x n displaystyle sqrt n x Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Arithmetik Es werden mathematische Symbole verwendet die im Artikel Liste mathematischer Symbole erlautert werden Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Grundrechenarten 2 1 Rechenoperationen 2 2 Klammerregeln 2 3 Rechengesetze 2 4 Binomische Formeln 3 Bruchrechnung 3 1 Bezeichnungen 3 2 Rechenregeln 3 3 Prozentrechnung 4 Elementare Rechenoperationen 4 1 Potenz 4 2 Wurzel 4 3 Logarithmus 5 Elementare Funktionen 5 1 Betrag 5 2 Vorzeichen 5 3 Ab und Aufrundung 6 Gleichungen 6 1 Aquivalenzumformungen 6 2 Lineare Gleichungen 6 3 Quadratische Gleichungen 6 4 Algebraische Gleichungen 7 Ungleichungen 7 1 Aquivalenzumformungen 7 2 Spezielle Ungleichungen 7 3 Ungleichungen bei Mittelwerten 8 Komplexe Zahlen 8 1 Algebraische Form 8 2 Polarform 8 3 Exponentialform 9 Summenformeln 9 1 Rechenregeln 9 2 Arithmetische Reihe 9 3 Geometrische Reihe 9 4 Potenzsummen 9 5 Kombinatorische Summen 9 6 Ungleichungen bei Summen 10 LiteraturNotation BearbeitenBuchstaben am Anfang des Alphabets a b c displaystyle a b c ldots nbsp stehen fur beliebige Zahlen Buchstaben in der Mitte des Alphabets i j m n displaystyle i j m n ldots nbsp stehen fur naturliche Zahlen Buchstaben am Ende des Alphabets x y displaystyle x y ldots nbsp stehen fur Variablen Es gilt die Operatorrangfolge Punktrechnung vor Strichrechnung Rechenoperationen der zweiten Stufe Multiplikation und Division binden starker als die der ersten Stufe Addition und Subtraktion und Rechenoperationen der dritten Stufe Wurzelziehen und Potenzieren starker als die der zweiten Stufe Es gilt die Klammerregel Stehen Operationen in Klammern so werden diese zuerst ausgefuhrt Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander so werden die Operationen von links nach rechts ausgefuhrt Grundrechenarten BearbeitenRechenoperationen Bearbeiten Addition a b c displaystyle a b c nbsp Summand Summand Summe Subtraktion a b c displaystyle a b c nbsp Minuend Subtrahend Differenz Multiplikation a b c displaystyle a cdot b c nbsp Faktor Faktor Produkt Division a b c displaystyle a b c nbsp Dividend Divisor Quotient Die Division durch null ist dabei nicht definiert Klammerregeln Bearbeiten a b c a b c displaystyle a b c a b c nbsp a b c a b c displaystyle a b c a b c nbsp a b c a b c displaystyle a b c a b c nbsp a b c a b c displaystyle a b c a b c nbsp Rechengesetze Bearbeiten Assoziativgesetze a b c a b c displaystyle a left b c right left a b right c nbsp a b c a b c displaystyle a cdot left b cdot c right left a cdot b right cdot c nbsp Kommutativgesetze a b b a displaystyle a b b a nbsp a b b a displaystyle a cdot b b cdot a nbsp Distributivgesetze a b c a b a c displaystyle a cdot left b c right a cdot b a cdot c nbsp a b c a c b c displaystyle left a b right cdot c a cdot c b cdot c nbsp Neutralitat von 0 displaystyle 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp a 0 0 a a displaystyle a 0 0 a a nbsp a 1 1 a a displaystyle a cdot 1 1 cdot a a nbsp Binomische Formeln Bearbeiten a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a b 2 a 2 2 