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Satz von Tverberg Der englisch Tverberg s theorem ist ein Lehrsatz der sowohl dem mathematischen Gebiet der Konvexgeomet

Satz von Tverberg

Der Satz von Tverberg (englisch Tverberg’s theorem) ist ein Lehrsatz, der sowohl dem mathematischen Gebiet der Konvexgeometrie als auch dem der topologischen Kombinatorik zuzurechnen ist und der auf eine von dem norwegischen Mathematiker Helge Tverberg im Jahre 1966 vorgelegten Arbeit zurückgeht. Er stellt eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von Radon dar und ist Ausgangspunkt für eine große Anzahl von weiterreichenden Untersuchungen. Mit ihm eng verbunden ist der Satz von Bárány, aus dem der Tverberg'sche Satz hergeleitet werden kann.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Illustration zu n=2 und r=3. N=7 Punkte gestatten eine Zerlegung der angegebenen Art.

Der Satz besagt:

in paarweise disjunkte Teilmengen derart, dass in der Schnittmenge
der zugehörigen konvexen Hüllen mindestens ein gemeinsamer Raumpunkt liegt.

Anmerkungen Bearbeiten

  • Dem Satz von Tverberg ging eine entsprechende Vermutung des englischen Mathematikers Bryan John Birch voraus, die dieser in einer im Jahr 1959 vorgelegten Arbeit aufstellte.
  • Der Satz ist optimal in dem Sinne, dass die Aussage des Satzes für Teilmengen mit höchstens Raumpunkten nicht länger Gültigkeit hat.
  • Für erhält man den Satz von Radon.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. 1998, S. 68 ff.
  2. Mark Longueville: A Course in Topological Combinatorics. 2013, S. 106 ff.
  3. Jiří Matoušek: Lectures on Discrete Geometry. 2002, S. 200 ff.
  4. W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. 1998, S. 69.
  5. ↑ Mark Longueville: A Course in Topological Combinatorics. 2013, S. 106.
  6. Jiří Matoušek: Lectures on Discrete Geometry. 2002, S. 200.
  7. W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. 1998, S. 70.
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Der Satz von Tverberg englisch Tverberg s theorem ist ein Lehrsatz der sowohl dem mathematischen Gebiet der Konvexgeometrie als auch dem der topologischen Kombinatorik zuzurechnen ist und der auf eine von dem norwegischen Mathematiker Helge Tverberg im Jahre 1966 vorgelegten Arbeit zuruckgeht Er stellt eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von Radon dar und ist Ausgangspunkt fur eine grosse Anzahl von weiterreichenden Untersuchungen Mit ihm eng verbunden ist der Satz von Barany aus dem der Tverberg sche Satz hergeleitet werden kann 1 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Anmerkungen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes Bearbeiten nbsp Illustration zu n 2 und r 3 N 7 Punkte gestatten eine Zerlegung der angegebenen Art Der Satz besagt 4 5 6 Gegeben seien zwei naturliche Zahlen n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und r 2 displaystyle r geq 2 nbsp und dazu die naturliche Zahl N r 1 n 1 displaystyle N r 1 cdot n 1 nbsp Weiter gegeben sei im euklidischen Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp eine Teilmenge A R n displaystyle A subseteq mathbb R n nbsp die aus mindestens N 1 displaystyle N 1 nbsp Raumpunkten bestehen soll Dann gilt Es gibt eine ZerlegungA A 1 A 2 A r displaystyle A A 1 dot cup A 2 dot cup dots dot cup A r nbsp dd in r displaystyle r nbsp paarweise disjunkte Teilmengen A 1 A r A displaystyle A 1 ldots A r subseteq A nbsp derart dass in der Schnittmengeconv A 1 conv A 2 conv A r displaystyle operatorname conv left A 1 right cap operatorname conv left A 2 right cap dots cap operatorname conv left A r right nbsp dd der zugehorigen konvexen Hullen mindestens ein gemeinsamer Raumpunkt liegt Anmerkungen BearbeitenDem Satz von Tverberg ging eine entsprechende Vermutung des englischen Mathematikers Bryan John Birch voraus die dieser in einer im Jahr 1959 vorgelegten Arbeit aufstellte 5 Der Satz ist optimal in dem Sinne dass die Aussage des Satzes fur Teilmengen mit hochstens N displaystyle N nbsp Raumpunkten nicht langer Gultigkeit hat 7 Fur r 2 displaystyle r 2 nbsp erhalt man den Satz von Radon Literatur BearbeitenImre Barany Pablo Soberon Tverberg s theorem is 50 years old A survey In Bull Amer Math Soc N S Band 55 2018 S 459 492 MR3854075 Bryan J Birch On 3N points in a plane In Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Band 55 1959 S 289 293 MR0109315 W A Coppel Foundations of Convex Geometry Australian Mathematical Society Lecture Series Band 12 Cambridge University Press Cambridge 1998 ISBN 0 521 63970 0 MR1629043 Mark Longueville A Course in Topological Combinatorics Universitext Springer Verlag New York Heidelberg Dordrecht London 2013 ISBN 978 1 4419 7909 4 MR2976494 Jiri Matousek Lectures on Discrete Geometry Graduate Texts in Mathematics Band 212 Springer Verlag New York Berlin Heidelberg 2002 ISBN 0 387 95373 6 MR1899299 H Tverberg A generalization of Radon s theorem In The Journal of the London Mathematical Society Band 41 1966 S 123 128 MR0187147 Einzelnachweise Bearbeiten W A Coppel Foundations of Convex Geometry 1998 S 68 ff Mark Longueville A Course in Topological Combinatorics 2013 S 106 ff Jiri Matousek Lectures on Discrete Geometry 2002 S 200 ff W A Coppel Foundations of Convex Geometry 1998 S 69 a b Mark Longueville A Course in Topological Combinatorics 2013 S 106 Jiri Matousek Lectures on Discrete Geometry 2002 S 200 W A Coppel Foundations of Convex Geometry 1998 S 70 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Tverberg amp oldid 199858585