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Satz von Helly Der ist ein mathematischer Satz welcher auf den österreichischen Mathematiker Eduard Helly zurückgeht Der

Satz von Helly

Der Satz von Helly ist ein mathematischer Satz, welcher auf den österreichischen Mathematiker Eduard Helly zurückgeht. Der Satz wird dem Gebiet der Konvexgeometrie zugerechnet. Hier steht er in engem Zusammenhang mit einer Reihe anderer klassischer Theoreme. Seine Wirkung reicht auch in andere Gebiete der Mathematik wie etwa in die Diskrete Mathematik, wo er zum Ausgangspunkt für die Untersuchung von Mengensystemen mit der sogenannten Helly-Eigenschaft wurde.

Helly's theorem für den Euklidischen 2-Dimensionalen Raum: Schneiden sich alle Tripel einer Menge von Flächen, so ist auch der Schnitt aller Flächen der Menge nicht leer.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz von Helly lässt sich wie folgt formulieren:

In anderer Formulierung lässt sich der Satz von Helly auch so ausdrücken:

Die oben genannten allgemeinen Voraussetzungen lassen sich sogar noch abschwächen, und zwar dahingehend, dass für den unendlichen Fall nur gefordert wird:

Historisches, Beweise, verwandte Ergebnisse Bearbeiten

Den ersten Beweis des Satzes von Helly lieferte der österreichische Mathematiker Johann Radon in 1921. Er benutzte dazu ein Resultat, das heute als Satz von Radon bekannt ist. Eduard Helly hatte allerdings den Satz schon spätestens im Jahre 1913 gefunden und Johann Radon bewies den Satz erst, nachdem Eduard Helly ihn darauf hingewiesen hatte. Eduard Helly selbst veröffentlichte in der Folge dann zwei eigene Arbeiten, welche einen anderen Zugang zu diesem Thema geben. Von anderen Autoren wurden noch weitere Beweise gefunden. Der Satz von Helly ist auch ein wichtiges Hilfsmittel beim Beweis anderer klassischer Theoreme der Konvexgeometrie, wie etwa beim Satz von Krasnoselskii oder beim Satz von Jung.

Abgrenzung Bearbeiten

Es gibt in der Analysis einen weiteren Satz von Helly, welcher auch als Auswahlsatz von Helly bekannt ist bzw. in der englischsprachigen Literatur als Helly's selection theorem. Dieser behandelt Konvergenz von Funktionenfolgen.

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten Bearbeiten

  • Eduard Helly: Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten. In: Jahrb. Deut. Math. Verein. Band 32, 1923, S. 175–176.
  • Eduard Helly: Über Systeme von abgeschlossenen Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten. In: Monatsh. Math. Band 37, 1930, S. 281–302.
  • Johann Radon: Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten. In: Math. Ann. Band 83, 1921, S. 113–115.

