www.wikidata.de-de.nina.az

Korrelationslänge Die ξ displaystyle xi ist ein Begriff aus der statistischen Mechanik Er bezeichnet denjenigen Abstand

Korrelationslänge

Die Korrelationslänge ist ein Begriff aus der statistischen Mechanik. Er bezeichnet denjenigen Abstand zweier Teilchen, innerhalb dessen ihre Dynamik miteinander korreliert ist, also Gemeinsamkeiten in ihren zufälligen Schwankungen auftreten. Diese Gemeinsamkeiten äußern sich bei Korrelationen von messbaren Größen wie der Dichte oder der Magnetisierung. Diese Korrelationen kommen durch Interaktionen zwischen den Teilchen zustande, daher ist die Korrelationslänge auch ein Maß für die Reichweite dieser Interaktionen. Bei kontinuierlichen oder quantenmechanischen Systemen, bei denen keine diskreten Teilchen betrachtet werden, bezieht sich die Korrelationslänge einzig auf die gemessenen Größen an verschiedenen Orten.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Mathematisch definiert man die Korrelationslänge über eine Korrelationsfunktion in Abhängigkeit vom Abstand .

Betrachten wir eine Größe , z. B. die Ausrichtung eines Spins, so gilt:

wobei die spitzen Klammern für die Mittelung über alle Orte stehen.

Oberhalb der Korrelationslänge ist

es ist also praktisch keine Korrelation mehr vorhanden.

In vielen Fällen fällt die Korrelationsfunktion exponentiell mit dem Abstand ab:

Ein anderes Modell für die Korrelationsfunktion ist die Gauß-Korrelation, bei der die Korrelation in Abhängigkeit vom Abstand in Form einer Gauß-Kurve abfällt:

Die einfachste Form der Korrelation ist die Dreieckskorrelation. Hierbei fällt die Korrelation bis zur Korrelationslänge linear von auf ab:

Bei Flüssigkeiten Bearbeiten

In Flüssigkeiten ist die Korrelationslänge normalerweise sehr klein (etwa 0,1 bis 1 nm). In der Nähe von Phasenübergängen (z. B. zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase) wächst sie aber stark an, so dass die Korrelationen hier makroskopische Größenordnungen erreichen.

An kritischen Punkten Bearbeiten

Das Verhalten der Korrelationslänge in der Nähe eines kritischen Punktes, z. B. einer kritischen Temperatur , kann durch ein Potenzgesetz ausgedrückt werden:

wobei ein kritischer Exponent ist, der für viele Systeme identisch und daher eine universelle Eigenschaft ist.

Nähert sich immer mehr an an (egal ob von oben oder von unten), so geht gegen unendlich und gegen 1:

Daher ist sehr nahe dem kritischen Punkt die Korrelation über das gesamte System hinweg messbar. Das führt zu kritischen Phänomenen wie etwa der kritischen Opaleszenz, einer milchigen Eintrübung eines Stoffes am Übergang zwischen flüssigem und gasförmigen Zustand.

