebenen komplizierter ist, werden in der Literatur Richtungen mit Weber-Indizes häufig falsch angegeben.

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass die Richtung , ähnlich wie in kubischen Kristallsystemen, senkrecht zur Ebene ist; in der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen nicht der Fall. Zudem können – wie bei den Miller-Bravais-Indizes – in kubischen Kristallsystemen aus Symmetriegründen äquivalente Richtungen durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden, und eine bedeutet, dass die Richtung senkrecht zum entsprechenden Basisvektor ist.

Herleitung Bearbeiten

Die Richtung soll äquivalent zu sein, d. h. beide Indizes sollen in die gleiche Richtung zeigen. Also ist

Nun ist

weshalb sich dies als

schreiben lässt. Da

gilt, folgt

Daher ist die Umrechnung von Webersymbolen in Richtungsindizes der Dreier-Schreibweise

wobei am Ende noch gekürzt werden muss. Aus letzteren Gleichungen lassen sich durch Auflösen nach , und die Gleichungen zur Bestimmung der Weberindizes aus der Dreier-Schreibweise erhalten.

Literatur Bearbeiten

  • Charles Kittel: Introduction to solid state physics. 7. Aufl. Wiley, New York 1996. ISBN 0-471-11181-3.
  • Werner Schatt, H. Worch: Werkstoffwissenschaft. 8. Aufl. Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996. ISBN 3-342-00675-7.
  • Hans-Joachim Bautsch, Will Kleber, Joachim Bohm: Einführung in die Kristallographie. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 1998 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Christopher Hammond: The basics of crystallography and diffraction. Oxford University Press, Oxford 2001, ISBN 978-0-19-850552-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Miller Index – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. William Hallowes Miller: A treatise on crystallography. Deighton, Cambridge 1839, LCCN 04-030688, OCLC 8547577 (englisch, Volltext in der Google-Buchsuche).
  2. Walter Borchardt-Ott: Kristallographie. Springer 2008, S. 285, Fußnote 3.
  3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle und Festkörper. Springer, 2005, ISBN 3-540-21473-9, S. 386 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Leonhard Weber: Das viergliedrige Zonensymbol des hexagonalen Systems. In: Z. Kristallogr. Band 57, 1922, S. 200–203.
  5. Christopher Hammond: The Basics of Crystallography and Diffraction. Oxford University Press, 2001, ISBN 978-0-19-850552-5, S. 115 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
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Veröffentlichungsdatum:
Die millerschen Indizes der Kristallographie auch Miller sche Indizes oder seltener Miller Indizes wurden im Jahr 1839 von William Hallowes Miller 1801 1880 vorgeschlagen 1 Auswahl millerscher Indizes in einem WurfelIn der gleichen Arbeit fuhrte Miller auch die heute gebrauchlichen Schreibweisen ein hkl dient der eindeutigen Bezeichnung von Kristallflachen bzw Ebenen im Kristallgitter hkl steht fur Kristallformen d h die Menge aller symmetrisch aquivalenten Flachen uvw fur Richtungen Richtungsindizes uvw fur die Menge aller symmetrisch aquivalenten Richtungen Die millerschen Indizes werden wie folgt gebildet Man bestimmt die Schnittpunkte der Kristallebene mit den drei Koordinatenachsen kurzt gemeinsame Faktoren bildet die Kehrwerte und multipliziert mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner so dass sich drei ganze teilerfremde Zahlen ergeben Inhaltsverzeichnis 1 Anwendungen 2 Notation 2 1 Gitterebene