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Riemannscher Krümmungstensor Der riemannsche Krümmungstensor kürzer auch Riemanntensor riemannsche Krümmung oder Krümmun

Riemannscher Krümmungstensor

Der riemannsche Krümmungstensor (kürzer auch Riemanntensor, riemannsche Krümmung oder Krümmungstensor) beschreibt die Krümmung von Räumen beliebiger Dimension, genauer gesagt riemannscher oder pseudo-riemannscher Mannigfaltigkeiten. Er wurde nach dem Mathematiker Bernhard Riemann benannt und ist eines der wichtigsten Hilfsmittel der riemannschen Geometrie. Eine andere wichtige Anwendung findet er im Zusammenhang mit der Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Der riemannsche Krümmungstensor ist ein Tensor der Stufe 4. Man kann seine Koeffizienten zum Beispiel in der Form angeben. In diesem Artikel wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Motivation Bearbeiten

Diffeomorphismen sind die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und entsprechend sind (glatte) Isometrien die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten. Da differenzierbare Mannigfaltigkeiten per Definition lokal diffeomorph zum euklidischen Raum sind, kam die Frage auf, ob riemannsche Mannigfaltigkeiten auch lokal isometrisch zum sind. Dies ist nicht der Fall. Daher wurde der riemannsche Krümmungstensor eingeführt, welcher, einfach ausgedrückt, angibt, wie lokal ähnlich eine riemannsche Mannigfaltigkeit dem ist. Um die Definition des riemannschen Krümmungstensors besser zu verstehen, wird folgende Überlegung im vorangestellt.

Sei ein Vektorfeld. Im euklidischen gilt für die Einheitsvektorfelder entlang der Koordinatenachsen die Gleichheit

welche der Satz von Schwarz sichert. Für allgemeine Vektorfelder gilt dies auch im schon nicht mehr. Habe in Koordinaten die Darstellung , so gilt

Der Ausdruck bezeichnet die Richtungsableitung von in Richtung . Untersucht man nun weiter die Nichtkommutativität von , so erhält man im euklidischen Raum

Auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten ist dies falsch. Aus diesem Grund wird die folgende Definition gemacht.

Definition Bearbeiten

Sei eine glatte Mannigfaltigkeit mit dem Zusammenhang . Dann ist der riemannsche Krümmungstensor eine Abbildung

welche durch

definiert ist. Mit ist der Raum der glatten Vektorfelder und mit die Lie-Klammer gemeint.

In lokalen Koordinaten kann man den Krümmungstensor mit Hilfe der Christoffelsymbole darstellen:

Anmerkung Bearbeiten

Manche Autoren, wie zum Beispiel do Carmo oder Gallot, Hulin, Lafontaine, definieren den Riemannschen Krümmungstensor mit umgekehrtem Vorzeichen. In diesem Fall dreht sich auch das Vorzeichen bei der Definition der Schnittkrümmung und der Ricci-Krümmung, so dass bei allen Autoren die Vorzeichen von Schnittkrümmung, Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung übereinstimmen.

Eigenschaften Bearbeiten

Tensorfeld Bearbeiten

Der Krümmungstensor ist ein -Tensorfeld.

  • Er ist also insbesondere in jeder Variablen linear.
  • Der Wert von am Punkt der Mannigfaltigkeit hängt nur von den Werten der Vektorfelder , und am Punkt ab (und nicht etwa von den Werten in einer Umgebung von .)

Symmetrien des Krümmungstensors Bearbeiten

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit beliebigem Zusammenhang ist der Krümmungstensor schiefsymmetrisch in den ersten zwei Einträgen, das heißt, es gilt

Erste Vertauschungssymmetrie

Für riemannsche Mannigfaltigkeiten mit dem Levi-Civita-Zusammenhang gilt außerdem

Zweite Vertauschungssymmetrie
Blockvertauschungssymmetrie

Bianchi-Identitäten Bearbeiten

Ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang und sind Vektorfelder, dann gilt die erste Bianchi-Identität

mit dem Torsionstensor und

Die zweite Bianchi-Identität lautet

mit

Ist torsionsfrei, so vereinfachen sich diese Gleichungen zu

und

Ist eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem Levi-Civita-Zusammenhang , dann gilt die erste Bianchi-Identität

und die zweite Bianchi-Identität lässt sich als

schreiben. Die erste Bianchi-Identität wird auch algebraische Bianchi-Identität und die zweite auch differentielle Bianchi-Identität genannt. Benannt sind diese Identitäten nach dem Mathematiker Luigi Bianchi.

