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Hexatische Phase Die hexatische Phase ist eine zwischen Flüssigkeit und Kristall liegende thermodynamische Phase Aggrega

Hexatische Phase

Die hexatische Phase ist eine zwischen Flüssigkeit und Kristall liegende thermodynamische Phase (Aggregatzustand) in zweidimensionalen Systemen. Sie stellt eine anisotrope Flüssigkeit mit typischerweise sechszähligem Direktorfeld dar (hexa = griechisch sechs):

  • Flüssig ist die hexatische Phase, da aufgrund der Dissoziation von Dislokationen der Schermodul verschwindet.
  • Anisotrop ist diese Phase, da in sechs Richtungen noch recht gerade Linien entlang der nächsten Nachbarn gezogen werden können. Die Existenz dieses Richtungsfeldes bedeutet, dass es ein elastisches Modul gegen Verdrillung bzw. Torsion in der Ebene geben muss, das analog zu Flüssigkristallen Frankkonstante genannt wird.

Erst die Dissoziation von Disklinationen an einem zweiten Phasenübergang bei höherer Temperatur oder kleinerer Dichte erzeugt eine isotrope Flüssigkeit, in der auch die Orientierungselastizität verschwindet. Die hexatische Phase enthält folglich Dislokationen, aber noch keine Disklinationen.

Ordnungsparameter Bearbeiten

Die hexatische Phase lässt sich durch zwei Ordnungsparameter beschreiben, von denen die Translationsordnung kurzreichweitig ist (exponentieller Abfall) und die Orientierungsordnung quasi-langreichweitig (algebraischer Abfall).

Phase Translationsordnung Orientierungsordnung Defekte
kristallin quasi-langreichweitig: langreichweitig: defektfrei
hexatisch (anisotrop flüssig) kurzreichweitig: quasi-langreichweitig: Dislokationen
isotrop flüssig kurzreichweitig: kurzreichweitig: Dislokationen und Disklinationen

mit der Korrelationslänge .

Translationsordnung Bearbeiten

Dislokationspaare zerstören die diskrete Translationsordnung (Verschiebung entlang der roten Pfeile), es lässt sich aber noch eine Orientierungsordnung erkennen, die in einer Richtung durch die schwarzen Linien angedeutet ist (oben). Erst Disklinationen zerstören zusätzlich die Orientierungsordnung (unten).

Kennt man die Positionen der Atome oder Partikel, so lässt sich die Translationsordnung messen mit der Translationskorrelationsfunktion als Funktion des Abstandes zwischen dem Gitterplatz am Orte und dem Ort , basierend auf der zweidimensionalen Dichtefunktion im reziproken Raum:

Der Ortsvektor zeigt hier auf einen Gitterplatz im Kristall, um den das Atom mit der Auslenkung thermisch fluktuieren kann, ist ein reziproker Gittervektor in der Fourierdarstellung. Die spitzen Klammern deuten die statistische Mittelung über alle Teilchenpaare im Abstand R an (vgl. Korrelationsfunktion).

In der hexatischen Phase fällt die Translationskorrelationfunktion schnell, d. h. exponentiell ab.

Im (zweidimensionalen) Kristall dagegen ist die Translationsordnung quasi-langreichweitig, die Korrelationsfunktion zerfällt langsamer, d. h. algebraisch; sie ist allerdings nicht wie in drei Dimensionen perfekt langreichweitig, da die Auslenkungen aufgrund des Mermin-Wagner-Theorems bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunktes logarithmisch über alle Grenzen anwachsen (divergieren).

Nachteil der Translationskorrelationsfunktion ist, dass sie streng genommen nur im Kristall definiert ist: spätestens in der isotropen Flüssigkeit, wenn Disklinationen vorhanden sind, lässt sich der reziproke Gittervektor nicht mehr bestimmen.

Orientierungsordnung Bearbeiten

Die j nächsten Nachbarteilchen bestimmen das sechszählige Richtungsfeld des i-ten Teilchens
Die Orientierungskorrelation des lokalen Richtungsfeldes als Funktion des Abstandes für den Kristall (blau), die hexatische Phase (grün) und die isotrop flüssige Phase (rot).

