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Systematische Auslöschung Unter systematischer Auslöschung versteht man in der Kristallographie das systematische Fehlen

Systematische Auslöschung

Unter systematischer Auslöschung versteht man in der Kristallographie das systematische Fehlen von Reflexen bei der Röntgen- oder Neutronenbeugung an Kristallen, welches auf die symmetriebedingte destruktive Interferenz von gebeugten Strahlen zurückzuführen ist.

Ursache der systematischen Auslöschungen ist ein mit einem Translationsvektor verbundenes Symmetrieelement der Raumgruppe (Zentrierung des Bravaisgitters, Gleitspiegelebene oder Schraubenachse).

Bedeutung und Arten Bearbeiten

Die systematische Auslöschung hat große Bedeutung für die Strukturaufklärung von Kristallen, da aus ihr Rückschlüsse auf die Symmetrieeigenschaften der Kristalle gezogen und ihre Raumgruppen bestimmt werden können. Daher sind die Auslöschungsgesetze für die jeweilige Raumgruppe in den International Tables angegeben.

Man unterscheidet:

  • integrale Auslöschung, welche Reflexe im ganzen reziproken Raum betrifft und durch eine Zentrierung des Bravais-Gitters entsteht.
  • zonale Auslöschung, bei der nur Reflexe einer Ebene (Zone) im reziproken Raum fehlen und die durch eine Gleitspiegelebene im Kristall entsteht.
  • serielle Auslöschung, bei der nur Reflexe auf einer Geraden im reziproken Raum fehlen und die durch eine Schraubenachse im Kristall entsteht.

Beschreibung Bearbeiten

Die Beschreibung einer systematischen Auslöschung erfolgt durch Laue-Indizes hkl, die den Millerschen Indizes (hkl) entsprechen, jedoch im Gegensatz dazu nicht teilerfremd sein müssen.

Zum einen wird der betroffene Bereich des reziproken Raums angegeben, z. B.:

  • hkl für eine integrale Auslöschung
  • hk0 für eine zonale Auslöschung in der l=0-Ebene
  • 00l für eine serielle Auslöschung in der h=k=0-Geraden.

Zum anderen wird eine Bedingung gegeben (z. B. h+k=2n, d. h. die Summe von h und k muss gerade sein), die wie folgt wirkt:

  • als Auslöschungsbedingung (Bedingung für das Fehlen von Reflexen), oder
  • als Reflexbedingung (Bedingung für das Vorhandensein von Reflexen).

Integrale Auslöschung Bearbeiten

Zentrierung Translationsvektor Betroffene Reflexe Reflexbedingung
primitiv - - h, k, l beliebig
(keine Auslöschung)
A-zentriert (flächenz.) b/2 + c/2 hkl k+l=2n
B-zentriert (flächenz.) a/2 + c/2 hkl h+l=2n
C-zentriert (flächenz.) a/2 + b/2 hkl h+k=2n
allseitig flächenzentriert b/2 + c/2
a/2 + b/2
a/2 + c/2 		hkl k+l=2n und
h+l=2n und
h+k=2n
innen- bzw. raumzentriert a/2 + b/2 + c/2 hkl h+k+l=2n
rhomboedrisch 2a/3 + b/3 + c/3 hkl -h+k+l=3n

Zeile mit u. g. Beispiel farbig markiert

Beispiel Bearbeiten

In einer innenzentrierten Zelle gibt es zu jedem Atom an beliebiger Position x,y,z ein symmetrisch äquivalentes Atom an der Stelle x+0.5, y+0.5, z+0.5. Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:

Reflexe gibt es daher nur an den Stellen, an denen h+k+l gerade ist.

Zonale Auslöschung Bearbeiten

Gleitspiegelebene
(Hermann-Mauguin-Symbol) 		Lage Gleitvektor Betroffene Reflexe Reflexbedingung
a (001) a/2 hk0 h = 2n
b (001) b/2 hk0 k = 2n
n (001) a/2 + b/2 hk0 h + k = 2n
d (001) a/4 ± b/4 hk0 h + k = 4n und
h = 2n und
k = 2n
a (010) a/2 h0l h = 2n
c (010) c/2 h0l l = 2n
n (010) a/2 + c/2 h0l h + l = 2n
d (010) a/4 ± c/4 h0l h + l = 4n und
h = 2n und
l = 2n
b (100) b/2 0kl k = 2n
c (100) c/2 0kl l = 2n
n (100) b/2 + c/2 0kl k + l = 2n
d (100) b/4 ± c/4 0kl k + l = 4n und
k = 2n und
l = 2n