millersche Indizes 2 1 1 Gitterebene im Ortsraum 2 1 2 Gitterebene im reziproken Gitter 2 2 Gittervektoren Richtungsindizes 3 Vierer Schreibweise 3 1 Gitterebenen 3 2 Richtungsindizes 3 2 1 Kristallographie und Mineralogie 3 2 2 Werkstoffwissenschaft 3 2 2 1 Herleitung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseAnwendungen BearbeitenIn der Mineralogie werden die millerschen Indizes verwendet um Kristallflachen eindeutig zu beschreiben Auch zur Angabe der Spaltbarkeit oder von Verzwillingungen werden sie benotigt Bei Beugungsmethoden wie der Rontgenbeugung oder der Elektronenbeugung bezeichnen sie eine Netzebenen Schar Hier werden auch hohere Indizes beispielsweise 222 eingesetzt um die Beugung hoherer Ordnung anzugeben Diese Indizes werden als Laue Indizes oder Laue Symbol bezeichnet und zur Unterscheidung von den nach Definition teilerfremden millerschen Indizes ublicherweise ohne Klammern geschrieben Die Laue Indizes sind die mit der Ordnung n der Interferenz siehe Bragg Gleichung multiplizierten Miller Indizes So wird z B die Reflexion 2 Ordnung an der Gitterebene mit den Miller Indizes 100 mit den Laue Indizes 200 bezeichnet 2 Laue Indizes werden z B bei der Angabe von systematischen Ausloschungen verwendet und gehen in die Formel des Strukturfaktors ein In der Materialwissenschaft werden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benotigt um Gitterfehler wie Versetzungen zu charakterisieren Auch Gleitsysteme Texturen oder die Kristallorientierung von Einkristallen konnen mit millerschen Indizes beschrieben werden Notation BearbeitenAbhangig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet Die drei Vektoren a 1 displaystyle vec a 1 nbsp a 2 displaystyle vec a 2 nbsp und a 3 displaystyle vec a 3 nbsp mogen die Basis dieses Gitterkoordinatensystems bilden nicht zu verwechseln mit den primitiven Translationen des Gitters Die Basis des zugehorigen reziproken Gitters sei durch die Vektoren g 1 displaystyle vec g 1 nbsp g 2 displaystyle vec g 2 nbsp und g 3 displaystyle vec g 3 nbsp gegeben sie werden uber die Basisvektoren a i displaystyle vec a i nbsp des Gitters definiert Gitterebene millersche Indizes Bearbeiten Es gibt zwei aquivalente Moglichkeiten eine Gitterebene zu beschreiben Gitterebene im Ortsraum Bearbeiten Betrachtet man eine Gitterebene mit den Spurpunkten s 1 e 1 displaystyle s 1 vec e 1 nbsp s 2 e 2 displaystyle s 2 vec e 2 nbsp und s 3 e 3 displaystyle s 3 vec e 3 nbsp e i displaystyle vec e i nbsp sind die Einheitsvektoren eines rechtwinkligen Koordinatensystems des Raums so ist die Achsenabschnittsform gegeben durch 1 s 1 x 1 1 s 2 x 2 1 s 3 x 3 1 displaystyle frac 1 s 1 x 1 frac 1 s 2 x 2 frac 1 s 3 x 3 1 nbsp und ein Normalenvektor der Gitterebene durch n 1 s 1 1 s 2 1 s 3 displaystyle vec n begin pmatrix frac 1 s 1 frac 1 s 2 frac 1 s 3 end pmatrix nbsp Man bilde nun ein Vielfaches dieses Normalenvektors sodass alle Eintrage dieses Vielfachen des Normalenvektors ganze teilerfremde Zahlen sind Sei dies z B im Folgenden durch die ganze Zahl j displaystyle j nbsp gewahrleistet moglich da die s i Z displaystyle s i in mathbb Z nbsp da die Schnittpunkte auf dem Kristallgitter liegen sollen dann gilt n 2 j s 1 j s 2 j s 3 h k l displaystyle vec n 2 begin pmatrix frac j s 1 frac j s 2 frac j s 3 end pmatrix begin pmatrix h k l end pmatrix nbsp Die Komponenten des Tripletts h k l displaystyle hkl nbsp heissen die millerschen Indizes 3 Jedes Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene Negative Zahlen