Die Orientierungsordnung bzw. das Direktorfeld lässt sich aus dem lokalen Richtungsfeld für ein Teilchen am Ort bestimmen, indem man die Winkel der Verbindungsachsen zu den nächsten Nachbarn im sechszähligen Raum aufsummiert und mit der Anzahl der (im Mittel sechs) Nachbarn normiert:

ist eine komplexe Zahl vom Betrag , die Phase gibt die Richtung des sechszähligen Direktorfeldes an; für einen hexagonalen Kristall sind dies die Richtungen der Kristallachsen. Für ein Teilchen mit fünf oder sieben nächsten Nachbarn, wie bei Dislokationen und Disklinationen, verschwindet das lokale Direktorfeld: , bis auf einen sehr kleinen Beitrag aufgrund von thermischen Fluktuationen.

Aus dem Direktorfeld lässt sich für zwei Teilchen i und k im Abstand die Orientierungskorrelationsfunktion bestimmen:

Die spitzen Klammern deuten wieder die statistische Mittelung über alle Teilchenpaare an.

Mit der Orientierungskorrelationsfunktion lassen sich alle drei o. g. Phasen identifizieren:

  • Im Kristall zerfällt die Korrelationsfunktion nicht, sondern nähert sich einem konstanten Wert (blau in der doppeltlogarithmischen Abb.): Die Torsionssteifigkeit ist beliebig groß, d. h. die Frankkonstante ist unendlich.
  • In der hexatischen Phase zerfällt die Orientierungskorrelationsfunktion nach einem Potenzgesetz (algebraisch), in der doppeltlogarithmischen Darstellung gibt dies gerade Linien (grün in der Abbildung dargestellt).
  • In der isotropen Flüssigkeit zerfällt die Korrelation exponentiell, dies gibt gekrümmte Kurven im log-log Diagramm (rot in der Abb. bzw. Geraden im lin-log Diagramm).

Alle Kurven sind überlagert von der diskreten Struktur der Atome bzw. der Partikel, zu sehen an den Minima bei halbzahligen mittleren Teilchenabständen . Teilchen, die in den Positionen schlecht korreliert sind, sind auch im lokalen Richtungsfeld schlecht korreliert.

Hintergrund Bearbeiten

Die Theorie des zweistufigen Schmelzens wurde von John Michael Kosterlitz und David J. Thouless bzw. Bertrand Halperin, David R. Nelson und A. Peter Young in ihren Arbeiten zum Schmelzen in zwei Dimensionen entwickelt. Nach den Anfangsbuchstaben der Nachnamen der Autoren hat sich der Name KTHNY-Theorie eingebürgert.

M. Kosterlitz und D. Thouless wurden für die Idee des Schmelzens durch topologischen Defekte mit dem Nobelpreis für Physik 2016 ausgezeichnet (siehe auch Kosterlitz-Thouless-Übergang). Die hexatische Phase wurde von D. Nelson und B. Halperin vorhergesagt, sie hat in dreidimensionalen Systemen kein strenges Analogon.

