BMO Raum Der ist ein Objekt aus der harmonischen Analysis einem Teilgebiet der Mathematik Die Abkürzung BMO steht für bo

BMO-Raum

Der BMO-Raum ist ein Objekt aus der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Abkürzung BMO steht für „bounded mean oscillation“. Der Funktionenraum BMO wurde 1961 von Fritz John und Louis Nirenberg eingeführt. Dieser Raum ist ein Dualraum zum reellen Hardy-Raum (Charles Fefferman, Elias Stein 1972).

Definitionen Bearbeiten

Sharp-Funktion Bearbeiten

Sei eine lokal integrierbare Funktion, so ist definiert durch

wobei das Supremum über alle Bälle , welche enthalten, gebildet wird. Mit wird das Mittelwertintegral

bezeichnet.

BMO-Raum Bearbeiten

Eine lokal integrierbare Funktion heißt BMO-Funktion, falls beschränkt ist. Um eine Norm auf diesem Funktionenraum zu erhalten, identifiziert man alle konstanten Funktionen miteinander und setzt

Würde man die konstanten Funktionen nicht miteinander identifizieren, so wäre nur eine Halbnorm, also nicht definit. Mit dieser Norm wird der BMO-Raum zu einem Banachraum. Beispiele für BMO-Funktionen sind alle beschränkten, messbaren Funktionen und für ein Polynom P, welches nicht identisch null ist.

Eigenschaften Bearbeiten

John-Nirenberg-Ungleichung Bearbeiten

Sei , dann existieren für jeden Ball zwei Konstanten , so dass

für alle . Die Ungleichung gilt nicht in jedem BMO-Raum. Gilt sie in dem Raum, so sagt man, dass dieser Raum die John-Nirenberg-Eigenschaft besitzt.

Dualität von H¹ und BMO Bearbeiten

Charles Fefferman zeigte 1971, dass der BMO-Raum ein Dualraum von , dem reellen Hardy-Raum mit p = 1, ist. Die Paarung zwischen und ist gegeben durch

Dann ist die Abbildung ein Banachraum-Isomorphismus (nicht isometrisch), in diesem Sinne ist Dualraum von .

Obiger Integralausdruck muss jedoch sorgsam definiert werden, da dieses Integral im Allgemeinen nicht absolut konvergiert. Jedoch gibt es für einen dichten Unterraum , auf dem das Integral absolut konvergiert. Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach kann man dann das Funktional auf ganz fortsetzen. Als Raum kann man den Raum der H¹-Funktionen mit kompaktem Träger und mit wählen. Dies ist genau der Unterraum, welcher eine endliche atomare Zerlegung besitzt. Eine wichtige Konsequenz, welche sich aus dem Beweis zur Dualität ergibt, ist die folgende Ungleichung, die für und gilt:

Dabei ist die nicht-tangentiale Maximalfunktion.

Literatur Bearbeiten

Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5

Einzelnachweise Bearbeiten

Angekündigt 1971 von (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive). Der Aufsatz von Fefferman, Stein erschien 1972 in Acta Mathematica.
Galia Dafni, Ryan Gibara und Andrew Lavigne: BMO and the John-Nirenberg Inequality on Measure Spaces. In: Analysis and Geometry in Metric Spaces. Band 8, Nr. 1, 2020, S. 335–362, doi:10.1515/agms-2020-0115.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 06:05 am

