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Laue Bedingung Die nach Max von Laue ist eine zur Bragg Bedingung äquivalente Beschreibung von Beugungseffekten an Krist

Laue-Bedingung

Die Laue-Bedingung, nach Max von Laue, ist eine zur Bragg-Bedingung äquivalente Beschreibung von Beugungseffekten an Kristallen. Sie gibt Auskunft über das Auftreten von Beugungsreflexen bei elastischer Streuung von Röntgenstrahlung, Elektronen oder Neutronen an Kristallen.

Zur Erklärung der Röntgenbeugung gibt es zwei äquivalente Ansätze. In beiden werden Kristalle als starre periodische Strukturen von mikroskopischen Objekten angesehen. Bei der Bragg-Theorie werden die Atome im Kristall in parallelen Gitterebenen mit konstantem Abstand angeordnet. An diesen Ebenen kommt es zur spiegelnden Reflexion der Strahlung. Bei der Von-Laue-Theorie geht man von anderen Annahmen aus:

  • Beschreibe den Kristall als Bravaisgitter
  • An den Gitterplätzen sitzen identische mikroskopische Objekte, die die einfallende Strahlung streuen
  • Reflexe nur in Richtungen, für die von den Gitterpunkten gestreute Strahlung konstruktiv interferiert

Die Laue-Bedingung lautet: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem reziproken Gittervektor entspricht.

Die Laue-Bedingung geht vom reinen Kristallgitter (am Gitterpunkt ein punktförmiges Streuzentrum) aus und gibt an, in welcher Richtung Beugungsreflexe beobachtet werden können. Die relative Intensität der Reflexe hängt vom Aufbau der Basis, dem Streuvermögen der Basisatome und von der thermischen Bewegung der Atome ab. Dies wird durch den Strukturfaktor beschrieben.

Herleitung Bearbeiten

Laue-Bedingung

Der Abstand zweier Streuzentren (Gitterpunkte) ist ein Gittervektor . Der Wellenvektor der einfallenden Strahlung sei , der der gestreuten sei . Damit ergibt sich folgender Gangunterschied (Wegdifferenz):

Für konstruktive Interferenz muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:

Gleichsetzen liefert:

Geht man von elastischer Streuung aus, ist die Wellenzahl des einfallenden und des reflektierten Strahls gleich: . Für alle Gittervektoren muss gelten:

Dies entspricht genau der Bestimmungsgleichung für reziproke Gittervektoren :

Die Laue-Bedingung lautet somit: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem reziproken Gittervektor entspricht.

Zur Veranschaulichung der Laue-Bedingung siehe Ewaldkugel.

Laue-Gleichungen und Laue-Indizes Bearbeiten

Reziproke Gittervektoren lassen sich als Linearkombination der primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters ausdrücken, dabei sind die Laue-Indizes (s. u.):

Ebenso lassen sich die Gittervektoren als Linearkombination der primitiven Gittervektoren darstellen mit :

Das Skalarprodukt aus primitiven Gittervektoren des Ortsraums und des reziproken Raums ist:

wobei das Kronecker-Symbol ist.

Bildet man das Skalarprodukt der obigen Laue-Bedingung mit den primitiven Ortsvektoren, erhält man die drei Laue-Gleichungen:

Die drei ganzen Zahlen (normalerweise , hier aber Verwechslungsgefahr mit Wellenzahl , deswegen ) heißen dabei die Laue-Indizes. Die drei Gleichungen definieren jeweils einen Kegel (für h=0 zu einer Ebene entartet). Damit alle Bedingungen erfüllt sind, müssen sich drei Kegelflächen in dieser Raumrichtung zusammentreffen. Dadurch werden die punktförmigen Interferenzmuster der Röntgenbeugung an Kristallgittern erklärt und indiziert. Zeitgleich mit Laue stellten W.H. Bragg und W.L. Bragg die Bragg-Bedingung für die Reflexion an parallelen Flächen im Abstand d auf. Auch wenn die Herangehensweisen von Laue (Beugung in alle Raumrichtungen) und Bragg (Reflexion) verschieden sind, sind die beiden Effekte äquivalent: Hat die Schar von Netzebenen, die in der Bragg-Bedingung gerade den Abstand d haben, im Kristall die Millerschen Indizes (hkl), so hat der Interferenzpunkt die Laue-Indizes nh nk nl, die Laue-Indizes sind also gerade das n-fache der Miller-Indizes. Aufgrund des Zusammenhangs mit der Bragg-Reflexion werden die Laue-Indizes gelegentlich auch als Bragg-Indizes bezeichnet.

