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Analytisches Signal Ein analytisches Signal ist in der Signaltheorie eine komplexwertige Funktion der Zeit dessen Imagin

Analytisches Signal

Ein analytisches Signal ist in der Signaltheorie eine komplexwertige Funktion der Zeit, dessen Imaginärteil die Hilbert-Transformierte des Realteils ist. Die Bezeichnung analytisch drückt aus, dass die Funktion im Komplexen differenzierbar ist (siehe analytische Funktion). Hieraus ergibt sich, dass im Spektrum eines analytischen Signals im Gegensatz zu einem reellen Signal keine negativen Frequenzen auftreten. Das analytische Signal stellt einen Spezialfall aus der Gruppe der monogenen Signale dar.

Anwendungen von analytischen Signalen in der Signalverarbeitung liegen im Bereich der Einseitenbandmodulation.

Definition Bearbeiten

Übertragungsfunktion, durch die ein analytisches Signal gebildet wird.

Ist x(t) ein reelles Zeitsignal mit seiner Fourier-Transformierten X(jω), dann kann daraus ein Spektrum Xa(jω) mit rein positiven Frequenzen gewonnen werden, indem eine Multiplikation mit der Sprungfunktion σ(ω) erfolgt.

Dabei bezeichnet ω die Kreisfrequenz und j die imaginäre Einheit. Die inverse Fourier-Transformation erfolgt nach der Konvention der unsymmetrischen Normierung. Im Weiteren zeigt sich die Bildungsvorschrift für das analytische Zeitsignal xa(t) aus dem Zeitsignal x(t).

Dabei stellen die Faltungsoperation und die Hilbert-Transformation dar. Bei einem analytischen Signal trägt der Imaginärteil in Bezug zu dem Realteil keinen zusätzlichen Informationsgehalt.

Das reelle Zeitsignal x(t), bestehend aus einer Cosinusschwingung, besitzt das analytische Signal xa(t). Durch die Fourier-Transformation der eulerschen Identität zeigt sich, dass xa(t) ein einseitiges Spektrum ohne negative Frequenzen besitzt.

Darstellungen Bearbeiten

Ein moduliertes Signal m(t) in blau und der Betragsverlauf A(t) des zugehörigen analytischen Signals

Wie jede komplexe Zahl kann das analytische Signal auch in komplexer Polardarstellung ausgedrückt werden.

Dabei wird γ(t) als die komplexe Einhüllende, A(t) als die Betragseinhüllende und φ(t) als die Momentanphase bezeichnet.

System mit polarem Modulator

Von Bedeutung ist diese Darstellung in der Nachrichtentechnik, da sich damit ein polarer Modulator ansteuern lässt, wohingegen sich der Real- und Imaginärteil zum Ansteuern eines kartesischen Modulators (IQ-Modulator) eignet. Durch das Zusammenspiel mit einem entsprechend konstruierten Leistungsverstärker (englisch Power Amplifier abgekürzt PA), hat das erstgenannte System einen besseren Wirkungsgrad.

Ein moduliertes Signal m(t) wird dabei aus der Trägerfrequenz und der komplexen Einhüllenden entsprechend der folgenden Gleichung erzeugt.

Modulation Bearbeiten

Modulation und Demodulation eines komplexen Signals

Durch Multiplikation lässt sich auf die Trägerfrequenz ein komplexes Signal aufprägen, wodurch das komplexe modulierte Signal entsteht. Die Demodulation erfolgt durch Multiplikation mit einem komplexen Zeiger der in entgegengesetzter Richtung rotiert.

Der Realteil und der Imaginärteil erfordern jeweils einen eigenen Übertragungspfad. In der Praxis wird oft darauf verzichtet. Durch Rechnung zeigt sich, dass es sich beim modulierten Signal um ein analytisches Signal handelt, also der Imaginärteil redundant zum Realteil vorliegt, womit auch nur einer von beiden übertragen werden muss.