cdot a cdot b b 2 nbsp a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a b 2 a 2 2 cdot a cdot b b 2 nbsp a b a b a 2 b 2 displaystyle a b cdot a b a 2 b 2 nbsp Bruchrechnung BearbeitenBezeichnungen Bearbeiten Definition a b a b displaystyle frac a b a b nbsp Zahler Nenner Zahler und Nenner sind ganze Zahlen wobei der Nenner nicht null sein darf Spezialfalle Stammbruch a 1 displaystyle a 1 nbsp Echter Bruch a lt b displaystyle a lt b nbsp Unechter Bruch a gt b displaystyle a gt b nbsp Scheinbruch a b c displaystyle a b cdot c nbsp mit einer ganzen Zahl c displaystyle c nbsp Kehrbruch a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp werden vertauschtRechenregeln Bearbeiten Vorzeichen a b a b a b displaystyle frac a b frac a b frac a b nbsp a b a b displaystyle frac a b frac a b nbsp Erweitern und Kurzen a b a c b c displaystyle frac a b frac a cdot c b cdot c nbsp fur c 0 displaystyle c neq 0 nbsp Addition a b c d a d c b b d displaystyle frac a b frac c d frac a cdot d c cdot b b cdot d nbsp Subtraktion a b c d a d c b b d displaystyle frac a b frac c d frac a cdot d c cdot b b cdot d nbsp Multiplikation a b c d a c b d displaystyle frac a b cdot frac c d frac a cdot c b cdot d nbsp Division a b c d a b d c a d b c displaystyle frac a b frac c d frac a b cdot frac d c frac a cdot d b cdot c nbsp Prozentrechnung Bearbeiten Definitionen p p 100 displaystyle p frac p 100 nbsp Prozentsatz Prozentwert Grundwert p 0 00 p 1 000 displaystyle p 0 00 frac p 1 000 nbsp Promillesatz Promillewert Grundwert Prozentsatze haufig benutzter Anteile Anteil am Grundwert 1 100 displaystyle frac 1 100 nbsp 1 50 displaystyle frac 1 50 nbsp 1 40 displaystyle frac 1 40 nbsp 1 25 displaystyle frac 1 25 nbsp 1 20 displaystyle frac 1 20 nbsp 1 16 displaystyle frac 1 16 nbsp 1 15 displaystyle frac 1 15 nbsp 1 12 displaystyle frac 1 12 nbsp 1 11 displaystyle frac 1 11 nbsp 1 10 displaystyle frac 1 10 nbsp Prozentsatz 1 2 2 5 4 5 6 25 6 67 8 33 9 09 10 Anteil am Grundwert 1 9 displaystyle frac 1 9 nbsp 1 8 displaystyle frac 1 8 nbsp 1 7 displaystyle frac 1 7 nbsp 1 6 displaystyle frac 1 6 nbsp 1 5 displaystyle frac 1 5 nbsp 1 4 displaystyle frac 1 4 nbsp 1 3 displaystyle frac 1 3 nbsp 1 2 displaystyle frac 1 2 nbsp 2 3 displaystyle frac 2 3 nbsp 3 4 displaystyle frac 3 4 nbsp Prozentsatz 11 11 12 5 14 29 16 67 20 25 33 33 50 66 67 75 Elementare Rechenoperationen BearbeitenPotenz Bearbeiten DefinitionenNaturlicher Exponent a n a a a n F a k t o r e n displaystyle a n underbrace a cdot a dotsm a n mathrm Faktoren nbsp Potenz Basis hoch Exponent Negativer Exponent a n 1 a n displaystyle a n frac 1 a n nbsp Rationaler Exponent x a m n x n a m displaystyle x a m n Leftrightarrow x n a m nbsp Hierbei ist a displaystyle a nbsp eine nichtnegative rationale Zahl und m n displaystyle m n nbsp sind naturliche Zahlen Spezialfalle a 0 1 displaystyle a 0 1 nbsp fur a 0 displaystyle a neq 0 nbsp siehe Null hoch null0 n 0 displaystyle 0 n 0 nbsp fur n 0 displaystyle n neq 0 nbsp Potenzgesetze a m a n a m n displaystyle a m cdot a n a m n nbsp a m a n a m n displaystyle frac a m a n a m n nbsp a