Zweizählige Direktorfelder kennt man von Flüssigkristallen; dort kommt die Anisotropie aus der länglichen (prolat) oder abgeplatteten (oblat) Form der einzelnen Moleküle.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • J M Kosterlitz, D J Thouless: Long range order and metastability in two dimensional solids and superfluids. (Application of dislocation theory). In: Journal of Physics C: Solid State Physics. 5. Jahrgang, Nr. 11. IOP Publishing, 12. Juni 1972, ISSN 0022-3719, S. L124–L126, doi:10.1088/0022-3719/5/11/002.
  • J M Kosterlitz, D J Thouless: Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. In: Journal of Physics C: Solid State Physics. 6. Jahrgang, Nr. 7. IOP Publishing, 12. April 1973, ISSN 0022-3719, S. 1181–1203, doi:10.1088/0022-3719/6/7/010.
  • J M Kosterlitz: The critical properties of the two-dimensional xy model. In: Journal of Physics C: Solid State Physics. 7. Jahrgang, Nr. 6. IOP Publishing, 21. März 1974, ISSN 0022-3719, S. 1046–1060, doi:10.1088/0022-3719/7/6/005.
  • David R. Nelson, J. M. Kosterlitz: Universal Jump in the Superfluid Density of Two-Dimensional Superfluids. In: Physical Review Letters. 39. Jahrgang, Nr. 19. American Physical Society (APS), 7. November 1977, ISSN 0031-9007, S. 1201–1205, doi:10.1103/physrevlett.39.1201.
  • B. I. Halperin, David R. Nelson: Theory of Two-Dimensional Melting. In: Physical Review Letters. 41. Jahrgang, Nr. 2. American Physical Society (APS), 10. Juli 1978, ISSN 0031-9007, S. 121–124, doi:10.1103/physrevlett.41.121.
  • David R. Nelson, B. I. Halperin: Dislocation-mediated melting in two dimensions. In: Physical Review B. 19. Jahrgang, Nr. 5. American Physical Society (APS), 1. Februar 1979, ISSN 0163-1829, S. 2457–2484, doi:10.1103/physrevb.19.2457.
  • A. P. Young: Melting and the vector Coulomb gas in two dimensions. In: Physical Review B. 19. Jahrgang, Nr. 4. American Physical Society (APS), 15. Februar 1979, ISSN 0163-1829, S. 1855–1866, doi:10.1103/physrevb.19.1855.
  • A. Jaster: The hexatic phase of the two-dimensional hard disk system. In: Physics Letters A. 330. Jahrgang, Nr. 1–2. Elsevier BV, 2004, ISSN 0375-9601, S. 120–125, doi:10.1016/j.physleta.2004.07.055, arxiv:cond-mat/0305239.
  • P. Keim, G. Maret, H.H.v. Grünberg: Frank's constant in the hexatic phase. In: Phys. Rev. E'. 75. Jahrgang, 2007, S. 031402, doi:10.1103/PhysRevE.75.031402, arxiv:cond-mat/0610332.
  • U. Gasser, C. Eisenmann, G. Maret, P. Keim: Melting of crystals in two dimensions. In: ChemPhysChem. 11. Jahrgang, Nr. 5, 2010, S. 963–970, doi:10.1002/cphc.20090075.
  • M. Kosterlitz: Commentary on Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. In: Journal of Physics C. 28. Jahrgang, Nr. 48, 2016, S. 481001, doi:10.1088/0953-8984/28/48/481001.
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Die hexatische Phase ist eine zwischen Flussigkeit und Kristall liegende thermodynamische Phase Aggregatzustand in zweidimensionalen Systemen Sie stellt eine anisotrope Flussigkeit mit typischerweise sechszahligem Direktorfeld dar hexa griechisch sechs Flussig ist die hexatische Phase da aufgrund der Dissoziation von Dislokationen der Schermodul verschwindet Anisotrop ist diese Phase da in sechs Richtungen noch recht gerade Linien entlang der nachsten Nachbarn gezogen werden konnen Die Existenz dieses Richtungsfeldes bedeutet dass es ein elastisches Modul gegen Verdrillung bzw Torsion in der Ebene geben muss das analog zu Flussigkristallen Frankkonstante genannt wird Erst die Dissoziation von Disklinationen an einem zweiten Phasenubergang bei hoherer Temperatur oder kleinerer Dichte erzeugt eine isotrope Flussigkeit in der auch die Orientierungselastizitat verschwindet Die hexatische Phase enthalt folglich Dislokationen aber noch keine Disklinationen Inhaltsverzeichnis 1 Ordnungsparameter 1 1 Translationsordnung 1 2 Orientierungsordnung 2 Hintergrund 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 LiteraturOrdnungsparameter BearbeitenDie hexatische Phase lasst sich durch zwei Ordnungsparameter beschreiben von denen die Translationsordnung kurzreichweitig ist exponentieller Abfall und die Orientierungsordnung quasi langreichweitig algebraischer Abfall Phase Translationsordnung Orientierungsordnung Defektekristallin quasi langreichweitig G G R R h G displaystyle G vec G vec R propto R eta vec G nbsp langreichweitig