Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Der Artikel ist leider derzeit komplett ohne Literaturverweise oder Quellen Cepheiden Diskussion 10 48 6 Feb 2022 CET Als Gitter oder Netzebene bezeichnet man in der Kristallographie eine Ebene die durch Punkte des Kristallgitters aufgespannt wird Ihre Lage im Raum wird durch die millerschen Indizes hkl beschrieben Auswahl von Gitterebenen in einem Wurfel Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 1 1 Gitterebenenabstand 2 Herleitungen 3 Siehe auchBeschreibung BearbeitenEin Kristallgitter lasst sich beschreiben als ganzzahlige Linearkombination der Basisvektoren a 1 displaystyle vec a 1 nbsp a 2 displaystyle vec a 2 nbsp und a 3 displaystyle vec a 3 nbsp Richtungen der Kristallachsen des jeweiligen Kristallsystems Eine Ebene diese Gitters ist festgelegt durch ihre drei Schnittpunkte mit den Kristallachsen Die millerschen Indizes hkl bezeichnen die Ebene die an den Punkten 1 h a 1 displaystyle tfrac 1 h vec a 1 nbsp 1 k a 2 displaystyle tfrac 1 k vec a 2 nbsp und 1 l a 3 displaystyle tfrac 1 l vec a 3 nbsp von den Kristallachsen geschnitten wird d h gerade an den Kehrwerten der einzelnen Indizes in der Abb besonders gut zu sehen z B am Fall 102 unten Schnittpunkte 1 0 0 und 0 0 Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen bzw einen effektiv nicht vorhandenen Schnittpunkt d h der zugehorige Basisvektor ist parallel zur Ebene Senkrecht auf der durch die millerschen Indizes hkl definierten Gitterebene steht der Gittervektor G h g 1 k g 2 l g 3 displaystyle vec G h vec g 1 k vec g 2 l vec g 3 nbsp des reziproken Gitters mit den Basisvektoren g 1 displaystyle vec g 1 nbsp g 2 displaystyle vec g 2 nbsp und g 3 displaystyle vec g 3 nbsp Gitterebenenabstand Bearbeiten Eine Schar von Gitterebenen besteht aus allen parallel verlaufenden Gitterebenen mit jeweils dem Gitterebenenabstand d h k l displaystyle d mathrm hkl nbsp Dieser kann aus den millerschen Indizes und den reziproken Gittervektoren berechnet werden d h k l 2 p h g 1 k g 2 l g 3 displaystyle d mathrm hkl frac 2 pi h vec g 1 k vec g 2 l vec g 3 nbsp Fur Kristallsysteme mit rechtwinkligen Achsen also orthorhombische und hoher symmetrische Gitter tetragonale und kubische Systeme gilt mit den Gitterkonstanten a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp d h k l 1 h a 2 k b 2 l c 2 displaystyle d mathrm hkl frac 1 sqrt left frac h a right 2 left frac k b right 2 left frac l c right 2 nbsp Dies vereinfacht sich z B fur kubische Systeme durch Gleichsetzen von a b c displaystyle a b c nbsp weiter d h k l a h 2 k 2 l 2 displaystyle d mathrm hkl frac a sqrt h 2 k 2 l 2 nbsp Herleitungen BearbeitenEine Ebene hkl ist eindeutig definiert durch drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte Dies sind hier die Schnittpunkte mit den Kristallachsen P 1 1 h a 1 displaystyle vec P 1 frac 1 h vec a 1 nbsp P 2 1 k a 2 displaystyle vec P 2 frac 1 k vec a 2 nbsp und P 3 1 l a 3 displaystyle vec P 3 frac 1 l vec a 3 nbsp Die Vorfaktoren 1 h displaystyle frac 1 h nbsp 1 k displaystyle frac 1 k nbsp 1 l displaystyle frac 1 l nbsp ergeben sich aus den Kehrwerten der millerschen Indizes Die Punkte auf der Ebene lassen sich beschreiben durch die Parameterform r r 0 l u m v displaystyle vec r vec r 0 lambda vec u mu vec v nbsp mit Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren die in der Ebene liegen und nicht kollinear sind Liegen zwei Punkte in der Ebene so liegt deren Verbindungsvektor ebenfalls in der Ebene Hieruber lassen sich die Richtungsvektoren konstruieren u P 1 P 2 displaystyle vec u vec P 1 vec P 2 nbsp und v P 2 P 3 displaystyle vec v vec P 2 vec P 3 nbsp Als Aufpunkt wahle irgendeinen in der Ebene liegenden Punkt hier P 1 displaystyle vec P 1 nbsp r 1 h a 1 l 1 h a 1 1 k a 2 m 1 k a 2 1 l a 3 displaystyle vec r