Flache Mannigfaltigkeit Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit heißt flach, falls sie lokal isometrisch zum euklidischen Raum ist. Das heißt, für jeden Punkt gibt es eine Umgebung und eine Abbildung , welche isometrisch ist, also für welche gilt. Hier bezeichnet das euklidische Skalarprodukt und den Pushforward von .

Verbindung zum Krümmungstensor Bearbeiten

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Zusammenhang ist genau dann flach, wenn der riemannsche Krümmungstensor identisch null ist. Daher ist die abwickelbare Fläche das zweidimensionale Analogon zur flachen Mannigfaltigkeit.

Abgeleitete Größen Bearbeiten

Schnittkrümmung Bearbeiten

Eine der wichtigsten Krümmungsgrößen in der riemannschen Geometrie ist die Schnittkrümmung. Sie verallgemeinert die Gaußsche Krümmung von regulären Flächen. Dabei wird jeder Ebene im Tangentialraum an einem Punkt einer riemannschen Mannigfaltigkeit eine Krümmung zugeordnet. Diese ist die Gaußkrümmung einer Fläche in , die als Tangentialebene hat und innerhalb der Mannigfaltigkeit nicht gekrümmt ist, sozusagen ein „Schnitt“ durch die Mannigfaltigkeit in Richtung der Ebene . Die Definition erfolgt allerdings nicht mit Hilfe dieser Fläche, sondern mit Hilfe des riemannschen Krümmungstensors und von zwei Vektoren, die die Ebene aufspannen.

Gegeben seien eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit riemannscher Metrik , ein Punkt in und ein zweidimensionaler Unterraum (Ebene) des Tangentialraums von im Punkt . Seien und zwei Tangentialvektoren, die diese Ebene aufspannen. Mit

wird der Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms bezeichnet. Dann hängt die Größe

nur von der Ebene ab, aber nicht von der Wahl der sie aufspannenden Vektoren und . Man schreibt deshalb für auch und nennt dies die Schnittkrümmung von .

Ist zweidimensional, dann gibt es in jedem Punkt von nur einen solchen zweidimensionalen Unterraum des Tangentialraums, nämlich den Tangentialraum selbst, und ist dann gerade die Gaußkrümmung von im Punkt

Ricci-Tensor Bearbeiten

In den Einsteinschen Feldgleichungen wird der Ricci-Tensor (nach Gregorio Ricci-Curbastro) verwendet. Er ergibt sich aus dem Krümmungstensor durch Tensorverjüngung:

Gemäß der einsteinschen Summenkonvention wird über gleich vorkommende Indizes summiert, von denen der eine oben und der andere unten steht. Zur Bildung des Ricci-Tensors wird also über den Index summiert. Das Vorzeichen wird dabei per Konvention festgelegt und ist prinzipiell frei wählbar.

Skalarkrümmung Bearbeiten

Die Tensorverjüngung beziehungsweise Kontraktion des Ricci-Tensors bezeichnet man als den Krümmungsskalar (auch Ricci-Skalar oder Skalarkrümmung). Um seine Form zu beschreiben, wird hier zunächst der Ausdruck aus dem Ricci-Tensor abgeleitet:

Dabei ist der kontravariante metrische Tensor. Der Krümmungsskalar ergibt sich durch Kontraktion, dabei wird über den Index summiert.