Literatur Bearbeiten

  • Klaus Stierstadt, Wilhelm T. Hering, Thomas Dorfmüller: Mechanik, Relativität, Wärme (= Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik. Band 1). Walter de Gruyter, Berlin/New York 1998.
  • Klaus Stierstadt: Thermodynamik - Von Der Mikrophysik Zur Makrophysik. Springer, Berlin, 2010.
  • M. E. Fisher: Renormalization Group in Theory of Critical Behavior. In: Reviews of Modern Physics. 46. Jahrgang, Nr. 4, 1974, S. 597–616, doi:10.1103/RevModPhys.46.597, bibcode:1974RvMP...46..597F.
  • A. R. Its, V. E. Korepin, A. G. Izergin, N. A. Slavnov: Temperature Correlation of Quantum Spins. In: arXiv - Quantum Physics (quant-ph). 2009, arxiv:0909.4751.
  • J. M. Yeomans: Statistical Mechanics of Phase Transitions. Oxford Science Publications, 1992, ISBN 0-19-851730-0.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Iason Papaioannou. Stochastic finite element methods. Engineering Risk Analysis Group, Technische Universität München, 2017.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Korrelationslange 3 displaystyle xi ist ein Begriff aus der statistischen Mechanik Er bezeichnet denjenigen Abstand zweier Teilchen innerhalb dessen ihre Dynamik miteinander korreliert ist also Gemeinsamkeiten in ihren zufalligen Schwankungen auftreten Diese Gemeinsamkeiten aussern sich bei Korrelationen von messbaren Grossen wie der Dichte oder der Magnetisierung Diese Korrelationen kommen durch Interaktionen zwischen den Teilchen zustande daher ist die Korrelationslange auch ein Mass fur die Reichweite dieser Interaktionen Bei kontinuierlichen oder quantenmechanischen Systemen bei denen keine diskreten Teilchen betrachtet werden bezieht sich die Korrelationslange einzig auf die gemessenen Grossen an verschiedenen Orten Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung 2 Bei Flussigkeiten 3 An kritischen Punkten 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseMathematische Beschreibung BearbeitenMathematisch definiert man die Korrelationslange uber eine Korrelationsfunktion G r displaystyle G r nbsp in Abhangigkeit vom Abstand r displaystyle r nbsp Betrachten wir eine Grosse a displaystyle a nbsp z B die Ausrichtung eines Spins so gilt G r a R a R r a R a R r displaystyle G r langle mathbf a R cdot mathbf a R r rangle langle mathbf a R rangle cdot langle mathbf a R r rangle nbsp wobei die spitzen Klammern fur die Mittelung uber alle Orte R displaystyle R nbsp stehen Oberhalb der Korrelationslange ist r gt 3 G r 0 displaystyle r gt xi Rightarrow G r approx 0 nbsp es ist also praktisch keine Korrelation mehr vorhanden In vielen Fallen fallt die Korrelationsfunktion exponentiell mit dem Abstand ab G r exp r 3 displaystyle G r propto exp left frac r xi right nbsp Ein anderes Modell fur die Korrelationsfunktion ist die Gauss Korrelation bei der die Korrelation in Abhangigkeit vom Abstand in Form einer Gauss Kurve abfallt 1 G r exp r 3 2 displaystyle G r exp left left frac r xi right 2 right nbsp Die einfachste Form der Korrelation ist die Dreieckskorrelation Hierbei fallt die Korrelation bis zur Korrelationslange linear von 1 displaystyle 1 nbsp auf 0 displaystyle 0 nbsp ab 1 G r 1 r 3 r 3 0 sonst displaystyle G r left begin array ll 1 frac r xi amp r leq xi 0 amp text sonst end array right nbsp Bei Flussigkeiten BearbeitenIn Flussigkeiten ist die Korrelationslange normalerweise sehr klein etwa 0 1 bis 1 nm In der Nahe von Phasenubergangen z B zwischen der flussigen und der gasformigen Phase wachst sie aber stark an so dass die Korrelationen hier makroskopische Grossenordnungen erreichen An kritischen Punkten BearbeitenDas Verhalten der Korrelationslange in der Nahe eines kritischen Punktes z B einer kritischen Temperatur T c displaystyle T mathrm c nbsp kann durch ein Potenzgesetz ausgedruckt werden 3 T T c n displaystyle xi propto T T mathrm c nu nbsp wobei n displaystyle nu nbsp ein kritischer Exponent ist der fur viele Systeme identisch und daher eine universelle Eigenschaft ist Nahert sich T displaystyle T nbsp immer mehr an T c displaystyle T mathrm c nbsp an egal ob von oben oder von unten so geht 3 displaystyle xi nbsp gegen unendlich und G r displaystyle G r nbsp gegen 1 T T c 3 G r 1 displaystyle T to T mathrm c quad Rightarrow xi to infty quad Rightarrow G r to 1 nbsp Daher ist sehr nahe dem kritischen Punkt die Korrelation uber das gesamte System hinweg messbar Das fuhrt zu kritischen Phanomenen wie etwa der kritischen Opaleszenz einer milchigen Eintrubung eines Stoffes am Ubergang zwischen flussigem und gasformigen Zustand Literatur BearbeitenKlaus Stierstadt Wilhelm T Hering Thomas Dorfmuller Mechanik Relativitat Warme Bergmann Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik Band 1 Walter de Gruyter Berlin New York 1998 Klaus Stierstadt Thermodynamik Von Der Mikrophysik Zur Makrophysik Springer Berlin 2010 M E Fisher Renormalization Group in Theory of Critical Behavior In Reviews of Modern Physics 46 Jahrgang Nr 4 1974 S 597 616 doi 10 1103 RevModPhys 46 597 bibcode 1974RvMP 46 597F A R Its V E Korepin A G Izergin N A Slavnov Temperature Correlation of Quantum Spins In arXiv Quantum Physics quant ph 2009 arxiv 0909 4751 J M Yeomans Statistical Mechanics of Phase Transitions Oxford Science Publications 1992 ISBN 0 19 851730 0 Weblinks BearbeitenDie Korrelationslange in Spinsystemen Statistische Physik Sommersemester 2004 Prof Dr Igor M Sokolov Humboldt Universitat Berlin Schwankungen makroskopischer Grossen Online Skript Thermodynamik und Statistische Physik aus dem Sommersemester 1996 Prof H Brand Universitat Bayreuth Einzelnachweise Bearbeiten a b Iason Papaioannou Stochastic finite element methods Engineering Risk Analysis Group Technische Universitat Munchen 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Korrelationslange amp oldid 189146082