m n a m n displaystyle a m n a m cdot n nbsp a n b n a b n displaystyle a n cdot b n a cdot b n nbsp a n b n a b n displaystyle frac a n b n left frac a b right n nbsp Definition und Rechenregeln konnen auf reelle Zahlen erweitert werden Wurzel Bearbeiten Definition x a n x n a displaystyle x sqrt n a Leftrightarrow x n a nbsp n te Wurzel a heisst Radikand n Wurzelexponent Hierbei ist a displaystyle a nbsp eine nichtnegative reelle Zahl und n displaystyle n nbsp eine naturliche Zahl grosser als einsSpezialfalle a a 2 displaystyle sqrt a sqrt 2 a nbsp Quadratwurzel a 3 displaystyle sqrt 3 a nbsp Kubikwurzel Wurzelgesetze a n a 1 n displaystyle sqrt n a a frac 1 n nbsp a m n a n m a m n displaystyle sqrt n a m sqrt n a m a frac m n nbsp a n b n a b n displaystyle sqrt n a cdot sqrt n b sqrt n a cdot b nbsp a n b n a b n displaystyle sqrt n a over sqrt n b sqrt n a over b nbsp a m n a n m displaystyle sqrt n sqrt m a sqrt n cdot m a nbsp a n a m a n m n m displaystyle sqrt n a cdot sqrt m a sqrt n cdot m a n m nbsp a n a m a m n n m displaystyle frac sqrt n a sqrt m a sqrt n cdot m a m n nbsp Logarithmus Bearbeiten Definition x log b a a b x displaystyle x log b a Leftrightarrow a b x nbsp Logarithmus der Zahl a zur Basis b Hierbei sind a b displaystyle a b nbsp positive reelle Zahlen Spezialfalle log 2 a lb a displaystyle log 2 a operatorname lb a nbsp binarer Logarithmus log e a ln a displaystyle log e a ln a nbsp naturlicher Logarithmus log 10 a lg a displaystyle log 10 a lg a nbsp dekadischer Logarithmus log b 1 0 displaystyle log b 1 0 nbsp log b b 1 displaystyle log b b 1 nbsp Logarithmengesetze log b a c log b a log b c displaystyle log b a cdot c log b a log b c nbsp log b a c log b a log b c displaystyle log b left frac a c right log b a log b c nbsp log b a c c log b a displaystyle log b left a c right c cdot log b a nbsp log b a log c a log c b displaystyle log b a frac log c a log c b nbsp Elementare Funktionen BearbeitenBetrag Bearbeiten Definition a a f u r a gt 0 0 f u r a 0 a f u r a lt 0 displaystyle a begin cases a amp mathrm f ddot u r quad a gt 0 0 amp mathrm f ddot u r quad a 0 a amp mathrm f ddot u r quad a lt 0 end cases nbsp Eigenschaften a 0 a 0 displaystyle a 0 Leftrightarrow a 0 nbsp a b a b displaystyle a cdot b a cdot b nbsp a b a b displaystyle a b leq a b nbsp Dreiecksungleichung Vorzeichen Bearbeiten Definition sgn a 1 f u r a gt 0 0 f u r a 0 1 f u r a lt 0 displaystyle operatorname sgn a begin cases 1 amp mathrm f ddot u r quad a gt 0 0 amp mathrm f ddot u r quad a 0 1 amp mathrm f ddot u r quad a lt 0 end cases nbsp Eigenschaften sgn a a a displaystyle operatorname sgn a frac a a nbsp fur a 0 displaystyle a neq 0 nbsp sgn a sgn a displaystyle operatorname sgn a operatorname sgn a nbsp sgn a b sgn a sgn b displaystyle operatorname sgn a cdot b operatorname sgn a cdot operatorname sgn b nbsp Ab und Aufrundung Bearbeiten Definitionen a max k Z k a displaystyle lfloor a rfloor max k in mathbb Z mid k leq a nbsp Abrundung a min k Z k a displaystyle lceil a rceil min k in mathbb Z mid k geq a nbsp Aufrundung Eigenschaften a a a displaystyle