In der Funktionentheorie ist ein Hardy Raum H p displaystyle H p ein Funktionenraum holomorpher Funktionen auf bestimmten Teilmengen von C displaystyle mathbb C Hardy Raume sind die Entsprechungen der L p displaystyle L p Raume in der Funktionalanalysis Sie werden nach Godfrey Harold Hardy benannt der sie 1914 1 einfuhrte Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Hardy Raume auf der Einheitskreisscheibe 1 2 Hardy Raume auf der oberen Halbebene 2 Faktorisierung 3 Weitere Eigenschaften 4 Reelle Hardy Raume 4 1 Definition 4 2 Atomare Zerlegung 4 3 Verbindung zu den Hardy Raumen 4 4 Weitere Eigenschaften 5 Anwendungen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenUblicherweise werden zwei Klassen von Hardy Raumen definiert abhangig von dem Gebiet D C displaystyle D subset mathbb C nbsp in der komplexen Ebene auf dem ihre Funktionen definiert sind Hardy Raume auf der Einheitskreisscheibe Bearbeiten Sei D z C z lt 1 displaystyle mathbb D z in mathbb C z lt 1 nbsp die Einheitskreisscheibe in C displaystyle mathbb C nbsp Dann besteht fur p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp der Hardy Raum H p D displaystyle H p mathbb D nbsp aus allen holomorphen Funktionen F D C displaystyle F mathbb D to mathbb C nbsp fur die gilt sup 0 lt r lt 1 1 2 p 0 2 p F r e i 8 p d 8 1 p lt displaystyle sup 0 lt r lt 1 left frac 1 2 pi int 0 2 pi left F re i theta right p rm d theta right 1 p lt infty nbsp Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als H p displaystyle H p nbsp Norm von F displaystyle F nbsp bezeichnet in Symbolen F H p displaystyle F H p nbsp Fur p displaystyle p infty nbsp setzt man F H D F sup z D F z displaystyle textstyle F H infty mathbb D textstyle F infty sup z in mathbb D F z nbsp und versteht unter H D displaystyle H infty mathbb D nbsp den Funktionenraum der beschrankten holomorphen Funktionen F D C displaystyle F mathbb D to mathbb C nbsp also den Raum fur den diese Supremumsnorm der darin liegenden Funktionen lt displaystyle lt infty nbsp ist Hardy Raume auf der oberen Halbebene Bearbeiten Sei H x i y C y gt 0 displaystyle mathbb H x iy in mathbb C y gt 0 nbsp die obere Halbebene in C displaystyle mathbb C nbsp Dann besteht fur p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp der Hardy Raum H p H displaystyle H p mathbb H nbsp aus allen holomorphen Funktionen F H C displaystyle F mathbb H to mathbb C nbsp fur die gilt sup y gt 0 0 F x i y p d x 1 p lt displaystyle sup y gt 0 left int 0 infty left F x iy right p rm d x right 1 p lt infty nbsp Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als H p displaystyle H p nbsp Norm von F displaystyle F nbsp bezeichnet in Symbolen F H p H displaystyle F H p mathbb H nbsp Fur p displaystyle p infty nbsp setzt man F H H sup z H F z displaystyle textstyle F H infty mathbb H sup z in mathbb H F z nbsp und definiert H H displaystyle H infty mathbb H nbsp als Raum aller holomorphen Funktionen F H C displaystyle F mathbb H to mathbb C nbsp fur die dieser Wert endlich ist Wenn allgemein von Hardy Raumen H p displaystyle H p nbsp die Rede ist ist in der Regel klar welche der beiden Klassen gemeint ist also ob D D displaystyle D mathbb D nbsp oder D H displaystyle D mathbb H nbsp ublicherweise ist es der Raum H p D displaystyle H p mathbb D nbsp von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe D displaystyle mathbb D nbsp Faktorisierung BearbeitenFur p 1 displaystyle p geq 1 nbsp kann jede Funktion f H p displaystyle f in H p nbsp als Produkt f G h displaystyle f Gh nbsp geschrieben werden worin G displaystyle G nbsp eine aussere Funktion und h displaystyle h nbsp eine innere Funktion ist Fur H p H p D displaystyle H p H p mathbb D nbsp auf der Einheitsscheibe beispielsweise ist h displaystyle h nbsp eine innere Funktion genau dann wenn h z 1 displaystyle h z leq 1 nbsp auf der Einheitskreisscheibe gilt und der Grenzwert lim r 1 h r e i 8 displaystyle lim r rightarrow 1 h re i theta nbsp fur fast alle 8 displaystyle theta nbsp existiert und sein absoluter Betrag gleich 1 ist G displaystyle G nbsp ist eine aussere Funktion wenn G z exp i ϕ 1 2 p 0 2 p e i 8 z e i 8 z g e i 8 d 8 displaystyle G z exp left i phi frac 1 2 pi int 0 2 pi frac e i theta z e i theta z g e i theta rm d theta right nbsp fur einen reellen