Alternative Formulierung der Laue-Bedingung Bearbeiten

Man kann die Laue-Bedingung noch in alternativer Form schreiben. Man quadriere die Laue-Bedingung und benutze (elastische Beugung):

Teile durch :

Für ein gegebenes ist dies eine Ebenengleichung in der Hesse-Normalenform. Die Projektion von auf die Richtung von ist konstant . Ein Wellenvektor der einfallenden Strahlung erfüllt die Laue-Bedingung, wenn seine Spitze in einer Bragg-Ebene liegt. Eine Bragg-Ebene ist die mittelsenkrechte Ebene auf der Verbindungslinie zwischen dem Ursprung im reziproken Raum und einem Punkt . Diese Ebenengleichung entspricht für benachbarte Punkte im reziproken Raum der Konstruktionsvorschrift der Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters (erste Brillouin-Zone).

Daraus folgt die Alternative Formulierung der Laue-Bedingung: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Spitze des einfallenden Wellenvektors auf dem Rand einer Brillouin-Zone liegt.

Äquivalenz von Laue- und Bragg-Bedingung Bearbeiten

Laue- und Bragg-Bedingung

Geht man von und aus, so ergibt sich:

Der Winkel zwischen und sei :

mit und Kosinussatz

Radizieren liefert:

Das Skalarprodukt zwischen einem reziproken Gittervektor und einem Gittervektor ergibt:

Für ein gegebenes ist dies eine Ebenengleichung für eine Gitterebene, wobei senkrecht auf dieser Ebene steht. Schreibt sich als folgende Linearkombination , so steht der Vektor senkrecht auf der Gitterebene . Der Gitterebenenabstand ist

Mit und erhält man aus die Bragg-Bedingung (n entspricht der Ordnung des Beugungsreflexes):

Beugungsreflex

  • nach Laue: Änderung des Wellenvektors um reziproken Gittervektor
  • nach Bragg: Reflexion an Netzebenenschar des Kristallgitters, die senkrecht zu steht und deren Abstand beträgt.