bigl lfloor lfloor a rfloor bigr rfloor bigl lceil lfloor a rfloor bigr rceil lfloor a rfloor nbsp a a a displaystyle bigl lceil lceil a rceil bigr rceil bigl lfloor lceil a rceil bigr rfloor lceil a rceil nbsp a b a b a b 1 displaystyle lfloor a rfloor lfloor b rfloor leq lfloor a b rfloor leq lfloor a rfloor lfloor b rfloor 1 nbsp a b a b a b 1 displaystyle lceil a rceil lceil b rceil geq lceil a b rceil geq lceil a rceil lceil b rceil 1 nbsp Gleichungen BearbeitenAquivalenzumformungen Bearbeiten Losen von Gleichungen a b b a displaystyle a b Leftrightarrow b a nbsp a b a c b c displaystyle a b Leftrightarrow a c b c nbsp a b a c b c displaystyle a b Leftrightarrow a c b c nbsp a b a c b c displaystyle a b Leftrightarrow a cdot c b cdot c nbsp fur c 0 displaystyle c neq 0 nbsp a b a c b c displaystyle a b Leftrightarrow a c b c nbsp fur c 0 displaystyle c neq 0 nbsp a b f a f b displaystyle a b Leftrightarrow f a f b nbsp fur jede bijektive Funktion f displaystyle f nbsp Lineare Gleichungen Bearbeiten Allgemeine Form a x b displaystyle a cdot x b nbsp Losungen x b a displaystyle x frac b a nbsp falls a 0 displaystyle a neq 0 nbsp keine Losung falls a 0 b 0 displaystyle a 0 b neq 0 nbsp unendlich viele Losungen falls a 0 b 0 displaystyle a 0 b 0 nbsp Quadratische Gleichungen Bearbeiten Allgemeine Form a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 nbsp mit a 0 displaystyle a neq 0 nbsp Diskriminante D b 2 4 a c displaystyle D b 2 4ac nbsp Losungen x 1 2 b b 2 4 a c 2 a displaystyle x 1 2 frac b pm sqrt b 2 4ac 2a nbsp falls D gt 0 displaystyle D gt 0 nbsp x b 2 a displaystyle x frac b 2a nbsp falls D 0 displaystyle D 0 nbsp keine reelle Losung falls D lt 0 displaystyle D lt 0 nbsp Quadratische Erganzung a x 2 b x c a x b 2 a 2 c b 2 4 a displaystyle ax 2 bx c a left x frac b 2a right 2 left c frac b 2 4a right nbsp p q Form x 2 p x q 0 displaystyle x 2 px q 0 nbsp Diskriminante D p 2 4 q displaystyle D frac p 2 4 q nbsp Losungen x 1 2 p 2 p 2 4 q displaystyle x 1 2 frac p 2 pm sqrt frac p 2 4 q nbsp falls D gt 0 displaystyle D gt 0 nbsp x p 2 displaystyle x frac p 2 nbsp falls D 0 displaystyle D 0 nbsp keine reelle Losung falls D lt 0 displaystyle D lt 0 nbsp Satz von Vieta p x 1 x 2 displaystyle p x 1 x 2 nbsp q x 1 x 2 displaystyle q x 1 cdot x 2 nbsp Algebraische Gleichungen Bearbeiten Allgemeine Form a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 2 x 2 a 1 x 1 a 0 0 displaystyle a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 dotsb a 2 x 2 a 1 x 1 a 0 0 nbsp Losungen x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp als komplexe Losungen nicht notwendigerweise verschieden Fundamentalsatz der Algebra Zerlegung in Linearfaktoren a n x x 1 x x 2 x x n 0 displaystyle a n x x 1 x x 2 dotsm x x n 0 nbsp Polynomdivision p x s x q x r x displaystyle p x s x q x r x nbsp wobei grad p grad q displaystyle operatorname grad p geq operatorname grad q nbsp p x q x s x r x q x displaystyle frac p x q x s x frac r x q x nbsp wobei grad q 0 displaystyle operatorname grad q geq 0 nbsp Ungleichungen BearbeitenAquivalenzumformungen Bearbeiten