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Algebraische Funktion en sind eine spezielle Klasse von Funktionen die insbesondere in dem mathematischen Teilgebiet der

Algebraische Funktion

Algebraische Funktionen sind eine spezielle Klasse von Funktionen, die insbesondere in dem mathematischen Teilgebiet der Algebra untersucht wird. Sie sind die Lösung einer algebraischen Gleichung. Funktionen, die nicht algebraisch sind, werden transzendente Funktionen genannt.

Die Theorie der algebraischen Funktionen wurde in der Vergangenheit von den drei mathematischen Teilgebieten Funktionentheorie, arithmetische algebraische Geometrie und algebraische Geometrie aus entwickelt.

Definition Bearbeiten

Eine Funktion in Variablen wird algebraische Funktion genannt, falls es ein irreduzibles Polynom in Variablen und Koeffizienten in einem Körper gibt, so dass die algebraische Gleichung

löst.

Eine Funktion von einer Variablen ist also algebraisch, falls sie die Gleichung

erfüllt, wobei Polynome in der Variable sind.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Da in der Definition gefordert wurde, dass die Polynome irreduzibel sind, kann bewiesen werden, dass es zu jeder algebraischen Funktion bis auf eine Konstante genau ein irreduzibles Polynom gibt mit . Der Grad des Polynoms in der Variablen wird dann der Grad der algebraischen Funktion genannt.
  • Für den Grad können alle algebraischen Funktionen als rationale Funktionen und für die Grade , und können sie alle als Quadrat- oder Kubikwurzel einer rationalen Funktion dargestellt werden. Für Grade ist dies im Allgemeinen nicht möglich.
  • Algebraische Funktionen einer Variablen über dem Körper der komplexen Zahlen sind meromorph.

Beispiele Bearbeiten

Transzendente Funktionen Bearbeiten

Eine Funktion wird transzendent genannt, falls sie nicht algebraisch ist. Hierzu zählen zum Beispiel

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Josef Naas, Hermann Ludwig Schmid: Mathematisches Wörterbuch. Mit Einbeziehung der theoretischen Physik. Band 1: A – K. 3. Auflage, unveränderter Nachdruck. Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1979, ISBN 3-519-02400-4.
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Algebraische Funktionen sind eine spezielle Klasse von Funktionen die insbesondere in dem mathematischen Teilgebiet der Algebra untersucht wird Sie sind die Losung einer algebraischen Gleichung Funktionen die nicht algebraisch sind werden transzendente Funktionen genannt Die Theorie der algebraischen Funktionen wurde in der Vergangenheit von den drei mathematischen Teilgebieten Funktionentheorie arithmetische algebraische Geometrie und algebraische Geometrie aus entwickelt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Transzendente Funktionen 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Funktion y f x 1 x n displaystyle y f x 1 dotsc x n nbsp in n displaystyle n nbsp Variablen wird algebraische Funktion genannt falls es ein irreduzibles Polynom P displaystyle P nbsp in n 1 displaystyle n 1 nbsp Variablen und Koeffizienten in einem Korper gibt so dass f displaystyle f nbsp die algebraische Gleichung P f x 1 x n x 1 x n 0 displaystyle P f x 1 dotsc x n x 1 dotsc x n 0 nbsp lost Eine Funktion y f x displaystyle y f x nbsp von einer Variablen ist also algebraisch falls sie die Gleichung P n x y n P 1 x y P 0 x 0 displaystyle P n x y n dotsb P 1 x y P 0 x 0 nbsp erfullt wobei P 1 P n displaystyle P 1 dotsc P n nbsp Polynome in der Variable x displaystyle x nbsp sind 1 Eigenschaften BearbeitenDa in der Definition gefordert wurde dass die Polynome irreduzibel sind kann bewiesen werden dass es zu jeder algebraischen Funktion y f x 1 x n displaystyle y f x 1 dotsc x n nbsp bis auf eine Konstante genau ein irreduzibles Polynom P displaystyle P nbsp gibt mit P y x 1 x n 0 displaystyle P y x 1 dotsc x n 0 nbsp Der Grad des Polynoms P displaystyle P nbsp in der Variablen y displaystyle y nbsp wird dann der Grad der algebraischen Funktion genannt Fur den Grad 1 displaystyle 1 nbsp konnen alle algebraischen Funktionen als rationale Funktionen und fur die Grade 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp und 4 displaystyle 4 nbsp konnen sie alle als Quadrat oder Kubikwurzel einer rationalen Funktion dargestellt werden Fur Grade k gt 4 displaystyle k gt 4 nbsp ist dies im Allgemeinen nicht moglich Algebraische Funktionen einer Variablen uber dem Korper der komplexen Zahlen C displaystyle mathbb C nbsp sind meromorph Beispiele BearbeitenPotenzfunktionen y x r displaystyle y x r nbsp mit rationalem Exponenten r displaystyle r nbsp Polynom Funktionen Rationale Funktionen beziehungsweise gebrochen rationale Funktionen WurzelfunktionTranszendente Funktionen BearbeitenEine Funktion wird transzendent genannt falls sie nicht algebraisch ist Hierzu zahlen zum Beispiel die Exponentialfunktion die Logarithmusfunktion Kreis und Hyperbelfunktionen Trigonometrische Funktion Hyperbelfunktion Arkusfunktion AreafunktionWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Algebraic Function In MathWorld englisch Zhizhchenko Algebraic function In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Einzelnachweise Bearbeiten Josef Naas Hermann Ludwig Schmid Mathematisches Worterbuch Mit Einbeziehung der theoretischen Physik Band 1 A K 3 Auflage unveranderter Nachdruck Akademie Verlag u a Berlin u a 1979 ISBN 3 519 02400 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebraische Funktion amp oldid 212036305