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Euler Klasse In der Mathematik genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und topologie ist

Euler-Klasse

In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und -topologie, ist die Euler-Klasse ein spezieller Typ von charakteristischen Klassen, die orientierbaren reellen Vektorbündeln zugeordnet wird. Sie wird nach Leonhard Euler benannt, weil sie im Fall des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit deren Euler-Charakteristik bestimmt.

Sie kann auf unterschiedliche (äquivalente) Weisen definiert werden: als Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen, als Pull-Back der Orientierungsklasse unter einem Schnitt oder als Bild der Pfaffschen Determinante unter dem Chern-Weil-Isomorphismus. Im Fall flacher Bündel gibt es weitere äquivalente Definitionen.

Grundidee und Motivation Bearbeiten

Die Euler-Klasse ist eine charakteristische Klasse, also eine topologische Invariante von orientierten Vektorbündeln: zwei isomorphe orientierte Vektorbündel haben dieselben Euler-Klassen. Im Falle differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bestimmt die Euler-Klasse des Tangentialbündels die Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit.

Die Euler-Klasse liefert ein Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen. Insbesondere liefert die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren, differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein Hindernis für die Existenz eines Vektorfeldes ohne Singularitäten.

Für einen auf einer Teilmenge des Basis-Raumes definierten nullstellenfreien Schnitt kann man eine relative Euler-Klasse definieren, diese liefert ein Hindernis für die Fortsetzbarkeit des Schnittes ohne Nullstellen auf die gesamte Basis.

Axiome Bearbeiten

Die (relative) Euler-Klasse wird durch folgende Axiome festgelegt.

Jedem orientierten, -dimensionalen reellen Vektorbündel mit einem nirgendwo verschwindenden Schnitt auf einer (möglicherweise leeren) Teilmenge wird ein Element

(bzw. falls ) zugeordnet, so dass

  • für jede stetige Abbildung gilt
  • für das tautologische komplexe Geradenbündel , aufgefasst als 2-dimensionales reelles Vektorbündel, ist ein Erzeuger von .

heißt die Euler-Klasse des Bündels , heißt die relative Euler-Klasse relativ zum Schnitt .

Definition als Obstruktionsklasse Bearbeiten

Für ein -dimensionales orientiertes Vektorbündel über der geometrischen Realisierung eines Simplizialkomplexes erhält man mittels Obstruktionstheorie die Obstruktionsklasse

für die Fortsetzung eines Schnittes im assoziierten Vektorbündel auf das -Skelett von .

Die Koeffizientengruppe

ist (durch die Orientierung) kanonisch isomorph zu und dieser Isomorphismus bildet auf die Euler-Klasse ab.

Definition mittels Orientierungsklasse Bearbeiten

Für ein orientiertes -dimensionales Vektorbündel und das Komplement des Null-Schnitts betrachten wir das Bild der Orientierungsklasse (Thom-Klasse)

in . Weil kontrahierbar ist, ist eine Homotopieäquivalenz und

ein Isomorphismus. Die Euler-Klasse ist definiert durch

Äquivalent kann man durch

für einen beliebigen Schnitt (zum Beispiel den Nullschnitt) definieren.

Falls einen Schnitt ohne Nullstellen hat, also gilt, folgt daraus .

Relative Euler-Klasse: Falls ein Schnitt ohne Nullstellen auf einer Teilmenge gegeben ist, dann kann man ihn zu einem Schnitt (evtl. mit Nullstellen) fortsetzen und definiert dann

Definition über Chern-Weil-Theorie Bearbeiten

Wir betrachten Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Die Konstruktion mittels Chern-Weil-Theorie liefert (nur) das Bild der Euler-Klasse in bzw. der relativen Euler-Klasse in , insbesondere liefert sie die Nullklasse für Vektorbündel ungerader Dimension.

Für ein orientiertes Vektorbündel der Dimension betrachtet man das assoziierte -Prinzipalbündel (das Rahmenbündel) .

Für ein -Prinzipalbündel mit einer Zusammenhangsform ist die Euler-Klasse das Bild der durch

definierten Pfaffschen Determinante unter dem Chern-Weil-Homomorphismus

also die von der mit Hilfe der Krümmungsform des Prinzipalbündels definierten Differentialform

repräsentierte De-Rham-Kohomologie-Klasse. Man kann zeigen, dass die Euler-Klasse nicht von der Wahl der Zusammenhangsform abhängt und dass sie im Bild von liegt.