werden anstelle des Minuszeichens durch einen Strich uber dem zugehorigen Index gekennzeichnet also z B 1 0 2 displaystyle bar 1 0 bar 2 nbsp Ein Index von Null bezeichnet einen Schnittpunkt im Unendlichen wie man aus der Achsenabschnittsform sieht d h der zugehorige Basisvektor ist parallel zur Ebene Sind anstatt einer spezifischen Netzebene alle symmetrisch aquivalenten Ebenen gemeint so wird die Notation h k l displaystyle hkl nbsp verwendet Beispielsweise bezeichnet man mit 100 displaystyle 100 nbsp im kubischen Kristallsystem die aufgrund der 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Vektoren innerhalb des Gitters konnen durch Indizes bezeichnet werden Dabei wird die Notation u v w displaystyle uvw nbsp verwendet um einen spezifischen Vektor im realen Gitter Gittervektor zu bezeichnen u a 1 v a 2 w a 3 displaystyle u vec a 1 v vec a 2 w vec a 3 nbsp Dieser Vektor steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der Ebene u v w displaystyle uvw nbsp Dies ist nur im kubischen Gitter der Fall Die Notation u v w displaystyle langle uvw rangle nbsp bezeichnet alle zum Vektor u v w displaystyle uvw nbsp symmetrisch aquivalenten Richtungen Beispiel Bei einem kubischen Kristall also einem Wurfel ist 100 displaystyle langle 100 rangle nbsp eine Richtung parallel zu einer der Wurfelkanten 110 displaystyle langle 110 rangle nbsp die Richtung einer der Flachendiagonalen und 111 displaystyle langle 111 rangle nbsp die Richtung einer Raumdiagonalen Vierer Schreibweise Bearbeiten nbsp Millersche Indizes im hexagonalen KristallsystemGitterebenen Bearbeiten Im trigonalen Kristallsystem und im hexagonalen Kristallsystem wird haufig die Schreibweise H K I L displaystyle HKIL nbsp mit vier Indizes verwendet Diese abgewandelten millerschen Indizes werden als bravaissche Indizes auch Bravais Miller Indizes oder Miller Bravais Indizes bezeichnet Die Indizes H displaystyle H nbsp K displaystyle K nbsp und L displaystyle L nbsp stimmen mit den ublichen millerschen Indizes uberein der zusatzliche und eigentlich redundante Index I displaystyle I nbsp ergibt sich immer als H K displaystyle H K nbsp Ein Vorteil dieser Indizes im hexagonalen Kristallsystem ist dass symmetrieaquivalente Flachen leicht zu identifizieren sind da sie durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden So sind die Flachen 10 1 0 displaystyle 10 bar 1 0 nbsp 01 1 0 displaystyle 01 bar 1 0 nbsp und 1 1 00 displaystyle 1 bar 1 00 nbsp beispielsweise Flachen des hexagonalen Prismas Richtungsindizes Bearbeiten Kristallographie und Mineralogie Bearbeiten In der Kristallographie und Mineralogie werden meist die normalen Richtungsindizes u v w displaystyle uv w nbsp oder u v w displaystyle uv w nbsp verwendet wobei durch einen Platzhalter oder fur t displaystyle t nbsp angedeutet wird dass das trigonale bzw hexagonale Kristallsystem gemeint ist t displaystyle t nbsp ist immer null Allerdings wird diese Schreibweise teilweise auch fur die im Folgenden beschriebenen Weber Indizes verwendet weswegen es zu Verwechslungen kommen kann Werkstoffwissenschaft Bearbeiten In der Werkstoffwissenschaft wird eine die abweichende Schreibweise U V T W displaystyle UVTW nbsp bevorzugt die Weber Indizes engl Weber symbols 4 Die Umrechnung aus der Dreier Schreibweise u v w displaystyle uvw nbsp ist hier unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen Indizes 5 U 2 u v 3 displaystyle U 2u v 3 nbsp V 2 v u 3 displaystyle V 2v u 3 nbsp T u v 3 displaystyle T u v 3 nbsp W w displaystyle W w