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Brunn Minkowski Ungleichung Die bzw der Satz von Brunn und Minkowski benannt nach den beiden Mathematikern Hermann Brunn

Brunn-Minkowski-Ungleichung

Die Brunn-Minkowski-Ungleichung bzw. der Satz von Brunn und Minkowski, benannt nach den beiden Mathematikern Hermann Brunn und Hermann Minkowski, ist ein klassischer Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Konvexgeometrie. Die Ungleichung setzt das Lebesgue-Maß der Minkowski-Summe zweier kompakter Teilmengen des n-dimensionalen euklidischen Raums in Relation zum Lebesgue-Maß dieser beiden Teilmengen. Sie hat zahlreiche Anwendungen und zieht insbesondere die isoperimetrische Ungleichung nach sich.

Darstellung der Ungleichung Bearbeiten

Die Ungleichung besagt zusammengefasst Folgendes:

(2) Sind darüber hinaus und sogar konvexe Körper,
so gilt für jede reelle Zahl mit die Ungleichung

Erläuterungen und Anmerkungen Bearbeiten

(a) Für zwei nichtleere kompakte Teilmengen ist auch die Minkowski-Summe stets eine kompakte Teilmenge des und insbesondere Lebesgue-messbar.

(b) Für eine nichtleere kompakten Teilmenge und eine beliebige reelle Zahl ist die Menge der mit multiplizierten Elemente von ebenfalls stets eine kompakte Teilmenge des und insbesondere Lebesgue-messbar.

(c) Sieht man bei (1) von der Kompaktheit der beiden Teilmengen ab und setzt lediglich voraus, dass beide Lebesgue-messbar sein mögen, so ist im Allgemeinen nicht einmal gewährleistet, dass ihre Minkowski-Summe eine Lebesgue-messbare Teilmenge des darstellt. Allerdings gilt, wenn man statt des Lebesgue-Maßes das äußere Lebesgue-Maß zugrunde legt, die obige Ungleichung (1) in entsprechender Weise. Es gilt sogar für beliebige nichtleere Teilmengen immer die Ungleichung  .

Literatur Bearbeiten

  • Yu. D. Burago - V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 285). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1988, ISBN 3-540-13615-0 (MR0936419).
  • Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1969 (MR0257325).
  • R. J. Gardner: The Brunn-Minkowski inequality. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 39, 2002, S. 355–405 (ams.org). MR1898210
  • H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 93). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1957 (MR0102775).
  • Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-09071-1.
  • Boris Makarov, Anatolij Podkorytov: Real Analysis:. Measures, Integrals and Applications (= Universitext). Springer-Verlag, London (u. a.) 2013, ISBN 978-1-4471-5121-0 (MR3089088).
  • Vitali D. Milman, Gideon Schechtman: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1200). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1986, ISBN 3-540-16769-2 (MR0856576).
  • Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (MR0226495).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Yu. D. Burago, V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities. 1988, S. 136 ff, S. 146
  2. H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. 1957, S. 187 ff
  3. Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 248 ff
  4. Vitali D. Milman, Gideon Schechtman: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces. 1986, S. 134 ff, S. 146
  5. Boris Makarov, Anatolij Podkorytov: Real Analysis: … 2013, S. 87 ff
  6. Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 196–197
  7. Herbert Federer: Geometric Measure Theory. 1969, S. 277 ff
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Die Brunn Minkowski Ungleichung bzw der Satz von Brunn und Minkowski benannt nach den beiden Mathematikern Hermann Brunn und Hermann Minkowski ist ein klassischer Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Konvexgeometrie Die Ungleichung setzt das Lebesgue Mass der Minkowski Summe zweier kompakter Teilmengen des n dimensionalen euklidischen Raums in Relation zum Lebesgue Mass dieser beiden Teilmengen Sie hat zahlreiche Anwendungen und zieht insbesondere die isoperimetrische Ungleichung nach sich 1 2 3 4 5 6 7 Inhaltsverzeichnis 1 Darstellung der Ungleichung 2 Erlauterungen und Anmerkungen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDarstellung der Ungleichung BearbeitenDie Ungleichung besagt zusammengefasst Folgendes 1 Bildet man im R n n N displaystyle mathbb R n n in mathbb N nbsp mit dem Lebesgue Mass l n displaystyle lambda n nbsp fur zwei nichtleere kompakte Teilmengen A B R n displaystyle A B subseteq mathbb R n nbsp die Menge aller aus zwei Elementen von A displaystyle A nbsp bzw B 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displaystyle sqrt n lambda n A B geq sqrt n lambda n A sqrt n lambda n B nbsp Literatur BearbeitenYu D Burago V A Zalgaller Geometric Inequalities Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 285 Springer Verlag Berlin u a 1988 ISBN 3 540 13615 0 MR0936419 Herbert Federer Geometric Measure Theory Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 153 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1969 MR0257325 R J Gardner The Brunn Minkowski inequality In Bull Amer Math Soc N S Band 39 2002 S 355 405 ams org MR1898210 H Hadwiger Vorlesungen uber Inhalt Oberflache und Isoperimetrie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 93 Springer Verlag Berlin u a 1957 MR0102775 Kurt Leichtweiss Konvexe Mengen Hochschultext Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1980 ISBN 3 540 09071 1 Boris Makarov Anatolij Podkorytov Real Analysis Measures Integrals and Applications Universitext Springer Verlag London u a 2013 ISBN 978 1 4471 5121 0 MR3089088 Vitali D Milman Gideon Schechtman Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces Lecture Notes in Mathematics Band 1200 Springer Verlag Berlin u a 1986 ISBN 3 540 16769 2 MR0856576 Frederick A Valentine Konvexe Mengen BI Hochschultaschenbucher Band 402 402a Bibliographisches Institut Mannheim 1968 MR0226495 Einzelnachweise Bearbeiten Yu D Burago V A Zalgaller Geometric Inequalities 1988 S 136 ff S 146 H Hadwiger Vorlesungen uber Inhalt Oberflache und Isoperimetrie 1957 S 187 ff Kurt Leichtweiss Konvexe Mengen 1980 S 248 ff Vitali D Milman Gideon Schechtman Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces 1986 S 134 ff S 146 Boris Makarov Anatolij Podkorytov Real Analysis 2013 S 87 ff Frederick A Valentine Konvexe Mengen 1968 S 196 197 Herbert Federer Geometric Measure Theory 1969 S 277 ff Abgerufen von https de wikipedia 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