Losen von Ungleichungen a lt b b gt a displaystyle a lt b Leftrightarrow b gt a nbsp a lt b a c lt b c displaystyle a lt b Leftrightarrow a c lt b c nbsp a lt b a c lt b c displaystyle a lt b Leftrightarrow a c lt b c nbsp a lt b a c lt b c falls c gt 0 a c gt b c falls c lt 0 displaystyle a lt b Leftrightarrow begin cases a cdot c lt b cdot c amp text falls c gt 0 a cdot c gt b cdot c amp text falls c lt 0 end cases nbsp a lt b a c lt b c falls c gt 0 a c gt b c falls c lt 0 displaystyle a lt b Leftrightarrow begin cases a c lt b c amp text falls c gt 0 a c gt b c amp text falls c lt 0 end cases nbsp a lt b f a lt f b falls f bijektiv streng monoton steigend ist f a gt f b falls f bijektiv streng monoton fallend ist displaystyle a lt b Leftrightarrow begin cases f a lt f b amp text falls f text bijektiv streng monoton steigend ist f a gt f b amp text falls f text bijektiv streng monoton fallend ist end cases nbsp Die Umformungsregeln gelten analog auch fur displaystyle leq geq nbsp Spezielle Ungleichungen Bearbeiten Dreiecksungleichung a b a b displaystyle a b leq a b nbsp fur alle a b displaystyle a b nbsp Bernoullische Ungleichung 1 a n 1 a n displaystyle 1 a n geq 1 a cdot n nbsp fur a 1 displaystyle a geq 1 nbsp und n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 ldots nbsp Youngsche Ungleichung a b a p p b q q displaystyle a cdot b leq frac a p p frac b q q nbsp fur a b 0 displaystyle a b geq 0 nbsp und p q gt 1 displaystyle p q gt 1 nbsp mit 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp Ungleichungen bei Mittelwerten Bearbeiten Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel a 1 a n n 1 n a 1 a n displaystyle sqrt n a 1 cdot ldots cdot a n leq frac 1 n a 1 ldots a n nbsp fur a 1 a n 0 displaystyle a 1 ldots a n geq 0 nbsp und n 2 3 displaystyle n 2 3 ldots nbsp Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel n 1 a 1 1 a n a 1 a n n displaystyle frac n frac 1 a 1 ldots frac 1 a n leq sqrt n a 1 cdot ldots cdot a n nbsp fur a 1 a n gt 0 displaystyle a 1 ldots a n gt 0 nbsp und n 2 3 displaystyle n 2 3 ldots nbsp Komplexe Zahlen BearbeitenAlgebraische Form Bearbeiten Darstellung z a b i displaystyle z a b cdot mathrm i nbsp mit Realteil a displaystyle a nbsp Imaginarteil b displaystyle b nbsp und der imaginaren Einheit i displaystyle mathrm i nbsp z a b i displaystyle bar z a b cdot mathrm i nbsp Komplexe Konjugation Potenzen der imaginaren Einheit i 0 1 displaystyle mathrm i 0 1 nbsp i 1 i displaystyle mathrm i 1 mathrm i nbsp i 2 1 displaystyle mathrm i 2 1 nbsp i 3 i displaystyle mathrm i 3 mathrm i nbsp Allgemein fur n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp i 4 n 1 displaystyle mathrm i 4n 1 nbsp i 4 n 1 i displaystyle mathrm i 4n 1 mathrm i nbsp i 4 n 2 1 displaystyle mathrm i 4n 2 1 nbsp i 4 n 3 i displaystyle mathrm i 4n 3 mathrm i nbsp Arithmetische Operationen a i b c i d a c i b d displaystyle a mathrm i b c mathrm i d a c mathrm i b d nbsp a i b c i d a c i b d displaystyle a mathrm i b c mathrm i d a c mathrm i b d nbsp a i b c i d a c b d i a d b c displaystyle a mathrm i b cdot c mathrm i d ac bd