Zeile mit u. g. Beispiel farbig markiert

Beispiel Bearbeiten

Gibt es in einem Kristall eine a-Gleitspiegelebene senkrecht zu c, die durch den Ursprung geht, so gibt es zu jedem Atom m in x, y, z ein symmetrisch äquivalentes in x+0.5, y, -z (-z wg. der Spiegelung senkrecht zu c, x + 0,5 wg. des Gleitvektors 1/2 a). Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:

für l = 0 folgt:

Reflexe in der Zone l=0 gibt es also nur, wenn h gerade ist.

Serielle Auslöschung Bearbeiten

Schraubenachse Lage Translationsvektor Betroffene Reflexe Reflexbedingung
; ; // [100] 1/2 a h00 h = 2n
;
; 		// [100] 1/3 a
2/3 a 		h00 h = 3n

// [100] 1/4 a
3/4 a 		h00 h = 4n

// [100] 1/6 a
5/6 a 		h00 h = 6n
; ; // [010] 1/2 b 0k0 k = 2n
;
; 		// [010] 1/3 b
2/3 b 		0k0 k = 3n

// [010] 1/4 b
3/4 b 		0k0 k = 4n

// [010] 1/6 b
5/6 b 		0k0 k = 6n
; ; // [001] 1/2 c 00l l = 2n
;
; 		// [001] 1/3 c
2/3 c 		00l l = 3n

// [001] 1/4 c
3/4 c 		00l l = 4n

// [001] 1/6 c
5/6 c 		00l l = 6n

Zeile mit u. g. Beispiel farbig markiert

Beispiel Bearbeiten

Gibt es in einem Kristall eine Schraubenachse 21 parallel zu c durch den Ursprung, so existiert zu einem Atom m in x,y,z ein symmetrisch äquivalentes in -x, -y, z+0,5 (-x und -y wg. der Drehung um 360°/2 = 180° um die o. g. Achse, z + 0,5 wg. des Translationsvektors 1/2 c). Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist:

für h=k=0 gilt:

In der Richtung 00l gibt es also nur dann Reflexe, wenn l gerade ist.