Der Krümmungsskalar kann auch direkt aus dem Ricci-Tensor gewonnen werden:

Dabei wird über die Indizes und summiert.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie hängt der Krümmungsskalar über den Einsteinfaktor mit dem Laue-Skalar zusammen, der durch Kontraktion aus dem Energie-Impuls-Tensor gebildet wird:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Englischer Originaltitel: Geometria Riemanniana. Übersetzt von Francis Flaherty. Birkhäuser, Boston / Basel / Berlin 1992, ISBN 3-7643-3490-8, S. 89.
  2. Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Aufl. 1990, S. 107

Literatur Bearbeiten

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
  • Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0.
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.
  • Peter W. Michor: Topics in Differential Geometry. AMS, Providence, RI 2008, ISBN 978-0-8218-2003-2.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der riemannsche Krummungstensor kurzer auch Riemanntensor riemannsche Krummung oder Krummungstensor beschreibt die Krummung von Raumen beliebiger Dimension genauer gesagt riemannscher oder pseudo riemannscher Mannigfaltigkeiten Er wurde nach dem Mathematiker Bernhard Riemann benannt und ist eines der wichtigsten Hilfsmittel der riemannschen Geometrie Eine andere wichtige Anwendung findet er im Zusammenhang mit der Krummung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitatstheorie Der riemannsche Krummungstensor ist ein Tensor der Stufe 4 Man kann seine Koeffizienten zum Beispiel in der Form R i k p m displaystyle R ikp m angeben In diesem Artikel wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Definition 2 1 Anmerkung 3 Eigenschaften 3 1 Tensorfeld 3 2 Symmetrien des Krummungstensors 3 3 Bianchi Identitaten 4 Flache Mannigfaltigkeit 4 1 Definition 4 2 Verbindung zum Krummungstensor 5 Abgeleitete Grossen 5 1 Schnittkrummung 5 2 Ricci Tensor 5 3 Skalarkrummung 6 Einzelnachweise 7 Literatur 8 WeblinksMotivation BearbeitenDiffeomorphismen sind die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und entsprechend sind glatte Isometrien die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten Da differenzierbare Mannigfaltigkeiten per Definition lokal diffeomorph zum euklidischen Raum sind kam die Frage auf ob riemannsche Mannigfaltigkeiten auch lokal isometrisch zum R n displaystyle mathbb R n nbsp sind Dies ist nicht der Fall Daher wurde der riemannsche Krummungstensor eingefuhrt welcher einfach ausgedruckt angibt wie lokal ahnlich eine riemannsche Mannigfaltigkeit dem R n displaystyle mathbb R n nbsp ist Um die Definition des riemannschen Krummungstensors besser zu verstehen wird folgende Uberlegung im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp vorangestellt Sei Z G T R 2 displaystyle Z in Gamma T mathbb R 2 nbsp ein Vektorfeld Im euklidischen R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp gilt fur die Einheitsvektorfelder 1 2 displaystyle partial 1 partial 2 nbsp entlang der Koordinatenachsen die Gleichheit 1 2 Z 2 1 Z displaystyle nabla partial 1 nabla partial 2 Z nabla partial 2 nabla partial 1 Z nbsp welche der Satz von Schwarz sichert Fur allgemeine Vektorfelder X Y displaystyle X Y nbsp gilt dies auch im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp schon nicht mehr Habe Z displaystyle Z nbsp in Koordinaten die Darstellung Z Z i i displaystyle textstyle Z Z i partial i nbsp so gilt X Y Z X Y Z i i X Y Z i i displaystyle nabla X nabla Y Z nabla X YZ i partial i XYZ i partial i nbsp Der Ausdruck Y Z i displaystyle YZ i nbsp bezeichnet die Richtungsableitung von Z i displaystyle Z i nbsp in Richtung Y displaystyle Y nbsp Untersucht