lim r G 6 r c o n s t displaystyle lim r to infty G 6 vec r propto const nbsp defektfreihexatisch anisotrop flussig kurzreichweitig G G R e R 3 G displaystyle G vec G vec R propto e R xi vec G nbsp quasi langreichweitig G 6 r r h 6 displaystyle G 6 vec r propto r eta 6 nbsp Dislokationenisotrop flussig kurzreichweitig G G R e R 3 G displaystyle G vec G vec R propto e R xi vec G nbsp kurzreichweitig G 6 r e r 3 6 displaystyle G 6 vec r propto e r xi 6 nbsp Dislokationen und Disklinationenmit der Korrelationslange 3 displaystyle xi nbsp Translationsordnung Bearbeiten nbsp Dislokationspaare zerstoren die diskrete Translationsordnung Verschiebung entlang der roten Pfeile es lasst sich aber noch eine Orientierungsordnung erkennen die in einer Richtung durch die schwarzen Linien angedeutet ist oben Erst Disklinationen zerstoren zusatzlich die Orientierungsordnung unten Kennt man die Positionen der Atome oder Partikel so lasst sich die Translationsordnung messen mit der Translationskorrelationsfunktion G G R displaystyle G vec G vec R nbsp als Funktion des Abstandes zwischen dem Gitterplatz am Orte R displaystyle vec R nbsp und dem Ort 0 displaystyle vec 0 nbsp basierend auf der zweidimensionalen Dichtefunktion r G R e i G R u R displaystyle rho vec G vec R e i vec G cdot vec R vec u vec R nbsp im reziproken Raum G G R r G R r G 0 displaystyle G vec G vec R langle rho vec G vec R cdot rho vec G ast vec 0 rangle nbsp Der Ortsvektor R displaystyle vec R nbsp zeigt hier auf einen Gitterplatz im Kristall um den das Atom mit der Auslenkung u R displaystyle vec u vec R nbsp thermisch fluktuieren kann G displaystyle vec G nbsp ist ein reziproker Gittervektor in der Fourierdarstellung Die spitzen Klammern deuten die statistische Mittelung uber alle Teilchenpaare im Abstand R an vgl Korrelationsfunktion In der hexatischen Phase fallt die Translationskorrelationfunktion schnell d h exponentiell ab Im zweidimensionalen Kristall dagegen ist die Translationsordnung quasi langreichweitig die Korrelationsfunktion zerfallt langsamer d h algebraisch sie ist allerdings nicht wie in drei Dimensionen perfekt langreichweitig da die Auslenkungen u R displaystyle vec u vec R nbsp aufgrund des Mermin Wagner Theorems bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunktes logarithmisch uber alle Grenzen anwachsen divergieren Nachteil der Translationskorrelationsfunktion ist dass sie streng genommen nur im Kristall definiert ist spatestens in der isotropen Flussigkeit wenn Disklinationen vorhanden sind lasst sich der reziproke Gittervektor nicht mehr bestimmen Orientierungsordnung Bearbeiten nbsp Die j nachsten Nachbarteilchen bestimmen das sechszahlige Richtungsfeld des i ten Teilchens nbsp Die Orientierungskorrelation des lokalen Richtungsfeldes als Funktion des Abstandes fur den Kristall blau die hexatische Phase grun und die isotrop flussige Phase rot Die Orientierungsordnung bzw das Direktorfeld PS displaystyle Psi nbsp lasst sich aus dem lokalen Richtungsfeld fur ein Teilchen am Ort r i displaystyle vec r i nbsp bestimmen indem man die Winkel 8 i j displaystyle theta ij nbsp der Verbindungsachsen zu den N j displaystyle N j nbsp nachsten Nachbarn im sechszahligen Raum aufsummiert und mit der Anzahl N j displaystyle N j nbsp der im Mittel sechs Nachbarn normiert PS r i 1 N j j 1 N j e i 6 8 i j displaystyle Psi vec r i frac 1 N j sum j 1 N j e i6 theta ij nbsp dd PS displaystyle Psi nbsp ist eine komplexe Zahl vom Betrag PS r 1 displaystyle Psi vec r leq 1 nbsp die Phase 8 i j displaystyle theta ij nbsp gibt die Richtung des sechszahligen Direktorfeldes an fur einen hexagonalen Kristall sind dies die Richtungen der Kristallachsen Fur ein Teilchen mit funf oder sieben nachsten Nachbarn wie bei Dislokationen und Disklinationen verschwindet das lokale Direktorfeld PS 0 displaystyle Psi sim 0 nbsp bis auf einen sehr kleinen Beitrag aufgrund von thermischen Fluktuationen Aus dem Direktorfeld PS displaystyle Psi nbsp lasst sich fur zwei Teilchen i und k im Abstand r r i r k displaystyle vec r vec r i vec r k nbsp die Orientierungskorrelationsfunktion bestimmen G 6 r PS r i PS r k displaystyle G 6 vec r langle Psi vec r i cdot Psi ast vec r k rangle nbsp Die spitzen Klammern deuten wieder die statistische Mittelung uber alle Teilchenpaare an Mit der Orientierungskorrelationsfunktion lassen sich alle