Die Übereinstimmung der so definierten Euler-Klasse mit der oben topologisch definierten ist der Inhalt des 1943 von Allendoerfer und Weil (und mit einem intrinsischen Beweis 1944 von Chern) bewiesenen verallgemeinerten Satzes von Gauß-Bonnet.

Relative Euler-Klasse: Es sei ein Schnitt ohne Nullstellen über einer Untermannigfaltigkeit . (Wir nehmen an, dass sich der Schnitt auf eine offene Umgebung von fortsetzen lässt.) Dann gibt es eine Zusammenhangsform , deren Krümmungsform erfüllt. Insbesondere definiert eine relative Kohomologieklasse .

Euler-Klasse von SL(n,R)-Prinzipalbündeln Bearbeiten

Unter den Isomorphismen

entspricht die Pfaffsche Determinante einer Kohomologieklasse in der Kohomologie des klassifizierenden Raumes , der Euler-Klasse des universellen Bündels . Zu jedem -Bündel kann man also mittels der klassifizierenden Abbildung die Euler-Klasse

definieren. Diese stimmt mit der Euler-Klasse des assoziierten Vektorbündels überein.

Euler-Klasse von Sphärenbündeln Bearbeiten

Die Euler-Klasse kann für beliebige Sphärenbündel definiert werden.

Im Fall des Einheitssphärenbündels eines Riemannschen Vektorbündels erhält man die oben definierte Euler-Klasse des Vektorbündels.

Eigenschaften Bearbeiten

Euler-Klasse flacher Bündel Bearbeiten

Simpliziale Definition Bearbeiten

Es sei ein flaches Vektorbündel über der geometrischen Realisierung eines Simplizialkomplexes mit -Simplizes .. Weil Simplizes kontrahierbar sind, ist das Bündel trivial über jedem Simplex. Zu beliebig gewählten kann man also durch affine Fortsetzung einen Schnitt konstruieren. Für generische hat dieser Schnitt keine Nullstellen auf dem -Skelett, höchstens eine Nullstelle pro -Simplex und ist transversal zum Nullschnitt. Dann definieren wir einen simplizialen -Kozykel durch

Man kann zeigen, dass ein Kozykel ist und sein Wert auf Zykeln nicht vom gewählten Schnitt abhängt. Die von repräsentierte Kohomologieklasse ist die Euler-Klasse des flachen Bündels.

Flache SL(2,R)-Bündel Bearbeiten

Wegen hat man die universelle Überlagerung

diese ist eine zentrale Erweiterung und wird deshalb durch eine Kohomologieklasse repräsentiert. Diese ist die universelle Euler-Klasse für flache -Bündel, d. h. für ein flaches Bündel mit Holonomie-Darstellung erhält man

wobei die klassifizierende Abbildung der universellen Überlagerung ist.

Flache Kreisbündel Bearbeiten

Es bezeichne die Gruppe der orientierungserhaltenden Homöomorphismen des Kreises. Ihre universelle Überlagerung ist . Die ganzen Zahlen wirken durch Translationen auf und man erhält eine exakte Sequenz

Die zugehörige Gruppenkohomologie-Klasse ist die universelle Euler-Klasse für flache -Bündel.

Eine explizite Formel wurde von Jekel angegeben: die universelle Euler-Klasse wird durch den sogenannten Orientierungs-Kozykel repräsentiert:

Der Orientierungs-Kozykel repräsentiert dann auch für alle Untergruppen die universelle Euler-Klasse für flache -Bündel. Dies gilt insbesondere für flache -Bündel: man verwende die Wirkung von auf durch gebrochen-lineare Transformationen.