mathrm i ad bc nbsp a i b c i d a c b d c 2 d 2 i b c a d c 2 d 2 displaystyle a mathrm i b c mathrm i d frac ac bd c 2 d 2 mathrm i frac bc ad c 2 d 2 nbsp fur c 2 d 2 0 displaystyle c 2 d 2 neq 0 nbsp Polarform Bearbeiten Darstellung z r cos f i sin f displaystyle z r cdot cos varphi mathrm i cdot sin varphi nbsp mit dem Betrag r displaystyle r nbsp und dem Argument f displaystyle varphi nbsp Betrag r z z z a 2 b 2 displaystyle r z sqrt z cdot bar z sqrt a 2 b 2 nbsp Argument f arctan b a f u r a gt 0 arctan b a p f u r a lt 0 b 0 arctan b a p f u r a lt 0 b lt 0 p 2 f u r a 0 b gt 0 p 2 f u r a 0 b lt 0 displaystyle varphi begin cases arctan frac b a amp mathrm f ddot u r a gt 0 arctan frac b a pi amp mathrm f ddot u r a lt 0 b geq 0 arctan frac b a pi amp mathrm f ddot u r a lt 0 b lt 0 pi 2 amp mathrm f ddot u r a 0 b gt 0 pi 2 amp mathrm f ddot u r a 0 b lt 0 end cases nbsp oderf arccos a r f u r b 0 arccos a r p f u r b lt 0 displaystyle varphi begin cases arccos frac a r amp mathrm f ddot u r b geq 0 arccos left frac a r right pi amp mathrm f ddot u r b lt 0 end cases nbsp Exponentialform Bearbeiten Darstellung z r e i f displaystyle z r cdot e mathrm i varphi nbsp mit der eulerschen Zahl e displaystyle e nbsp e i f cos f i sin f displaystyle e mathrm i varphi cos varphi mathrm i sin varphi nbsp Eulersche Formel Umrechnungsformeln sin f e i f e i f 2 i displaystyle sin varphi frac e mathrm i varphi e mathrm i varphi 2 mathrm i nbsp cos f e i f e i f 2 displaystyle cos varphi frac e mathrm i varphi e mathrm i varphi 2 nbsp Arithmetische Operationen r e i f s e i ps r 2 s 2 2 r s cos f ps e i atan2 r sin f s sin ps r cos f s cos ps displaystyle r cdot e mathrm i varphi pm s cdot e mathrm i psi sqrt r 2 s 2 pm 2rs cos varphi psi cdot e mathrm i operatorname atan2 left r sin varphi pm s sin psi r cos varphi pm s cos psi right nbsp r e i f s e i ps r s e i f ps displaystyle r cdot e mathrm i varphi cdot s cdot e mathrm i psi r cdot s cdot e mathrm i varphi psi nbsp r e i f s e i ps r s e i f ps displaystyle r cdot e mathrm i varphi s cdot e mathrm i psi r s cdot e mathrm i varphi psi nbsp Potenzen r e i f n r n e i n f displaystyle r cdot e mathrm i varphi n r n cdot e mathrm i n varphi nbsp Wurzeln x n 1 x e 2 p i k n displaystyle x n 1 Leftrightarrow x e 2 pi mathrm i k n nbsp fur k 0 1 n 1 displaystyle k 0 1 dots n 1 nbsp Einheitswurzeln x n z x z n e i arg z 2 p i k n displaystyle x n z Leftrightarrow x sqrt n z cdot e mathrm i arg z 2 pi mathrm i k n nbsp fur k 0 1 n 1 displaystyle k 0 1 dots n 1 nbsp Summenformeln BearbeitenRechenregeln Bearbeiten i 1 n c n c displaystyle sum i 1 n c n cdot c nbsp i m n c n m 1 c displaystyle sum i m n c n m 1 cdot c nbsp i m n c a i c i m n a i displaystyle sum i m n c cdot a i c cdot sum i m n a i nbsp i m n a i b i i m n a i i m n b i displaystyle sum i m n a i b i sum i m n a i sum i m n b i nbsp i m n a i i m r n r a i r displaystyle sum i m n a i sum i m r n r a i r nbsp i 1 n a i a i 1 a n a 0 displaystyle sum i 1 n a i a i 1 a n a 0 nbsp Teleskopsumme Arithmetische Reihe Bearbeiten i 1 n i n n 1 2 displaystyle sum