Monographien Bearbeiten

  • Tommy Bonnesen, Werner Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06234-3.
  • Arne Brøndsted: An introduction to convex polytopes. Springer-Verlag, New York u. a. 1983, ISBN 0-387-90722-X.
  • W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63970-0.
  • Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-71132-2.
  • Victor L. Klee (Hrsg.): Convexity. Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13 - 15, 1961. American Mathematical Society, Providence, RI 1963.
  • Steven R. Lay: Convex sets and their applications. John Wiley & Sons, New York u. a. 1982, ISBN 0-471-09584-2.
  • Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1980, ISBN 3-540-09071-1.
  • Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Birkhäuser, Basel u. a. 1977, ISBN 3-7643-0839-7.
  • Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. V. L. Klee: Convexity. 1963, S. 101 ff.
  2. T. Bonnesen, W. Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. 1974, S. 3.
  3. F. A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 78.
  4. A. Brøndsted: An introduction to convex polytopes. 1983, S. 18.
  5. J. Radon: Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten. 1921, S. 113.
  6. S. R. Lay: Convex sets and their applications. 1982, S. 47.
  7. E. Helly: Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten. 1923.
  8. E. Helly: Über Systeme von abgeschlossenen Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten. 1930.
  9. F. A. Valentine: Valentine. 1968, S. 78 ff.
  10. S. R. Lay: Convex sets and their applications. 1982, S. 53 ff.
  11. K. Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 70 ff.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Helly ist ein mathematischer Satz welcher auf den osterreichischen Mathematiker Eduard Helly zuruckgeht Der Satz wird dem Gebiet der Konvexgeometrie zugerechnet Hier steht er in engem Zusammenhang mit einer Reihe anderer klassischer Theoreme 1 Seine Wirkung reicht auch in andere Gebiete der Mathematik wie etwa in die Diskrete Mathematik wo er zum Ausgangspunkt fur die Untersuchung von Mengensystemen mit der sogenannten Helly Eigenschaft wurde Helly s theorem fur den Euklidischen 2 Dimensionalen Raum Schneiden sich alle Tripel einer Menge von Flachen so ist auch der Schnitt aller Flachen der Menge nicht leer Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Historisches Beweise verwandte Ergebnisse 3 Abgrenzung 4 Literatur 4 1 Originalarbeiten 4 2 Monographien 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz von Helly lasst sich wie folgt formulieren 2 3 Gegeben seien eine naturliche Zahl n displaystyle n nbsp und ein Mengensystem A displaystyle mathcal A nbsp von konvexen Teilmengen eines n displaystyle n nbsp dimensionalen normierten Vektorraums L displaystyle mathcal L nbsp uber R displaystyle mathbb R nbsp und dabei gelte A n 1 displaystyle mathcal A geq n 1 nbsp In dem gesamten Mengensystem A displaystyle mathcal A nbsp seien nur endlich viele Teilmengen vorhanden oder aber jede dieser Teilmengen sei kompakt in L displaystyle mathcal L nbsp Dann gilt Notwendig und hinreichend dafur dass die in A displaystyle mathcal A nbsp vorkommenden Teilmengen einen Punkt gemeinsam haben ist die Bedingung dass je n 1 displaystyle n 1 nbsp dieser Teilmengen einen Punkt gemeinsam haben Anders ausgedruckt Hinsichtlich der Schnittmengen gilt A displaystyle bigcap mathcal A not emptyset nbsp genau dann wenn A 0 A 1 A n displaystyle A 0 cap A 1 cap ldots cap A n not emptyset nbsp fur alle A 0 A 1 A n A displaystyle A 0 A 1 ldots A n in mathcal A nbsp In anderer Formulierung lasst sich der Satz von Helly auch so ausdrucken Unter den oben angegebenen Voraussetzungen ist dann und nur dann die Schnittmenge A displaystyle bigcap mathcal A emptyset nbsp wenn schon fur ein einziges endliches B A displaystyle mathcal B subseteq mathcal A nbsp mit B n 1 displaystyle mathcal B leq n 1 nbsp die Schnittmenge B displaystyle bigcap mathcal B emptyset nbsp ist Die oben genannten allgemeinen Voraussetzungen lassen sich sogar noch abschwachen und zwar dahingehend dass fur den unendlichen Fall nur gefordert wird Jede dieser Teilmengen sei abgeschlossen in L displaystyle mathcal L nbsp und zumindest eine dieser Teilmengen sei kompakt 4 Historisches Beweise verwandte Ergebnisse BearbeitenDen ersten Beweis des Satzes von Helly lieferte der osterreichische Mathematiker Johann Radon in 1921 Er benutzte dazu ein Resultat das heute als Satz von Radon bekannt ist Eduard Helly hatte allerdings den Satz schon spatestens im Jahre 1913 gefunden und Johann Radon bewies den Satz erst nachdem Eduard Helly ihn darauf hingewiesen hatte 5 6 Eduard Helly selbst veroffentlichte in der Folge dann zwei eigene Arbeiten 7 8 welche einen anderen Zugang zu diesem Thema geben Von anderen Autoren wurden noch weitere Beweise gefunden 9 Der Satz von Helly ist auch ein wichtiges Hilfsmittel beim Beweis anderer klassischer Theoreme der Konvexgeometrie wie etwa beim Satz von Krasnoselskii 10 oder beim Satz von Jung 11 Abgrenzung BearbeitenEs gibt in der Analysis einen weiteren Satz von Helly welcher auch als Auswahlsatz von Helly bekannt ist bzw in der englischsprachigen Literatur als Helly s selection theorem Dieser behandelt Konvergenz von Funktionenfolgen Literatur BearbeitenOriginalarbeiten Bearbeiten Eduard Helly Uber Mengen konvexer Korper mit gemeinschaftlichen Punkten In Jahrb Deut Math Verein Band 32 1923 S 175 176 Eduard Helly Uber Systeme von abgeschlossenen Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten In Monatsh Math Band 37 1930 S 281 302 Johann Radon Mengen konvexer Korper die einen gemeinsamen Punkt enthalten In Math Ann Band 83 1921 S 113 115 Monographien Bearbeiten Tommy Bonnesen Werner Fenchel Theorie der konvexen Korper Berichtigter Reprint Springer Verlag Berlin u a 1974 ISBN 3 540 06234 3 Arne Brondsted An introduction to convex polytopes Springer Verlag New York u a 1983 ISBN 0 387 90722 X W A Coppel Foundations of Convex Geometry Cambridge University Press Cambridge 1998 ISBN 0 521 63970 0 Peter M Gruber Convex and Discrete Geometrie Springer Verlag Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 71132 2 Isaak M Jaglom und W G Boltjanskij Konvexe Figuren Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1956 Victor L Klee Hrsg Convexity Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society held at the University of Washington Seattle Washington June 13 15 1961 American Mathematical Society Providence RI 1963 Steven R Lay Convex sets and their applications John Wiley amp Sons New York u a 1982 ISBN 0 471 09584 2 Kurt Leichtweiss Konvexe Mengen Springer Verlag Berlin u a 1980 ISBN 3 540 09071 1 Jurg T 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and their applications 1982 S 53 ff K Leichtweiss Konvexe Mengen 1980 S 70 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Helly amp oldid 233082824