frac 1 h vec a 1 lambda left frac 1 h vec a 1 frac 1 k vec a 2 right mu left frac 1 k vec a 2 frac 1 l vec a 3 right nbsp Bildet man das Skalarprodukt zwischen dem reziproken Gittervektor G h g 1 k g 2 l g 3 displaystyle vec G h vec g 1 k vec g 2 l vec g 3 nbsp und r displaystyle vec r nbsp unter Ausnutzung der Relation g i a j 2 p d i j displaystyle vec g i cdot vec a j 2 pi delta ij nbsp so ergibt sich G r 1 h G a 1 2 p h 2 p l 1 h G a 1 2 p h 1 k G a 2 2 p k 0 m 1 k G a 2 2 p k 1 l G a 3 2 p l 0 2 p displaystyle vec G cdot vec r underbrace frac 1 h underbrace vec G cdot vec a 1 2 pi h 2 pi lambda underbrace left frac 1 h underbrace vec G cdot vec a 1 2 pi h frac 1 k underbrace vec G cdot vec a 2 2 pi k right 0 mu underbrace left frac 1 k underbrace vec G cdot vec a 2 2 pi k frac 1 l underbrace vec G cdot vec a 3 2 pi l right 0 2 pi nbsp Fur einen Normalenvektor der Ebene n displaystyle vec n nbsp sind die Skalarprodukte mit den Richtungsvektoren gleich Null n u 0 displaystyle vec n cdot vec u 0 nbsp und n v 0 displaystyle vec n cdot vec v 0 nbsp Genau das trifft auf G h g 1 k g 2 l g 3 displaystyle vec G h vec g 1 k vec g 2 l vec g 3 nbsp zu dieser steht also auf der Ebene hkl senkrecht Durch den Gitterpunkt am Koordinatenursprung verlauft parallel zur gerade betrachteten Ebene durch P 1 displaystyle P 1 nbsp auch eine Ebene mit den Indizes hkl Deren Abstand ist die Projektion eines Verbindungsvektors beider Ebenen r 0 r displaystyle vec r vec 0 vec r nbsp auf den normierten Normalenvektor G G displaystyle vec G G nbsp Dies ergibt zusammen mit obiger Rechnung den Gitterebenenabstand G G r 2 p h g 1 k g 2 l g 3 d h k l displaystyle frac vec G G cdot vec r frac 2 pi h vec g 1 k vec g 2 l vec g 3 equiv d mathrm hkl nbsp Im Nenner treten bei der Betragsbildung sowohl die Langen der reziproken Gittervektoren auf g i 2 g i 2 displaystyle vec g i 2 vec g i 2 nbsp als auch die Projektionen der Gittervektoren aufeinander g i g j displaystyle vec g i cdot vec g j nbsp mit i j displaystyle i neq j nbsp Letztere sind bei nicht orthogonalen Kristallsystemen ungleich Null d h k l 2 p h g 1 k g 2 l g 3 2 p h 2 g 1 2 k 2 g 2 2 l 2 g 3 2 2 h k g 1 g 2 2 h l g 1 g 3 2 k l g 2 g 3 displaystyle d mathrm hkl frac 2 pi h vec g 1 k vec g 2 l vec g 3 frac 2 pi sqrt h 2 vec g 1 2 k 2 vec g 2 2 l 2 vec g 3 2 2hk vec g 1 cdot vec g 2 2hl vec g 1 cdot vec g 3 2kl vec g 2 cdot vec g 3 nbsp Ein orthorhombisches Kristallsystem ist ein rechtwinkliges Kristallsystem mit drei 90 Winkeln jedoch ohne gleich lange Achsen Die Gittervektoren lauten hier ausgedruckt bzgl der kanonischen Einheitsbasis a 1 a e x displaystyle vec a 1 a hat e x nbsp a 2 b e y displaystyle vec a 2 b hat e y nbsp a 3 c e z displaystyle vec a 3 c hat e z nbsp Und die dazugehorigen reziproken Gittervektoren sind ebenfalls orthogonal g i g j 0 displaystyle vec g i cdot vec g j 0 nbsp fur i j displaystyle i neq j nbsp g 1 2 p a e x displaystyle vec g 1 frac 2 pi a hat e x nbsp g 2 2 p b e y displaystyle vec g 2 frac 2 pi b hat e y nbsp g 3 2 p c e z displaystyle vec g 3 frac 2 pi c hat e z nbsp Setze diese in obige allgemeine Formel fur den Gitterebenenabstand ein d h k l 2 p h 2 p a e x k 2 p b e y l 2 p c e z 1 h a 2 k b 2 l c 2 displaystyle d mathrm hkl frac 2 pi left h frac 2 pi a hat e x k frac 2 pi b hat e y l frac 2 pi c hat e z right frac 1 sqrt left frac h a right 2 left frac k b right 2 left frac l c right 2 nbsp Das kubische Kristallsystem ist ebenfalls rechtwinklig aber zusatzlich sind die Gitterkonstanten bezuglich jeder Kristallachse gleich a b c displaystyle a b c nbsp und die Formel vereinfacht sich weiter zu d h k l a h 2 k 2 l 2 displaystyle d mathrm hkl frac a sqrt h 2 k 2 l 2 nbsp Siehe auch BearbeitenRaumgitter Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gitterebene amp oldid 219918283