Literatur Bearbeiten

  • John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
  • Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978, ISBN 3-540-08663-3
  • Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
  • Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
  • Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
  • Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Milnor-Stasheff (op.cit.), Theorem 12.5
  2. Shiing-Shen Chern: On the curvatura integra in a Riemannian manifold. In: Annals of Mathematics, 46 (4), 1945, S. 674–684.
  3. Sharafutdinov (op.cit.), Kapitel 2
  4. Bott-Tu (op.cit.), Kapitel 11
  5. Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.1
  6. Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.2
  7. Benedetti-Petronio (op.cit.), Proposition F.4.4 und F.4.3
  8. Bucher-Karlsson (op.cit.), Abschnitt 3.1.4
  9. Solomon M. Jekel: A simplicial formula and bound for the Euler class. In: Israel J. Math., 66, 1989, no. 1-3, S. 247–259.
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In der Mathematik genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und topologie ist die Euler Klasse ein spezieller Typ von charakteristischen Klassen die orientierbaren reellen Vektorbundeln zugeordnet wird Sie wird nach Leonhard Euler benannt weil sie im Fall des Tangentialbundels einer Mannigfaltigkeit deren Euler Charakteristik bestimmt Sie kann auf unterschiedliche aquivalente Weisen definiert werden als Hindernis fur die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen als Pull Back der Orientierungsklasse unter einem Schnitt oder als Bild der Pfaffschen Determinante unter dem Chern Weil Isomorphismus Im Fall flacher Bundel gibt es weitere aquivalente Definitionen Inhaltsverzeichnis 1 Grundidee und Motivation 2 Axiome 3 Definition als Obstruktionsklasse 4 Definition mittels Orientierungsklasse 5 Definition uber Chern Weil Theorie 6 Euler Klasse von SL n R Prinzipalbundeln 7 Euler Klasse von Spharenbundeln 8 Eigenschaften 9 Euler Klasse flacher Bundel 9 1 Simpliziale Definition 9 2 Flache SL 2 R Bundel 9 3 Flache Kreisbundel 10 Literatur 11 Weblinks 12 EinzelnachweiseGrundidee und Motivation BearbeitenDie Euler Klasse ist eine charakteristische Klasse also eine topologische Invariante von orientierten Vektorbundeln zwei isomorphe orientierte Vektorbundel haben dieselben Euler Klassen Im Falle differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bestimmt die Euler Klasse des Tangentialbundels die Euler Charakteristik der Mannigfaltigkeit Die Euler Klasse liefert ein Hindernis fur die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen Insbesondere liefert die Euler Charakteristik einer geschlossenen orientierbaren differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein Hindernis fur die Existenz eines Vektorfeldes ohne Singularitaten Fur einen auf einer Teilmenge des Basis Raumes definierten nullstellenfreien Schnitt kann man eine relative Euler Klasse definieren diese liefert ein Hindernis fur die Fortsetzbarkeit des Schnittes ohne Nullstellen auf die gesamte Basis Axiome BearbeitenDie relative Euler Klasse wird durch folgende Axiome festgelegt Jedem orientierten n displaystyle n nbsp dimensionalen reellen Vektorbundel E X displaystyle E to X nbsp mit einem nirgendwo verschwindenden Schnitt s Y E displaystyle s colon Y to E nbsp auf einer moglicherweise leeren Teilmenge Y X displaystyle Y subset X nbsp wird ein Element e E s H n X Y Z displaystyle e E s in H n X Y mathbb Z nbsp bzw e E H n X Z displaystyle e E in H n X mathbb Z nbsp falls Y displaystyle Y emptyset nbsp zugeordnet so dass fur jede stetige Abbildung f X Y X Y displaystyle f colon X prime Y prime to X Y nbsp gilt e f E f s f e E s displaystyle e f E f s f e E s nbsp e E 1 E 2 s 0 e E 1 s e E 2 displaystyle e E 1 oplus E 2 s oplus 0 e E 1 s cup e E 2 nbsp fur das tautologische komplexe Geradenbundel g 1 C P 1 displaystyle gamma 1 to mathbb C P 1 nbsp aufgefasst als 2 dimensionales reelles Vektorbundel ist e g 1 H 2 C P 1 Z displaystyle e gamma 1 in H 2 mathbb C P 1 mathbb Z nbsp ein Erzeuger von H 2 C P 1 Z Z displaystyle H 2 mathbb C P 1 mathbb Z simeq mathbb Z nbsp e E H n X Z displaystyle e E in H n X mathbb Z nbsp heisst die Euler Klasse des Bundels E displaystyle