Wert ϕ displaystyle phi nbsp und eine reellwertige und auf dem Einheitskreis integrable Funktion g displaystyle g nbsp Weitere Eigenschaften BearbeitenFur 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp sind die Raume H p displaystyle H p nbsp Banachraume Fur p gt 1 displaystyle p gt 1 nbsp gilt H p D L p 0 1 displaystyle H p mathbb D cong L p 0 1 nbsp und H p H L p R displaystyle H p mathbb H cong L p mathbb R nbsp Fur 1 lt p lt q lt displaystyle 1 lt p lt q lt infty nbsp gilt H D H q D H p D H 1 D displaystyle H infty mathbb D subset H q mathbb D subset H p mathbb D subset H 1 mathbb D nbsp Dabei sind alle diese Inklusionen echt Reelle Hardy Raume BearbeitenAus den Hardy Raumen der oberen Halbebene entwickelten Elias Stein und Guido Weiss die Theorie der reellen Hardy Raume H p R n displaystyle mathcal H p mathbb R n nbsp Definition Bearbeiten Sei ϕ S displaystyle phi in S nbsp eine Schwartz Funktion auf R n displaystyle mathbb R n nbsp und ϕ t x t n ϕ t 1 x displaystyle phi t x t n phi t 1 x nbsp fur t gt 0 eine Dirac Folge Sei f S displaystyle f in S nbsp eine temperierte Distribution so sind die radiale Maximalfunktion m ϕ f displaystyle m phi f nbsp und die nicht tangentiale Maximalfunktion M ϕ f displaystyle M phi f nbsp definiert durch m ϕ f x sup t gt 0 f ϕ t x M ϕ f x sup y x lt t lt f ϕ t y displaystyle begin aligned m phi f x amp sup t gt 0 f phi t x M phi f x amp sup y x lt t lt infty f phi t y end aligned nbsp Hierbei bezeichnet displaystyle nbsp die Faltung zwischen einer temperierten Distribution und einer Schwartz Funktion Charles Fefferman und Elias M Stein bewiesen fur f S R n displaystyle f in S mathbb R n nbsp und 0 lt p displaystyle 0 lt p leq infty nbsp dass die folgenden drei Bedingungen aquivalent sind m ϕ f L p displaystyle m phi f in L p nbsp fur ein ϕ S displaystyle phi in S nbsp mit R n ϕ 0 displaystyle int mathbb R n phi neq 0 nbsp M ϕ f L p displaystyle M phi f in L p nbsp fur ein ϕ S displaystyle phi in S nbsp mit R n ϕ 0 displaystyle int mathbb R n phi neq 0 nbsp M ϕ f L p displaystyle M phi f in L p nbsp fur jedes ϕ S displaystyle phi in S nbsp und M ϕ f displaystyle M phi f nbsp ist in einer geeigneten Teilmenge U S displaystyle U subset S nbsp gleichmassig beschrankt in ϕ displaystyle phi nbsp Man definiert den reellen Hardy Raum H p R n displaystyle mathcal H p mathbb R n nbsp als den Raum welcher alle temperierten Distributionen enthalt die die obigen Bedingungen erfullen Atomare Zerlegung Bearbeiten Insbesondere H 1 R n displaystyle mathcal H 1 mathbb R n nbsp Funktionen haben die Eigenschaft dass man sie in eine Reihe kleiner Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann Ein H p displaystyle mathcal H p nbsp Atom ist fur p 1 displaystyle p leq 1 nbsp eine Funktion a displaystyle a nbsp so dass gilt a displaystyle a nbsp hat ihren Trager in einem Ball B displaystyle B nbsp a m B 1 p displaystyle a leq mu B 1 p nbsp fast uberall und B x b a x d m x 0 displaystyle int B x beta a x mathrm d mu x 0 nbsp fur alle b displaystyle beta nbsp mit b n p 1 1 displaystyle beta leq n p 1 1 nbsp Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung R n a x p d x 1 displaystyle textstyle int mathbb R n a x p mathrm d x leq 1 nbsp und die Forderung 3 bringt die starkere Ungleichung R n M F a x p d x c displaystyle int mathbb R n M Phi a x p mathrm d x leq c nbsp Der Satz uber die atomare Zerlegung sagt nun fur f H p R n displaystyle f in mathcal H p mathbb R n nbsp mit p 1 displaystyle p leq 1 nbsp kann f displaystyle f nbsp als Reihe von H p displaystyle mathcal H p nbsp Atomen a k displaystyle a k nbsp f k 1 l k a k displaystyle f sum k 1 infty lambda k a k nbsp geschrieben werden Dabei ist l k k displaystyle lambda k k nbsp eine Folge komplexer Zahlen mit k 1 l k p lt displaystyle textstyle sum k 1 infty lambda k p lt infty nbsp Die Reihe k 1 l k a k displaystyle textstyle sum k 1 infty lambda k a k nbsp konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter f H p c k 1 l k p 1 p displaystyle f mathcal H p leq c left sum k 1 infty lambda k p right 1 p nbsp Verbindung zu den Hardy Raumen Bearbeiten Wie oben schon erwahnt sind die reellen Hardy Raume aus den Hardy Raumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden Dies wird im folgenden Abschnitt