Literatur Bearbeiten

  • Martin J. Buerger: Kristallographie. 1. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1977, ISBN 3-11-004286-X.
  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Neil W. Ashcroft, David N. Mermin: Festkörperphysik. 2007, ISBN 978-3-486-58273-4 (Seite 124 in der Google-Buchsuche).
  2. André Authier: Early Days of X-ray Crystallography. Oxford University Press, 2013, ISBN 978-0-19-965984-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Gerd Koppelmann, Gert Sinn: Zur Interferenz an Raumgittern. (PDF) Deutung und Lichtoptische Modellversuche. In: Wege in der Physikdidaktik. Werner B. Schneider, 1991, abgerufen am 2. Januar 2015 (als Buch von Verlag Palm & Enke unter ISBN 3-7896-0100-4 derzeit vergriffen).
  4. S. König, R. Erlebach: Kristallographie und Röntgenuntersuchung an Kristallen. (PDF) Abgerufen am 2. Januar 2015 (undatierter Vortrag Uni Jena, insbesondere Seite 7).
  5. Paul Katolla, Tobias Krähling: (PDF) (Nicht mehr online verfügbar.) 7. August 2009, archiviert vom Original am 3. Januar 2015; abgerufen am 2. Januar 2015 (Praktikumsprotokoll an der Ruhr-Uni Bochum, siehe insbesondere Seite 6).
  6. J.L. Atwood, J.W. Steed: Encyclopedia of Supramolecular Chemistry, CRC Press, 2004, ISBN 978-0-8247-4724-4.
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Die Laue Bedingung nach Max von Laue ist eine zur Bragg Bedingung aquivalente Beschreibung von Beugungseffekten an Kristallen Sie gibt Auskunft uber das Auftreten von Beugungsreflexen bei elastischer Streuung von Rontgenstrahlung Elektronen oder Neutronen an Kristallen Zur Erklarung der Rontgenbeugung gibt es zwei aquivalente Ansatze In beiden werden Kristalle als starre periodische Strukturen von mikroskopischen Objekten angesehen Bei der Bragg Theorie werden die Atome im Kristall in parallelen Gitterebenen mit konstantem Abstand angeordnet An diesen Ebenen kommt es zur spiegelnden Reflexion der Strahlung Bei der Von Laue Theorie geht man von anderen Annahmen aus Beschreibe den Kristall als Bravaisgitter An den Gitterplatzen sitzen identische mikroskopische Objekte die die einfallende Strahlung streuen Reflexe nur in Richtungen fur die von den Gitterpunkten gestreute Strahlung konstruktiv interferiertDie Laue Bedingung lautet Man erhalt genau dann konstruktive Interferenz wenn die Anderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem reziproken Gittervektor entspricht Die Laue Bedingung geht vom reinen Kristallgitter am Gitterpunkt ein punktformiges Streuzentrum aus und gibt an in welcher Richtung Beugungsreflexe beobachtet werden konnen Die relative Intensitat der Reflexe hangt vom Aufbau der Basis dem Streuvermogen der Basisatome und von der thermischen Bewegung der Atome ab Dies wird durch den Strukturfaktor beschrieben Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Laue Gleichungen und Laue Indizes 3 Alternative Formulierung der Laue Bedingung 4 Aquivalenz von Laue und Bragg Bedingung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseHerleitung Bearbeiten nbsp Laue BedingungDer Abstand zweier Streuzentren Gitterpunkte ist ein Gittervektor R displaystyle vec R nbsp Der Wellenvektor der einfallenden Strahlung sei k displaystyle vec k nbsp der der gestreuten sei k displaystyle vec k nbsp Damit ergibt sich folgender Gangunterschied Wegdifferenz D x R k k R k k displaystyle Delta x vec R cdot frac 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einem reziproken Gittervektor entspricht k k K displaystyle vec k vec k vec K nbsp bzw D k K displaystyle Delta vec k vec K nbsp Zur Veranschaulichung der Laue Bedingung siehe Ewaldkugel Laue Gleichungen und Laue Indizes BearbeitenReziproke Gittervektoren lassen sich als Linearkombination der primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters b i displaystyle vec b i nbsp ausdrucken dabei sind h i Z displaystyle h i in mathbb Z nbsp die Laue Indizes s u K h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3 displaystyle vec K h 1 vec b 1 h 2 vec b 2 h 3 vec b 3 nbsp Ebenso lassen sich die Gittervektoren als Linearkombination der primitiven Gittervektoren a i displaystyle vec a i nbsp darstellen mit n i Z displaystyle n i in mathbb Z nbsp R n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 displaystyle vec R n 1 vec a 1 n 2 vec a 2 n 3 vec a 3 nbsp Das Skalarprodukt aus primitiven Gittervektoren des Ortsraums a j displaystyle vec a j nbsp und des reziproken Raums b i displaystyle vec b i nbsp ist b i a j 2 p d i j displaystyle vec b i cdot 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gegebenes K displaystyle vec K nbsp ist dies eine Ebenengleichung fur eine Gitterebene wobei K displaystyle vec K nbsp senkrecht auf dieser Ebene steht Schreibt sich K displaystyle vec K nbsp als folgende Linearkombination K h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3 displaystyle vec K h 1 vec b 1 h 2 vec b 2 h 3 vec b 3 nbsp so steht der Vektor senkrecht auf der Gitterebene h 1 h 2 h 3 displaystyle h 1 h 2 h 3 nbsp Der Gitterebenenabstand d displaystyle d nbsp ist d 2 p K 2 p h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3 displaystyle d frac 2 pi K frac 2 pi h 1 vec b 1 h 2 vec b 2 h 3 vec b 3 nbsp Mit k 2 p l displaystyle k 2 pi lambda nbsp und K 2 p n d displaystyle K 2 pi n d nbsp erhalt man aus 2 k sin 8 K displaystyle 2k sin Theta K nbsp die Bragg Bedingung n entspricht der Ordnung des Beugungsreflexes 2 d sin 8 n l displaystyle 2d sin Theta n lambda nbsp Beugungsreflex nach Laue Anderung des Wellenvektors um reziproken Gittervektor K displaystyle vec K nbsp nach Bragg Reflexion an Netzebenenschar des Kristallgitters die senkrecht zu K displaystyle vec K nbsp steht und deren Abstand d 2 p K displaystyle d frac 2 pi K nbsp betragt Literatur BearbeitenMartin J Buerger Kristallographie 1 Auflage Walter de Gruyter Berlin 1977 ISBN 3 11 004286 X Neil W Ashcroft N David Mermin Festkorperphysik 2 Auflage Oldenbourg Munchen 2005 ISBN 3 486 57720 4 Einzelnachweise Bearbeiten Neil W Ashcroft David N Mermin Festkorperphysik 2007 ISBN 978 3 486 58273 4 Seite 124 in der Google Buchsuche Andre Authier Early Days of X ray Crystallography Oxford University Press 2013 ISBN 978 0 19 965984 5 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Gerd Koppelmann Gert Sinn Zur Interferenz an Raumgittern PDF Deutung und Lichtoptische Modellversuche In Wege in der Physikdidaktik Werner B Schneider 1991 abgerufen am 2 Januar 2015 als Buch von Verlag Palm amp Enke unter ISBN 3 7896 0100 4 derzeit vergriffen S Konig R Erlebach Kristallographie und Rontgenuntersuchung an Kristallen PDF Abgerufen am 2 Januar 2015 undatierter Vortrag 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