man nun weiter die Nichtkommutativitat von X Y displaystyle nabla X nabla Y nbsp so erhalt man im euklidischen Raum X Y Z Y X Z X Y Z i Y X Z i i X Y Z displaystyle nabla X nabla Y Z nabla Y nabla X Z XYZ i YXZ i partial i nabla X Y Z nbsp Auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten ist dies falsch Aus diesem Grund wird die folgende Definition gemacht Definition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine glatte Mannigfaltigkeit mit dem Zusammenhang displaystyle nabla nbsp Dann ist der riemannsche Krummungstensor eine Abbildung G M T M G M T M G M T M G M T M displaystyle Gamma infty M TM times Gamma infty M TM times Gamma infty M TM to Gamma infty M TM nbsp welche durch R X Y Z X Y Z Y X Z X Y Z displaystyle R X Y Z nabla X nabla Y Z nabla Y nabla X Z nabla X Y Z nbsp definiert ist Mit G M T M displaystyle Gamma infty M TM nbsp ist der Raum der glatten Vektorfelder und mit displaystyle nbsp die Lie Klammer gemeint In lokalen Koordinaten kann man den Krummungstensor mit Hilfe der Christoffelsymbole darstellen R i k p m k G i p m p G i k m G i p a G a k m G i k a G a p m displaystyle R ikp m partial k Gamma ip m partial p Gamma ik m Gamma ip a Gamma ak m Gamma ik a Gamma ap m nbsp Anmerkung Bearbeiten Manche Autoren wie zum Beispiel do Carmo 1 oder Gallot Hulin Lafontaine 2 definieren den Riemannschen Krummungstensor mit umgekehrtem Vorzeichen In diesem Fall dreht sich auch das Vorzeichen bei der Definition der Schnittkrummung und der Ricci Krummung so dass bei allen Autoren die Vorzeichen von Schnittkrummung Ricci Krummung und Skalarkrummung ubereinstimmen Eigenschaften BearbeitenTensorfeld Bearbeiten Der Krummungstensor ist ein 1 3 displaystyle 1 3 nbsp Tensorfeld Er ist also insbesondere in jeder Variablen linear Der Wert von R X Y Z displaystyle R X Y Z nbsp am Punkt p displaystyle p nbsp der Mannigfaltigkeit hangt nur von den Werten der Vektorfelder X displaystyle X nbsp Y displaystyle Y nbsp und Z displaystyle Z nbsp am Punkt p displaystyle p nbsp ab und nicht etwa von den Werten in einer Umgebung von p displaystyle p nbsp Symmetrien des Krummungstensors Bearbeiten Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit beliebigem Zusammenhang ist der Krummungstensor schiefsymmetrisch in den ersten zwei Eintragen das heisst es gilt Erste Vertauschungssymmetrie R X Y Z R Y X Z displaystyle R X Y Z R Y X Z qquad nbsp R a b c d R a b d c R a b c d 0 displaystyle R abcd R abdc Leftrightarrow R ab cd 0 nbsp Fur riemannsche Mannigfaltigkeiten M g displaystyle M g nbsp mit dem Levi Civita Zusammenhang gilt ausserdem Zweite Vertauschungssymmetrie g R X Y Z T g R X Y T Z displaystyle g R X Y Z T g R X Y T Z qquad nbsp R a b c d R b a c d R a b c d 0 displaystyle R abcd R bacd Leftrightarrow R ab cd 0 nbsp Blockvertauschungssymmetrie g R X Y Z T g R Z T X Y displaystyle g R X Y Z T g R Z T X Y nbsp R a b c d R c d a b displaystyle R abcd R cdab nbsp Bianchi Identitaten Bearbeiten Ist M displaystyle M nbsp eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang displaystyle nabla nbsp und sind W X Y Z G M T M displaystyle W X Y Z in Gamma infty M TM nbsp Vektorfelder dann gilt die erste Bianchi Identitat R X Y Z R Y Z X R Z X Y X T Y Z T T X Y Z Y T Z X T T Y Z X Z T X Y T T Z X Y displaystyle R X Y Z R Y Z X R Z X Y nabla X T Y Z T T X Y Z nabla Y T Z X T T Y Z X nabla Z T X Y T T Z X Y nbsp mit dem Torsionstensor T displaystyle T nbsp und X T Y Z X T Y Z T X Y Z T Y X Z displaystyle nabla X T Y Z nabla X T Y Z T nabla X Y Z T Y nabla X Z nbsp Die zweite Bianchi Identitat lautet X R Y Z R T X Y Z Y R Z X R T Y Z X Z R X Y R T Z X Y 0 displaystyle nabla X R Y Z R T X Y Z nabla