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Konvexgeometrie Die oder auch konvexe Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie Sie wurde von Hermann Minkowski begründ

Konvexgeometrie

Die Konvexgeometrie (oder auch konvexe Geometrie) ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie wurde von Hermann Minkowski begründet und behandelt die Theorie der konvexen Mengen in -dimensionalen reellen affinen Räumen oder Vektorräumen. Minkowski entwickelte seine Theorie in seinem Werk Geometrie der Zahlen (Leipzig 1896 und 1910).

Die Konvexgeometrie hat zahlreiche Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik wie etwa der Zahlentheorie, der Funktionalanalysis, der diskreten Mathematik oder der algebraischen Geometrie (Torische Geometrie, Tropische Geometrie).

Definition Bearbeiten

Eine Teilmenge eines reellen -dimensionalen Vektorraumes heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten und ebenso alle Punkte zwischen ihnen enthält, also die Punkte der Strecke . Zu jeder Teilmenge des reellen Raumes existiert ihre konvexe Hülle, das ist der Durchschnitt aller enthaltenden konvexen Mengen.

Die konvexen Hüllen endlich vieler Punkte heißen konvexe Polyeder oder Polytope. Eigentliche Polytope sind solche, die nicht in einem echten affinen Unterraum liegen. Klassische Beispiele sind Dreieck, konvexes Viereck und Parallelogramm in der Ebene, Tetraeder, Quader, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder im dreidimensionalen Raum, Simplex in beliebigen Dimensionen. Man kann Polyeder als Vereinigungen endlich vieler Polytope erklären und auf diese Definition die Geometrie der Polyeder aufbauen.

Auswahl klassischer Resultate der Konvexgeometrie Bearbeiten

Viele der genannten Sätze gelten in unendlichdimensionalen Räumen nur noch in abgeschwächter Form. Siehe dazu etwa Satz von Krein-Milman oder Choquet-Theorie.

Literatur Bearbeiten

  • Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel. Verlag Walter de Gruyter, Berlin 1956.
  • Wilhelm Blaschke: Gesammelte Werke. Bd. 3. Konvexgeometrie. Hrsg. von Werner Burau. Thales-Verlag, Essen 1985, ISBN 3-88908-203-3.
  • Tommy Bonnesen, Werner Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1974, ISBN 3-540-06234-3.
  • Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes. Springer-Verlag, New York [u. a.] 1983, ISBN 0-387-90722-X.
  • W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63970-0.
  • Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-71132-2.
  • Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1955.
  • H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 93). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1957 (MR0102775).
  • Isaak M. Jaglom, W. G. Boltjanskij: Konvexe Figuren. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956.
  • Victor L. Klee (Hrsg.): Convexity. Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13–15, 1961. American Mathematical Society, Providence RI 1963.
  • Steven R. Lay: Convex Sets and their Applications. John Wiley & Sons, New York [u. a.] 1982, ISBN 0-471-09584-2.
  • Paul J. Kelly, Max L. Weiss: Geometry and Convexity. John Wiley & Sons, New York [u. a.] 1979, ISBN 0-471-04637-X.
  • Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1980, ISBN 3-540-09071-1.
  • Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1977, ISBN 3-7643-0839-7.
  • Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen. Chelsea Publ., New York 1953 (Reprint of the 1896 edition).
  • Athanase Papadopoulos: Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature (= IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics Vol. 6). European Mathematical Society, Zürich 2014, ISBN 978-3-03719-010-4, S. 298.
  • Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (= BI-Hochschultaschenbücher. 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968.
  • Günter M. Ziegler: Lectures on Polytopes. Springer-Verlag, New York [u. a.] 1995, ISBN 0-387-94365-X.