Vorausgesetzt bei x(t) handelt es sich um ein bandbegrenztes Signal, dessen Frequenzanteile oberhalb von eine Amplitude von null aufweisen, dann gilt folgende Hilbert-Transformation:

Der Imaginärteil lässt sich Empfängerseitig durch die Hilbert-Transformation regenerieren.

Neben dem gezeigten Verfahren existieren weitere Möglichkeiten zum Erzeugen und Auflösen des gleichen modulierten Signals.

Literatur Bearbeiten

  • Karl-Dirk Kammeyer, Kristian Kroschel: Digitale Signalverarbeitung. 6. Auflage. Teubner, 2006, ISBN 3-8351-0072-6.

Weblinks Bearbeiten

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Ein analytisches Signal ist in der Signaltheorie eine komplexwertige Funktion der Zeit dessen Imaginarteil die Hilbert Transformierte des Realteils ist Die Bezeichnung analytisch druckt aus dass die Funktion im Komplexen differenzierbar ist siehe analytische Funktion Hieraus ergibt sich dass im Spektrum eines analytischen Signals im Gegensatz zu einem reellen Signal keine negativen Frequenzen auftreten Das analytische Signal stellt einen Spezialfall aus der Gruppe der monogenen Signale dar Anwendungen von analytischen Signalen in der Signalverarbeitung liegen im Bereich der Einseitenbandmodulation Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Darstellungen 3 Modulation 4 Literatur 5 WeblinksDefinition Bearbeiten nbsp Ubertragungsfunktion durch die ein analytisches Signal gebildet wird Ist x t ein reelles Zeitsignal mit seiner Fourier Transformierten X jw dann kann daraus ein Spektrum Xa jw mit rein positiven Frequenzen gewonnen werden indem eine Multiplikation mit der Sprungfunktion s w erfolgt X a j w X j w 2 s 1 2 w X j w X j w sgn w displaystyle begin aligned X a mathrm j omega amp X mathrm j omega cdot 2 sigma frac 1 2 omega amp X mathrm j omega X mathrm j omega cdot operatorname sgn omega end aligned nbsp Dabei bezeichnet w die Kreisfrequenz und j die imaginare Einheit Die inverse Fourier Transformation F 1 displaystyle mathcal F 1 nbsp erfolgt nach der Konvention der unsymmetrischen Normierung Im Weiteren zeigt sich die Bildungsvorschrift fur das analytische Zeitsignal xa t aus dem Zeitsignal x t x a t x t j x t 1 p t x t j H x t x t j x t displaystyle begin aligned x a t amp x t mathrm j x t ast frac 1 pi t amp x t mathrm j mathcal H x t amp x t mathrm j hat x t end aligned nbsp Dabei stellen displaystyle ast nbsp die Faltungsoperation und H displaystyle mathcal H nbsp die Hilbert Transformation dar Bei einem analytischen Signal tragt der Imaginarteil in Bezug zu dem Realteil keinen zusatzlichen Informationsgehalt BeispielDas reelle Zeitsignal x t bestehend aus einer Cosinusschwingung besitzt das analytische Signal xa t Durch die Fourier Transformation der eulerschen Identitat zeigt sich dass xa t ein einseitiges Spektrum ohne negative Frequenzen besitzt x t cos w 0 t x a t cos w 0 t j sin w 0 t e j w 0 t t w 0 0 X j w d w w 0 2 d w w 0 2 X a j w d w w 0 displaystyle begin aligned amp x t cos omega 0 t amp Rightarrow quad amp x mathrm a t cos omega 0 t mathrm j sin omega 0 t mathrm e mathrm j omega 0 t quad forall t omega 0 geq 0 amp Downarrow amp amp Downarrow amp X mathrm j omega frac delta omega omega 0 2 frac delta omega omega 0 2 amp amp X a mathrm j omega delta omega omega 0 end aligned nbsp Darstellungen Bearbeiten nbsp Ein moduliertes Signal m t in blau und der Betragsverlauf A t des zugehorigen analytischen SignalsWie jede komplexe Zahl kann das analytische Signal auch in komplexer Polardarstellung ausgedruckt werden x a t g t A t e j f t