nbsp Da die Umrechnung von Richtungen in die Vierer Schreibweise verglichen mit Ebenen komplizierter ist werden in der Literatur Richtungen mit Weber Indizes haufig falsch angegeben Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin dass die Richtung U V T W displaystyle UVTW nbsp ahnlich wie in kubischen Kristallsystemen senkrecht zur Ebene U V T W displaystyle UVTW nbsp ist in der Dreier Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen nicht der Fall Zudem konnen wie bei den Miller Bravais Indizes in kubischen Kristallsystemen aus Symmetriegrunden aquivalente Richtungen durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden und eine 0 displaystyle 0 nbsp bedeutet dass die Richtung senkrecht zum entsprechenden Basisvektor ist Herleitung Bearbeiten Die Richtung u v w displaystyle uvw nbsp soll aquivalent zu U V T W displaystyle UVTW nbsp sein d h beide Indizes sollen in die gleiche Richtung zeigen Also ist u a v b w c U a V b T d W c displaystyle u cdot vec a v cdot vec b w cdot vec c propto U cdot vec a V cdot vec b T cdot vec d W cdot vec c nbsp Nun ist d a b displaystyle vec d vec a vec b nbsp weshalb sich dies als u a v b w c U T a V T b W c displaystyle u cdot vec a v cdot vec b w cdot vec c propto U T cdot vec a V T cdot vec b W cdot vec c nbsp schreiben lasst Da T U V displaystyle T U V nbsp gilt folgt u a v b w c 2 U V a 2 V U b W c displaystyle u cdot vec a v cdot vec b w cdot vec c propto 2U V cdot vec a 2V U cdot vec b W cdot vec c nbsp Daher ist die Umrechnung von Webersymbolen in Richtungsindizes der Dreier Schreibweise u 2 U V displaystyle u 2U V nbsp v U 2 V displaystyle v U 2V nbsp w W displaystyle w W nbsp wobei am Ende noch gekurzt werden muss Aus letzteren Gleichungen lassen sich durch Auflosen nach U displaystyle U nbsp V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp die Gleichungen zur Bestimmung der Weberindizes aus der Dreier Schreibweise erhalten Literatur BearbeitenCharles Kittel Introduction to solid state physics 7 Aufl Wiley New York 1996 ISBN 0 471 11181 3 Werner Schatt H Worch Werkstoffwissenschaft 8 Aufl Dt Verl fur Grundstoffindustrie Stuttgart 1996 ISBN 3 342 00675 7 Hans Joachim Bautsch Will Kleber Joachim Bohm Einfuhrung in die Kristallographie Oldenbourg Wissenschaftsverlag 1998 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Christopher Hammond The basics of crystallography and diffraction Oxford University Press Oxford 2001 ISBN 978 0 19 850552 5 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Miller Index Album mit Bildern Videos und Audiodateien IUCr Online Dictionary of Crystallography Miller indices IUCr Online Dictionary of Crystallography Bravais Miller indices Richtungen und Ebenen im Gitter bei der Universitat Kiel Videovorlesung der Universitat TubingenEinzelnachweise Bearbeiten William Hallowes Miller A treatise on crystallography Deighton Cambridge 1839 LCCN 04 030688 OCLC 8547577 englisch Volltext in der Google Buchsuche Walter Borchardt Ott Kristallographie Springer 2008 S 285 Fussnote 3 Wolfgang Demtroder Experimentalphysik 3 Atome Molekule und Festkorper Springer 2005 ISBN 3 540 21473 9 S 386 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Leonhard Weber Das viergliedrige Zonensymbol des hexagonalen Systems In Z Kristallogr Band 57 1922 S 200 203 Christopher Hammond The Basics of Crystallography and Diffraction Oxford University Press 2001 ISBN 978 0 19 850552 5 S 115 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Millersche Indizes amp oldid 233428053