Literatur Bearbeiten

  • Schwarzenbach D. Kristallographie Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5
  • Hahn, Theo (Hrsg.): International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2
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Veröffentlichungsdatum:
Unter systematischer Ausloschung versteht man in der Kristallographie das systematische Fehlen von Reflexen bei der Rontgen oder Neutronenbeugung an Kristallen welches auf die symmetriebedingte destruktive Interferenz von gebeugten Strahlen zuruckzufuhren ist Ursache der systematischen Ausloschungen ist ein mit einem Translationsvektor verbundenes Symmetrieelement der Raumgruppe Zentrierung des Bravaisgitters Gleitspiegelebene oder Schraubenachse Inhaltsverzeichnis 1 Bedeutung und Arten 2 Beschreibung 3 Integrale Ausloschung 3 1 Beispiel 4 Zonale Ausloschung 4 1 Beispiel 5 Serielle Ausloschung 5 1 Beispiel 6 LiteraturBedeutung und Arten BearbeitenDie systematische Ausloschung hat grosse Bedeutung fur die Strukturaufklarung von Kristallen da aus ihr Ruckschlusse auf die Symmetrieeigenschaften der Kristalle gezogen und ihre Raumgruppen bestimmt werden konnen Daher sind die Ausloschungsgesetze fur die jeweilige Raumgruppe in den International Tables angegeben Man unterscheidet integrale Ausloschung welche Reflexe im ganzen reziproken Raum betrifft und durch eine Zentrierung des Bravais Gitters entsteht zonale Ausloschung bei der nur Reflexe einer Ebene Zone im reziproken Raum fehlen und die durch eine Gleitspiegelebene im Kristall entsteht serielle Ausloschung bei der nur Reflexe auf einer Geraden im reziproken Raum fehlen und die durch eine Schraubenachse im Kristall entsteht Beschreibung BearbeitenDie Beschreibung einer systematischen Ausloschung erfolgt durch Laue Indizes hkl die den Millerschen Indizes hkl entsprechen jedoch im Gegensatz dazu nicht teilerfremd sein mussen Zum einen wird der betroffene Bereich des reziproken Raums angegeben z B hkl fur eine integrale Ausloschung hk0 fur eine zonale Ausloschung in der l 0 Ebene 00l fur eine serielle Ausloschung in der h k 0 Geraden Zum anderen wird eine Bedingung gegeben z B h k 2n d h die Summe von h und k muss gerade sein die wie folgt wirkt als Ausloschungsbedingung Bedingung fur das Fehlen von Reflexen oder als Reflexbedingung Bedingung fur das Vorhandensein von Reflexen Integrale Ausloschung BearbeitenZentrierung Translationsvektor Betroffene Reflexe Reflexbedingungprimitiv h k l beliebig keine Ausloschung A zentriert flachenz b 2 c 2 hkl k l 2nB zentriert flachenz a 2 c 2 hkl h l 2nC zentriert flachenz a 2 b 2 hkl h k 2nallseitig flachenzentriert b 2 c 2a 2 b 2a 2 c 2 hkl k l 2n undh l 2n undh k 2ninnen bzw raumzentriert a 2 b 2 c 2 hkl h k l 2nrhomboedrisch 2a 3 b 3 c 3 hkl h k l 3nZeile mit u g Beispiel farbig markiert Beispiel Bearbeiten In einer innenzentrierten Zelle gibt es zu jedem Atom an beliebiger Position x y z ein symmetrisch aquivalentes Atom an der Stelle x 0 5 y 0 5 z 0 5 Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist f m e 2 p i h x k y l z f m e 2 p i h x 0 5 k y 0 5 l z 0 5 displaystyle f m e 2 pi i hx ky lz f m e 2 pi i h x 0 5 k y 0 5 l z 0 5 nbsp f m e 2 p i h x k y l z 1 e p i h k l displaystyle f m e 2 pi i hx ky lz 1 e pi i h k l nbsp mit 1 e p i h k l 1 1 h k l 2 wenn h k l gerade 0 wenn h k l ungerade displaystyle 1 e pi i h k l 1 1 h k l begin cases 2 amp text wenn h k l gerade 0 amp text wenn h k l ungerade end cases nbsp Reflexe gibt es daher nur an den Stellen an denen h k l gerade ist Zonale Ausloschung BearbeitenGleitspiegelebene Hermann Mauguin Symbol Lage Gleitvektor Betroffene Reflexe Reflexbedingunga 001 a 2 hk0 h 2nb 001 b 2 hk0 k 2nn 001 a 2 b 2 hk0 h k 2nd 001 a 4 b 4 hk0 h k 4n undh 2n undk 2na 010 a 2 h0l h 2nc 010 c 2 h0l l 2nn 010 a 2 c 2 h0l h l 2nd 010 a 4 c 4 h0l h l 4n undh 2n undl 2nb 100 b 2 0kl k 2nc 100 c 2 0kl l 2nn 100 b 2 c 2 0kl k l 2nd 100 b 4 c 4 0kl k l 4n undk 2n undl 2nZeile mit u g Beispiel farbig markiert Beispiel Bearbeiten Gibt es in einem Kristall eine a Gleitspiegelebene senkrecht zu c die durch den Ursprung geht so gibt es zu jedem Atom m in x y z ein symmetrisch aquivalentes in x 0 5 y z z wg der Spiegelung senkrecht zu c x 0 5 wg des Gleitvektors 1 2 a Der Beitrag jedes dieser Atompaare zum 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jedes dieser Atompaare zum Strukturfaktor ist f m e 2 p i h x k y l z e 2 p i h x k y l z e p i l displaystyle f m e 2 pi i hx ky lz e 2 pi i hx ky lz e pi il nbsp fur h k 0 gilt f m e 2 p i l z 1 e p i l displaystyle f m e 2 pi ilz 1 e pi il nbsp mit 1 e p i l 1 1 l 2 wenn l gerade 0 wenn l ungerade displaystyle 1 e pi il 1 1 l begin cases 2 amp text wenn l gerade 0 amp text wenn l ungerade end cases nbsp In der Richtung 00l gibt es also nur dann Reflexe wenn l gerade ist Literatur BearbeitenSchwarzenbach D Kristallographie Springer Verlag Berlin 2001 ISBN 3 540 67114 5 Hahn Theo Hrsg International Tables for Crystallography Vol A D Reidel publishing Company Dordrecht 1983 ISBN 90 277 1445 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Systematische Ausloschung amp oldid 222254169