displaystyle x mathrm a t underline gamma t A t mathrm e mathrm j varphi t nbsp Dabei wird g t als die komplexe Einhullende A t als die Betragseinhullende und f t als die Momentanphase bezeichnet A t x a t x 2 t x 2 t displaystyle A t x mathrm a t sqrt x 2 t hat x 2 t nbsp f t arg x a t displaystyle varphi t arg left x mathrm a t right nbsp nbsp System mit polarem ModulatorVon Bedeutung ist diese Darstellung in der Nachrichtentechnik da sich damit ein polarer Modulator ansteuern lasst wohingegen sich der Real und Imaginarteil zum Ansteuern eines kartesischen Modulators IQ Modulator eignet Durch das Zusammenspiel mit einem entsprechend konstruierten Leistungsverstarker englisch Power Amplifier abgekurzt PA hat das erstgenannte System einen besseren Wirkungsgrad Ein moduliertes Signal m t wird dabei aus der Tragerfrequenz W T displaystyle Omega T nbsp und der komplexen Einhullenden entsprechend der folgenden Gleichung erzeugt m t ℜ g t e j W T t A t cos W T t f t displaystyle m t Re left underline gamma t cdot mathrm e j Omega T t right A t cdot cos Omega T t varphi t nbsp Modulation Bearbeiten nbsp Modulation und Demodulation eines komplexen SignalsDurch Multiplikation lasst sich auf die Tragerfrequenz W T displaystyle Omega T nbsp ein komplexes Signal g t displaystyle underline g t nbsp aufpragen wodurch das komplexe modulierte Signal m t displaystyle underline m t nbsp entsteht Die Demodulation erfolgt durch Multiplikation mit einem komplexen Zeiger der in entgegengesetzter Richtung rotiert m t g t e j W T t displaystyle underline m t underline g t cdot mathrm e mathrm j Omega T t nbsp g t m t e j W T t displaystyle underline g t underline m t cdot mathrm e mathrm j Omega T t nbsp e j W T t e j W T t 1 displaystyle mathrm e mathrm j Omega T t cdot mathrm e mathrm j Omega T t 1 nbsp Der Realteil und der Imaginarteil erfordern jeweils einen eigenen Ubertragungspfad In der Praxis wird oft darauf verzichtet Durch Rechnung zeigt sich dass es sich beim modulierten Signal m t displaystyle underline m t nbsp um ein analytisches Signal handelt also der Imaginarteil redundant zum Realteil vorliegt womit auch nur einer von beiden ubertragen werden muss m t ℜ g t j ℑ g t cos W T t j sin W T t displaystyle underline m t left Re underline g t mathrm j Im underline g t right cdot left cos Omega T t mathrm j sin Omega T t right nbsp Vorausgesetzt bei x t handelt es sich um ein bandbegrenztes Signal dessen Frequenzanteile oberhalb von w 0 displaystyle omega 0 nbsp eine Amplitude von null aufweisen dann gilt folgende Hilbert Transformation H x t cos w 0 t x t sin w 0 t displaystyle mathcal H x t cdot cos omega 0 t x t cdot sin omega 0 t nbsp m t m t j H m t displaystyle underline m t m t mathrm j mathcal H m t nbsp Der Imaginarteil lasst sich Empfangerseitig durch die Hilbert Transformation regenerieren m t ℜ g t cos W T t ℑ g t sin W T t displaystyle m t Re left underline g t right cdot cos Omega T t Im left underline g t right cdot sin Omega T t nbsp g t m t j H m t e j W T t displaystyle underline g t left m t mathrm j mathcal H m t right cdot mathrm e mathrm j Omega T t nbsp Neben dem gezeigten Verfahren existieren weitere Moglichkeiten zum Erzeugen und Auflosen des gleichen modulierten Signals Literatur BearbeitenKarl Dirk Kammeyer Kristian Kroschel Digitale Signalverarbeitung 6 Auflage Teubner 2006 ISBN 3 8351 0072 6 Weblinks BearbeitenAnalytic Signals and Hilbert Transform Filters engl Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Analytisches Signal amp oldid 236376612