drei o g Phasen identifizieren Im Kristall zerfallt die Korrelationsfunktion nicht sondern nahert sich einem konstanten Wert blau in der doppeltlogarithmischen Abb Die Torsionssteifigkeit ist beliebig gross d h die Frankkonstante ist unendlich In der hexatischen Phase zerfallt die Orientierungskorrelationsfunktion nach einem Potenzgesetz algebraisch in der doppeltlogarithmischen Darstellung gibt dies gerade Linien grun in der Abbildung dargestellt In der isotropen Flussigkeit zerfallt die Korrelation exponentiell dies gibt gekrummte Kurven im log log Diagramm rot in der Abb bzw Geraden im lin log Diagramm Alle Kurven sind uberlagert von der diskreten Struktur der Atome bzw der Partikel zu sehen an den Minima bei halbzahligen mittleren Teilchenabstanden r displaystyle r nbsp Teilchen die in den Positionen schlecht korreliert sind sind auch im lokalen Richtungsfeld schlecht korreliert Hintergrund BearbeitenDie Theorie des zweistufigen Schmelzens wurde von John Michael Kosterlitz und David J Thouless bzw Bertrand Halperin David R Nelson und A Peter Young in ihren Arbeiten zum Schmelzen in zwei Dimensionen entwickelt Nach den Anfangsbuchstaben der Nachnamen der Autoren hat sich der Name KTHNY Theorie eingeburgert M Kosterlitz und D Thouless wurden fur die Idee des Schmelzens durch topologischen Defekte mit dem Nobelpreis fur Physik 2016 ausgezeichnet siehe auch Kosterlitz Thouless Ubergang Die hexatische Phase wurde von D Nelson und B Halperin vorhergesagt sie hat in dreidimensionalen Systemen kein strenges Analogon Zweizahlige Direktorfelder kennt man von Flussigkristallen dort kommt die Anisotropie aus der langlichen prolat oder abgeplatteten oblat Form der einzelnen Molekule Siehe auch BearbeitenXY ModellWeblinks BearbeitenPhasenubergange durch topologische Defekte Das Schmelzen zweidimensionaler Kristalle Topological Defects and Phase Transitions Nobelvortrag 2016 von M KosterlitzLiteratur BearbeitenJ M Kosterlitz D J Thouless Long range order and metastability in two dimensional solids and superfluids Application of dislocation theory In Journal of Physics C Solid State Physics 5 Jahrgang Nr 11 IOP Publishing 12 Juni 1972 ISSN 0022 3719 S L124 L126 doi 10 1088 0022 3719 5 11 002 J M Kosterlitz D J Thouless Ordering metastability and phase transitions in two dimensional systems In Journal of Physics C Solid State Physics 6 Jahrgang Nr 7 IOP Publishing 12 April 1973 ISSN 0022 3719 S 1181 1203 doi 10 1088 0022 3719 6 7 010 J M Kosterlitz The critical properties of the two dimensional xy model In Journal of Physics C Solid State Physics 7 Jahrgang Nr 6 IOP Publishing 21 Marz 1974 ISSN 0022 3719 S 1046 1060 doi 10 1088 0022 3719 7 6 005 David R Nelson J M Kosterlitz Universal Jump in the Superfluid Density of Two Dimensional Superfluids In Physical Review Letters 39 Jahrgang Nr 19 American Physical Society APS 7 November 1977 ISSN 0031 9007 S 1201 1205 doi 10 1103 physrevlett 39 1201 B I Halperin David R Nelson Theory of Two Dimensional Melting In Physical Review Letters 41 Jahrgang Nr 2 American Physical Society APS 10 Juli 1978 ISSN 0031 9007 S 121 124 doi 10 1103 physrevlett 41 121 David R Nelson B I Halperin Dislocation mediated melting in two dimensions In Physical Review B 19 Jahrgang Nr 5 American Physical Society APS 1 Februar 1979 ISSN 0163 1829 S 2457 2484 doi 10 1103 physrevb 19 2457 A P Young Melting and the vector Coulomb gas in two dimensions In Physical Review B 19 Jahrgang Nr 4 American Physical Society APS 15 Februar 1979 ISSN 0163 1829 S 1855 1866 doi 10 1103 physrevb 19 1855 A Jaster The hexatic phase of the two dimensional hard disk system In Physics Letters A 330 Jahrgang Nr 1 2 Elsevier BV 2004 ISSN 0375 9601 S 120 125 doi 10 1016 j physleta 2004 07 055 arxiv cond mat 0305239 P Keim G Maret H H v Grunberg Frank s constant in the hexatic phase In Phys Rev E 75 Jahrgang 2007 S 031402 doi 10 1103 PhysRevE 75 031402 arxiv cond mat 0610332 U Gasser C Eisenmann G Maret P Keim Melting of crystals in two dimensions In ChemPhysChem 11 Jahrgang Nr 5 2010 S 963 970 doi 10 1002 cphc 20090075 M Kosterlitz Commentary on Ordering metastability and phase transitions in two dimensional systems In Journal of Physics C 28 Jahrgang Nr 48 2016 S 481001 doi 10 1088 0953 8984 28 48 481001 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hexatische Phase amp oldid 233483854