Y R Z X R T Y Z X nabla Z R X Y R T Z X Y 0 nbsp mit X R Y Z W X R Y Z W R X Y Z W R Y X Z W R Y Z X W displaystyle nabla X R Y Z W nabla X R Y Z W R nabla X Y Z W R Y nabla X Z W R Y Z nabla X W nbsp Ist displaystyle nabla nbsp torsionsfrei so vereinfachen sich diese Gleichungen zu R X Y Z R Y Z X R Z X Y 0 displaystyle R X Y Z R Y Z X R Z X Y 0 nbsp und X R Y Z Y R Z X Z R X Y 0 displaystyle nabla X R Y Z nabla Y R Z X nabla Z R X Y 0 nbsp Ist M g displaystyle M g nbsp eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem Levi Civita Zusammenhang displaystyle nabla nbsp dann gilt die erste Bianchi Identitat R X Y Z R Y Z X R Z X Y 0 displaystyle R X Y Z R Y Z X R Z X Y 0 nbsp und die zweite Bianchi Identitat lasst sich als W g R X Y Z V Z g R X Y V W V g R X Y W Z 0 displaystyle nabla W g R X Y Z V nabla Z g R X Y V W nabla V g R X Y W Z 0 nbsp schreiben Die erste Bianchi Identitat wird auch algebraische Bianchi Identitat und die zweite auch differentielle Bianchi Identitat genannt Benannt sind diese Identitaten nach dem Mathematiker Luigi Bianchi Flache Mannigfaltigkeit Bearbeiten Hauptartikel Flache Mannigfaltigkeit Definition Bearbeiten Eine riemannsche Mannigfaltigkeit M g displaystyle M g nbsp heisst flach falls sie lokal isometrisch zum euklidischen Raum ist Das heisst fur jeden Punkt p M displaystyle p in M nbsp gibt es eine Umgebung U displaystyle U nbsp und eine Abbildung ϕ U V R n displaystyle phi colon U to V subset mathbb R n nbsp welche isometrisch ist also fur welche g X Y ϕ g X Y g ϕ X ϕ Y displaystyle g X Y phi overline g X Y overline g phi X phi Y nbsp gilt Hier bezeichnet g displaystyle overline g nbsp das euklidische Skalarprodukt und ϕ displaystyle phi nbsp den Pushforward von ϕ displaystyle phi nbsp Verbindung zum Krummungstensor Bearbeiten Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi Civita Zusammenhang displaystyle nabla nbsp ist genau dann flach wenn der riemannsche Krummungstensor identisch null ist Daher ist die abwickelbare Flache das zweidimensionale Analogon zur flachen Mannigfaltigkeit Abgeleitete Grossen BearbeitenSchnittkrummung Bearbeiten Hauptartikel Schnittkrummung Eine der wichtigsten Krummungsgrossen in der riemannschen Geometrie ist die Schnittkrummung Sie verallgemeinert die Gausssche Krummung von regularen Flachen Dabei wird jeder Ebene s displaystyle sigma nbsp im Tangentialraum an einem Punkt einer riemannschen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp eine Krummung zugeordnet Diese ist die Gausskrummung einer Flache in M displaystyle M nbsp die s displaystyle sigma nbsp als Tangentialebene hat und innerhalb der Mannigfaltigkeit nicht gekrummt ist sozusagen ein Schnitt durch die Mannigfaltigkeit in Richtung der Ebene s displaystyle sigma nbsp Die Definition erfolgt allerdings nicht mit Hilfe dieser Flache sondern mit Hilfe des riemannschen Krummungstensors und von zwei Vektoren die die Ebene s displaystyle sigma nbsp aufspannen Gegeben seien eine riemannsche Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit riemannscher Metrik g displaystyle g nbsp ein Punkt p displaystyle p nbsp in M displaystyle M nbsp und ein zweidimensionaler Unterraum Ebene s T p M displaystyle sigma subset T p M nbsp des Tangentialraums T p M displaystyle T p M nbsp von M displaystyle M nbsp im Punkt p displaystyle p nbsp Seien v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp zwei Tangentialvektoren die diese Ebene aufspannen Mit v w g v v g w w g v w 2 displaystyle v wedge w sqrt g v v g w w g v w 2 nbsp wird der Flacheninhalt des von v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp aufgespannten Parallelogramms bezeichnet Dann hangt die Grosse