Weblink Bearbeiten

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Die Konvexgeometrie oder auch konvexe Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie Sie wurde von Hermann Minkowski begrundet und behandelt die Theorie der konvexen Mengen in n displaystyle n dimensionalen reellen affinen Raumen oder Vektorraumen Minkowski entwickelte seine Theorie in seinem Werk Geometrie der Zahlen Leipzig 1896 und 1910 Die Konvexgeometrie hat zahlreiche Bezuge zu anderen Teilgebieten der Mathematik wie etwa der Zahlentheorie der Funktionalanalysis der diskreten Mathematik oder der algebraischen Geometrie Torische Geometrie Tropische Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Auswahl klassischer Resultate der Konvexgeometrie 3 Literatur 4 WeblinkDefinition BearbeitenEine Teilmenge eines reellen n displaystyle n nbsp dimensionalen Vektorraumes heisst konvex wenn sie mit je zwei Punkten A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp ebenso alle Punkte zwischen ihnen enthalt also die Punkte der Strecke A B displaystyle AB nbsp Zu jeder Teilmenge M displaystyle M nbsp des reellen Raumes existiert ihre konvexe Hulle das ist der Durchschnitt aller M displaystyle M nbsp enthaltenden konvexen Mengen Die konvexen Hullen endlich vieler Punkte heissen konvexe Polyeder oder Polytope Eigentliche Polytope sind solche die nicht in einem echten affinen Unterraum liegen Klassische Beispiele sind Dreieck konvexes Viereck und Parallelogramm in der Ebene Tetraeder Quader Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder im dreidimensionalen Raum Simplex in beliebigen Dimensionen Man kann Polyeder als Vereinigungen endlich vieler Polytope erklaren und auf diese Definition die Geometrie der Polyeder aufbauen Auswahl klassischer Resultate der Konvexgeometrie BearbeitenSatz von Barany Satz von Barbier Bieberbachsche Ungleichung Auswahlsatz von Blaschke Brunn Minkowski Ungleichung Satz von Caratheodory Satz von Cauchy Eulerscher Polyedersatz Satz von Helly Isoperimetrische Ungleichung Satz von Jung Lemma von Kakutani Satz von Kirchberger Satz von Krasnoselski Satz von Minkowski Minkowskischer Gitterpunktsatz Satz von Pick Satz von Radon Satz von Straszewicz Satz von Tverberg Satz von Motzkin Satz von Tietze Satz von HadwigerViele der genannten Satze gelten in unendlichdimensionalen Raumen nur noch in abgeschwachter Form Siehe dazu etwa Satz von Krein Milman oder Choquet Theorie Literatur BearbeitenWilhelm Blaschke Kreis und Kugel Verlag Walter de Gruyter Berlin 1956 Wilhelm Blaschke Gesammelte Werke Bd 3 Konvexgeometrie Hrsg von Werner Burau Thales Verlag Essen 1985 ISBN 3 88908 203 3 Tommy Bonnesen Werner Fenchel Theorie der konvexen Korper Berichtigter Reprint Springer Verlag Berlin u a 1974 ISBN 3 540 06234 3 Arne Brondsted An Introduction to Convex Polytopes Springer Verlag New York u a 1983 ISBN 0 387 90722 X W A Coppel Foundations of Convex Geometry Cambridge University Press Cambridge 1998 ISBN 0 521 63970 0 Peter M Gruber Convex and Discrete Geometrie Springer Verlag Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 71132 2 Hugo Hadwiger Altes und Neues uber konvexe Korper Birkhauser Verlag Basel u a 1955 H Hadwiger Vorlesungen uber Inhalt Oberflache und Isoperimetrie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 93 Springer Verlag Berlin u a 1957 MR0102775 Isaak M Jaglom W G Boltjanskij Konvexe Figuren Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1956 Victor L Klee Hrsg Convexity Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society held at the University of Washington Seattle Washington June 13 15 1961 American Mathematical Society Providence RI 1963 Steven R Lay Convex Sets and their Applications John Wiley amp Sons New York u a 1982 ISBN 0 471 09584 2 Paul J Kelly Max L Weiss Geometry and Convexity John Wiley amp Sons New York u a 1979 ISBN 0 471 04637 X Kurt Leichtweiss Konvexe Mengen Springer Verlag Berlin u a 1980 ISBN 3 540 09071 1 Jurg T Marti Konvexe Analysis Birkhauser Verlag Basel u a 1977 ISBN 3 7643 0839 7 Hermann Minkowski Geometrie der Zahlen Chelsea Publ New York 1953 Reprint of the 1896 edition Athanase Papadopoulos Metric Spaces Convexity and Nonpositive Curvature IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics Vol 6 European Mathematical Society Zurich 2014 ISBN 978 3 03719 010 4 S 298 Frederick A Valentine Konvexe Mengen BI Hochschultaschenbucher 402 402a Bibliographisches Institut Mannheim 1968 Gunter M Ziegler Lectures on Polytopes Springer Verlag New York u a 1995 ISBN 0 387 94365 X Weblink BearbeitenIvan Izmestiev Einfuhrung in die Konvexgeometrie PDF 548 kB Skript Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konvexgeometrie amp oldid 227227666