erlautert jedoch beschranken wir uns hier auf den Fall 1 1 n lt p lt displaystyle 1 1 n lt p lt infty nbsp Der interessante Fall p 1 displaystyle p 1 nbsp wird also mit abgehandelt und fur n 1 displaystyle n 1 nbsp erhalt man die ganze Spanne 0 lt p lt displaystyle 0 lt p lt infty nbsp Seien u 0 u 1 u n R n 1 R displaystyle u 0 u 1 ldots u n mathbb R n 1 to mathbb R nbsp Funktionen auf der oberen Halbebene welche die verallgemeinerten Cauchy Riemann schen Differentialgleichungen j 0 n u j x j 0 displaystyle sum j 0 n frac partial u j partial x j 0 nbsp und u j x k u k x j displaystyle frac partial u j partial x k frac partial u k partial x j nbsp fur 0 j k n displaystyle 0 leq j k leq n nbsp erfullen Jede Funktion u j displaystyle u j nbsp ist also eine harmonische Funktion und im Fall n 1 displaystyle n 1 nbsp entsprechen die verallgemeinerten Cauchy Riemann schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy Riemann Gleichungen Somit gibt es also eine holomorphe Funktion f u 0 i u 1 displaystyle f u 0 iu 1 nbsp bezuglich der Variablen x 1 i x 0 displaystyle x 1 ix 0 nbsp Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfullt eine harmonische Funktion u displaystyle u nbsp genau dann eine der drei aquivalenten H p displaystyle H p nbsp Bedingungen falls eine Funktion F u u 1 u n displaystyle F u u 1 ldots u n nbsp existiert welche den verallgemeinerten Cauchy Riemann schen Differentialgleichungen genugt und welche L p displaystyle L p nbsp beschrankt ist was sup x 0 gt 0 R n F x x 0 p d x lt displaystyle sup x 0 gt 0 int mathbb R n F x x 0 p mathrm d x lt infty nbsp bedeutet Weitere Eigenschaften Bearbeiten Fur 1 lt p displaystyle 1 lt p leq infty nbsp gilt analog H p R n L p R n displaystyle mathcal H p mathbb R n cong L p mathbb R n nbsp Also auch die reellen Hardy Raume konnen fur diese p mit den entsprechenden L p R n displaystyle L p mathbb R n nbsp Raumen identifiziert werden Fur den Fall p 1 displaystyle p 1 nbsp kann man H 1 R n displaystyle mathcal H 1 mathbb R n nbsp als echte Teilmenge von L 1 R n displaystyle L 1 mathbb R n nbsp auffassen H p R n L l o c 1 R n displaystyle mathcal H p mathbb R n cap L loc 1 mathbb R n nbsp liegt fur 0 lt p lt displaystyle 0 lt p lt infty nbsp dicht in H p R n displaystyle mathcal H p mathbb R n nbsp Der Hardy Raum H 1 R n displaystyle mathcal H 1 mathbb R n nbsp ist nicht reflexiv der Funktionenraum BMO ist sein Dualraum Anwendungen BearbeitenHardy Raume finden Anwendung in der Funktionalanalysis selbst aber ebenso in der Kontrolltheorie und in der Streutheorie Sie spielen auch in der Signalverarbeitung eine grundlegende Rolle Einem reellwertigen Signal f displaystyle f nbsp das fur alle t R displaystyle t in mathbb R nbsp von endlicher Energie ist ordnet man das analytische Signal F displaystyle F nbsp zu so dass f t ℜ F t displaystyle f t Re F t nbsp Ist f L 2 R displaystyle f in L 2 mathbb R nbsp so ist F H 2 H displaystyle F in H 2 mathbb H nbsp und F t f t i g t displaystyle F t f t ig t nbsp Die Funktion g displaystyle g nbsp ist die Hilberttransformierte von f displaystyle f nbsp Beispielsweise ist fur ein Signal f t A t cos f t displaystyle f t A t cos varphi t nbsp dessen zugeordnetes analytisches Signal F H 2 H displaystyle F in H 2 mathbb H nbsp ist durch F t A t e i f t displaystyle F t A t e i varphi t nbsp gegeben Literatur BearbeitenJoseph A Cima and William T Ross The Backward Shift on the Hardy Space American Mathematical Society 2000 ISBN 0 8218 2083 4 Peter Colwell Blaschke Products Bounded Analytic Functions University of Michigan Press Ann Arbor 1985 ISBN 0 472 10065 3 Peter Duren Theory of H p displaystyle H p nbsp Spaces Academic Press New York 1970 Kenneth Hoffman Banach spaces of analytic functions Dover Publications New York 1988 ISBN 0 486 65785 X Javier Duoandikoetxea Fourier Analysis American Mathematical Society Providence Rhode Island 2001 S 126 ISBN 0 8218 2172 5 Elias M Stein Harmonic Analysis Real Variable Methods Orthogonality and Oscillatory Integrals Princeton University Press 1993 ISBN 0 691 03216 5Einzelnachweise Bearbeiten G F Hardy The mean value of the modulus of an analytic function Proc London Math Soc 14 pp 269 277 1914 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hardy Raum amp oldid 226277663