i 1 n i frac n n 1 2 nbsp Gausssche Summenformel Geometrische Reihe Bearbeiten i 0 n 1 k i 1 k n 1 k displaystyle sum i 0 n 1 k i frac 1 k n 1 k nbsp Eine Version die fur alle Halbringe geeignet ist 1 0 i 0 n 1 k i k n 1 0 1 k n displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 sum i 0 n 1 k i amp k n end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 1 amp k end pmatrix n nbsp Potenzsummen Bearbeiten i 1 n i 2 n n 1 2 n 1 6 displaystyle sum i 1 n i 2 frac n n 1 2n 1 6 nbsp i 1 n i 3 n 2 n 1 2 4 displaystyle sum i 1 n i 3 frac n 2 n 1 2 4 nbsp Fur weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel Kombinatorische Summen Bearbeiten Binomischer Lehrsatz a b n k 0 n n k a n k b k displaystyle a b n sum k 0 n n choose k a n k b k nbsp Multinomialtheorem i 1 k a i n n 1 n k n n n 1 n k a 1 n 1 a 2 n 2 a k n k displaystyle left sum i 1 k a i right n sum n 1 ldots n k n n choose n 1 ldots n k cdot a 1 n 1 cdot a 2 n 2 cdots a k n k nbsp Ungleichungen bei Summen Bearbeiten Cauchy Schwarzsche Ungleichung i 1 n a i b i 2 i 1 n a i 2 i 1 n b i 2 displaystyle left sum i 1 n a i cdot b i right 2 leq left sum i 1 n a i 2 right cdot left sum i 1 n b i 2 right nbsp fur alle a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp und b 1 b n displaystyle b 1 ldots b n nbsp Tschebyscheff Ungleichungen n i 1 n a i b i i 1 n a i i 1 n b i displaystyle n cdot left sum i 1 n a i cdot b i right geq left sum i 1 n a i right cdot left sum i 1 n b i right nbsp fur alle a 1 a n displaystyle a 1 geq ldots geq a n nbsp und b 1 b n displaystyle b 1 geq ldots geq b n nbsp n i 1 n a i b i i 1 n a i i 1 n b i displaystyle n cdot left sum i 1 n a i cdot b i right leq left sum i 1 n a i right cdot left sum i 1 n b i right nbsp fur alle a 1 a n displaystyle a 1 geq ldots geq a n nbsp und b 1 b n displaystyle b 1 leq ldots leq b n nbsp Minkowski Ungleichung i 1 n a i b i p 1 p i 1 n a i p 1 p i 1 n b i p 1 p displaystyle left sum i 1 n a i b i p right 1 p leq left sum i 1 n a i p right 1 p left sum i 1 n b i p right 1 p nbsp fur alle a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp und b 1 b n displaystyle b 1 ldots b n nbsp sowie p 1 displaystyle p geq 1 nbsp Holder Ungleichung i 1 n a i b i i 1 n a i p 1 p i 1 n b i q 1 q displaystyle sum i 1 n a i cdot b i leq left sum i 1 n a i p right 1 p cdot left sum i 1 n b i q right 1 q nbsp fur alle a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp und b 1 b n displaystyle b 1 ldots b n nbsp sowie p q 1 displaystyle p q geq 1 nbsp mit 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp Jensensche Ungleichung f i 1 n a i b i i 1 n a i f b i displaystyle f left sum i 1 n a i cdot b i right leq sum i 1 n a i cdot f b i nbsp fur jede konvexe Funktion f displaystyle f nbsp a 1 a n 0 displaystyle a 1 ldots a n geq 0 nbsp mit a 1 a n 1 displaystyle a 1 ldots a n 1 nbsp und alle b 1 b n displaystyle b 1 ldots b n nbsp Literatur BearbeitenBronstein et al Taschenbuch der Mathematik 7 Auflage Harri Deutsch 2008 ISBN 978 3 8171 2007 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Formelsammlung Arithmetik amp oldid 236905712