K v w g R v w w v v w 2 g R v w w v g v v g w w g v w 2 displaystyle K v w frac g R v w w v v wedge w 2 frac g R v w w v g v v g w w g v w 2 nbsp nur von der Ebene s displaystyle sigma nbsp ab aber nicht von der Wahl der sie aufspannenden Vektoren v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp Man schreibt deshalb fur K v w displaystyle K v w nbsp auch K s displaystyle K sigma nbsp und nennt dies die Schnittkrummung von s displaystyle sigma nbsp Ist M displaystyle M nbsp zweidimensional dann gibt es in jedem Punkt p displaystyle p nbsp von M displaystyle M nbsp nur einen solchen zweidimensionalen Unterraum des Tangentialraums namlich den Tangentialraum selbst und K s displaystyle K sigma nbsp ist dann gerade die Gausskrummung von M displaystyle M nbsp im Punkt p displaystyle p nbsp Ricci Tensor Bearbeiten In den Einsteinschen Feldgleichungen wird der Ricci Tensor R m n displaystyle R mu nu nbsp nach Gregorio Ricci Curbastro verwendet Er ergibt sich aus dem Krummungstensor durch Tensorverjungung R m n R m l n l displaystyle R mu nu pm R mu lambda nu lambda nbsp Gemass der einsteinschen Summenkonvention wird uber gleich vorkommende Indizes summiert von denen der eine oben und der andere unten steht Zur Bildung des Ricci Tensors wird also uber den Index l displaystyle lambda nbsp summiert Das Vorzeichen wird dabei per Konvention festgelegt und ist prinzipiell frei wahlbar Skalarkrummung Bearbeiten Die Tensorverjungung beziehungsweise Kontraktion des Ricci Tensors bezeichnet man als den Krummungsskalar auch Ricci Skalar oder Skalarkrummung Um seine Form zu beschreiben wird hier zunachst der Ausdruck R k l displaystyle R kappa lambda nbsp aus dem Ricci Tensor abgeleitet R k l g m l R m k displaystyle R kappa lambda g mu lambda R mu kappa nbsp Dabei ist g m l displaystyle g mu lambda nbsp der kontravariante metrische Tensor Der Krummungsskalar ergibt sich durch Kontraktion dabei wird uber den Index l displaystyle lambda nbsp summiert R R l l displaystyle R R lambda lambda nbsp Der Krummungsskalar kann auch direkt aus dem Ricci Tensor R m r displaystyle R mu rho nbsp gewonnen werden R g m r R m r displaystyle R g mu rho R mu rho nbsp Dabei wird uber die Indizes m displaystyle mu nbsp und r displaystyle rho nbsp summiert In der Allgemeinen Relativitatstheorie hangt der Krummungsskalar uber den Einsteinfaktor k displaystyle kappa nbsp mit dem Laue Skalar T displaystyle T nbsp zusammen der durch Kontraktion aus dem Energie Impuls Tensor T n m displaystyle T nu mu nbsp gebildet wird T T l l R k displaystyle T T lambda lambda R kappa nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Manfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Englischer Originaltitel Geometria Riemanniana Ubersetzt von Francis Flaherty Birkhauser Boston Basel Berlin 1992 ISBN 3 7643 3490 8 S 89 Sylvestre Gallot Dominique Hulin Jacques Lafontaine Riemannian Geometry 2 Aufl 1990 S 107Literatur BearbeitenManfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Birkhauser Boston 1992 ISBN 0 8176 3490 8 Sylvestre Gallot Dominique Hulin Jacques Lafontaine Riemannian Geometry 2 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1990 ISBN 3 540 52401 0 John M Lee Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature Springer New York 1997 ISBN 0387983228 Peter W Michor Topics in Differential Geometry AMS Providence RI 2008 ISBN 978 0 8218 2003 2 Weblinks BearbeitenRiemannscher Krummungstensor auf MathWorld Video Riemannscher Krummungstensor Jorn Loviscach 2014 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 5446 19927 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Riemannscher Krummungstensor amp oldid 235970869