Der BMO Raum ist ein Objekt aus der harmonischen Analysis einem Teilgebiet der Mathematik Die Abkurzung BMO steht fur bounded mean oscillation Der Funktionenraum BMO wurde 1961 von Fritz John und Louis Nirenberg eingefuhrt Dieser Raum ist ein Dualraum zum reellen Hardy Raum H 1 R n displaystyle H 1 mathbb R n Charles Fefferman Elias Stein 1972 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Sharp Funktion 1 2 BMO Raum 2 Eigenschaften 2 1 John Nirenberg Ungleichung 3 Dualitat von H1 und BMO 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSharp Funktion Bearbeiten Sei f L l o c 1 R n displaystyle f in L mathrm loc 1 mathbb R n nbsp eine lokal integrierbare Funktion so ist f displaystyle f sharp nbsp definiert durch f x sup B x B 1 m B B f y f B d m y displaystyle f sharp x sup B x in B frac 1 mu B int B f y f B mathrm d mu y nbsp wobei das Supremum uber alle Balle B displaystyle B nbsp welche x displaystyle x nbsp enthalten gebildet wird Mit f B displaystyle f B nbsp wird das Mittelwertintegral f B 1 m B B f z d m z displaystyle f B frac 1 mu B int B f z mathrm d mu z nbsp bezeichnet BMO Raum Bearbeiten Eine lokal integrierbare Funktion f displaystyle f nbsp heisst BMO Funktion falls f displaystyle f sharp nbsp beschrankt ist Um eine Norm auf diesem Funktionenraum zu erhalten identifiziert man alle konstanten Funktionen miteinander und setzt f B M O f L R n displaystyle f BMO f sharp L infty mathbb R n nbsp Wurde man die konstanten Funktionen nicht miteinander identifizieren so ware B M O displaystyle BMO nbsp nur eine Halbnorm also nicht definit Mit dieser Norm wird der BMO Raum zu einem Banachraum Beispiele fur BMO Funktionen sind alle beschrankten messbaren Funktionen und log P displaystyle log P nbsp fur ein Polynom P welches nicht identisch null ist Eigenschaften BearbeitenJohn Nirenberg Ungleichung Bearbeiten Sei f BMO R n displaystyle f in operatorname BMO mathbb R n nbsp dann existieren fur jeden Ball B R n displaystyle B in mathbb R n nbsp zwei Konstanten c 1 n c 2 n gt 0 displaystyle c 1 n c 2 n gt 0 nbsp so dass m x B f x f B gt t c 1 m B exp c 2 t f BMO displaystyle mu x in B colon f x f B gt t leq c 1 mu B exp left frac c 2 t f text BMO right nbsp fur alle t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp Die Ungleichung gilt nicht in jedem BMO Raum Gilt sie in dem Raum so sagt man dass dieser Raum die John Nirenberg Eigenschaft besitzt 2 Dualitat von H1 und BMO BearbeitenCharles Fefferman zeigte 1971 dass der BMO Raum ein Dualraum von H 1 displaystyle H 1 nbsp dem reellen Hardy Raum mit p 1 ist Die Paarung zwischen f H 1 displaystyle f in H 1 nbsp und g B M O displaystyle g in BMO nbsp ist gegeben durch T g f f g R n f x g x d x displaystyle T g f f g int mathbf R n f x g x mathrm d x nbsp Dann ist die Abbildung B M O H 1 g T g displaystyle BMO rightarrow H 1 g mapsto T g nbsp ein Banachraum Isomorphismus nicht isometrisch in diesem Sinne ist B M O displaystyle BMO nbsp Dualraum von H 1 displaystyle H 1 nbsp Obiger Integralausdruck muss jedoch sorgsam definiert werden da dieses Integral im Allgemeinen nicht absolut konvergiert Jedoch gibt es fur f H 1 displaystyle f in H 1 nbsp einen dichten Unterraum H a 1 displaystyle H a 1 nbsp auf dem das Integral absolut konvergiert Mit Hilfe des Satzes von Hahn Banach kann man dann das Funktional auf ganz H 1 displaystyle H 1 nbsp fortsetzen Als Raum H a 1 displaystyle H a 1 nbsp kann man den Raum der H1 Funktionen mit kompaktem Trager und mit R n f x d x 0 displaystyle textstyle int mathbb R n f x mathrm d x 0 nbsp wahlen Dies ist genau der Unterraum welcher eine endliche atomare Zerlegung besitzt Eine wichtige Konsequenz welche sich aus dem Beweis zur Dualitat ergibt ist die folgende Ungleichung die fur f H 1 displaystyle f in H 1 nbsp und g B M O displaystyle g in BMO nbsp gilt R n f x g x d x c R n M F f x d x R n g x d x c f H 1 R n g B M O displaystyle int mathbf R n f x g x mathrm d x leq c int mathbf R n M Phi f x mathrm d x int mathbb R n g sharp x mathrm d x c f H 1 mathbb R n g BMO nbsp Dabei ist M F displaystyle M Phi cdot nbsp die nicht tangentiale Maximalfunktion Literatur BearbeitenElias M Stein Harmonic Analysis Real Variable Methods Orthogonality and Oscillatory Integrals Princeton University Press 1993 ISBN 0 691 03216 5Einzelnachweise Bearbeiten Angekundigt 1971 von Fefferman Characterization of bounded mean oscillation Bulletin AMS Band 77 1971 S 587 8 Memento vom 4 Marz 2016 im Internet Archive Der Aufsatz von Fefferman Stein erschien 1972 in Acta Mathematica Galia Dafni Ryan Gibara und Andrew Lavigne BMO and the John Nirenberg Inequality on Measure Spaces In Analysis and Geometry in Metric Spaces Band 8 Nr 1 2020 S 335 362 doi 10 1515 agms 2020 0115 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title BMO Raum amp oldid 231508546