E nbsp e E s H n X Y Z displaystyle e E s in H n X Y mathbb Z nbsp heisst die relative Euler Klasse relativ zum Schnitt s displaystyle s nbsp Definition als Obstruktionsklasse BearbeitenFur ein n displaystyle n nbsp dimensionales orientiertes Vektorbundel E K displaystyle E to vert K vert nbsp uber der geometrischen Realisierung K displaystyle vert K vert nbsp eines Simplizialkomplexes K displaystyle K nbsp erhalt man mittels Obstruktionstheorie die Obstruktionsklasse o n E H n K p n 1 V 1 R n displaystyle o n E in H n K pi n 1 V 1 mathbb R n nbsp fur die Fortsetzung eines Schnittes im assoziierten Vektorbundel auf das n displaystyle n nbsp Skelett von K displaystyle K nbsp Die Koeffizientengruppe p n 1 V 1 R n p n 1 R n 0 H n 1 R n 0 Z H n R n R n 0 Z displaystyle pi n 1 V 1 mathbb R n simeq pi n 1 mathbb R n 0 simeq H n 1 mathbb R n 0 mathbb Z simeq H n mathbb R n mathbb R n 0 mathbb Z nbsp ist durch die Orientierung kanonisch isomorph zu Z displaystyle mathbb Z nbsp und dieser Isomorphismus bildet o n E displaystyle o n E nbsp auf die Euler Klasse e E H n K Z displaystyle e E in H n K mathbb Z nbsp ab 1 Definition mittels Orientierungsklasse BearbeitenFur ein orientiertes n displaystyle n nbsp dimensionales Vektorbundel p E M displaystyle p colon E to M nbsp und E 0 E displaystyle E 0 subset E nbsp das Komplement des Null Schnitts betrachten wir das Bild u E displaystyle u mid E nbsp der Orientierungsklasse Thom Klasse u H n E E 0 Z displaystyle u in H n E E 0 mathbb Z nbsp in H n E Z displaystyle H n E mathbb Z nbsp Weil R n displaystyle mathbb R n nbsp kontrahierbar ist ist p E M displaystyle p colon E to M nbsp eine Homotopieaquivalenz und p H M Z H E Z displaystyle p colon H M mathbb Z to H E mathbb Z nbsp ein Isomorphismus Die Euler Klasse ist definiert durch e E p 1 u E H n M Z displaystyle e E p 1 u mid E in H n M mathbb Z nbsp Aquivalent kann man e E displaystyle e E nbsp durch e E s u E displaystyle e E s u mid E nbsp fur einen beliebigen Schnitt zum Beispiel den Nullschnitt s M E displaystyle s colon M to E nbsp definieren Falls E M displaystyle E to M nbsp einen Schnitt ohne Nullstellen hat also s M E 0 displaystyle s M subset E 0 nbsp gilt folgt daraus e E 0 displaystyle e E 0 nbsp Relative Euler Klasse Falls ein Schnitt ohne Nullstellen s 0 Y E displaystyle s 0 colon Y to E nbsp auf einer Teilmenge Y M displaystyle Y subset M nbsp gegeben ist dann kann man ihn zu einem Schnitt evtl mit Nullstellen s M Y E E 0 displaystyle s colon M Y to E E 0 nbsp fortsetzen und definiert dann e E s 0 s u H n M Y Z displaystyle e E s 0 s u in H n M Y mathbb Z nbsp Definition uber Chern Weil Theorie BearbeitenWir betrachten Vektorbundel uber einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp Die Konstruktion mittels Chern Weil Theorie liefert nur das Bild der Euler Klasse in H M R displaystyle H M mathbb R nbsp bzw der relativen Euler Klasse in H M Y R displaystyle H M Y mathbb R nbsp insbesondere liefert sie die Nullklasse fur Vektorbundel ungerader Dimension Fur ein orientiertes Vektorbundel der Dimension n 2 k displaystyle n 2k nbsp betrachtet man das assoziierte S O 2 k displaystyle SO 2k nbsp Prinzipalbundel das Rahmenbundel P M displaystyle P to M nbsp Fur ein S O 2 k displaystyle SO 2k nbsp Prinzipalbundel P M displaystyle P to M nbsp mit einer Zusammenhangsform w W 1 P s o 2 k displaystyle omega in Omega 1 P so 2k nbsp ist die Euler Klasse e P H d R 2 k M H 2 k M R displaystyle e P in H dR 2k M simeq H 2k M mathbb R nbsp das Bild der durch P f A A 1 2 k k s S 2 k s i g n s a s 1 s 2 a s 2 k 1 s 2 k displaystyle Pf A ldots A frac 1 2 k k sum sigma in S 2k sign sigma a sigma 1 sigma 2 ldots a sigma 2k 1 sigma 2k nbsp definierten Pfaffschen Determinante P f I n s o 2 k displaystyle Pf in I n so 2k nbsp unter dem Chern Weil Homomorphismus I k s o 2 k H d R 2 k M displaystyle I k so 2k to H dR 2k M nbsp also die von der mit Hilfe der Krummungsform W W 2 M displaystyle Omega in Omega 2 M nbsp des Prinzipalbundels definierten Differentialform 1 2 k p 2 k P f W X 1 X 2 k 1 2 p 2 k 1 k s S 2 k sign s P f W X s 1 X s 2 W X s 2 k 1 X s 2 k displaystyle frac 1 2 k pi 2k Pf Omega X 1 dots X 2k frac 1 2 pi 2k frac 1 k sum sigma in mathfrak S 2k operatorname sign sigma Pf Omega X sigma 1 X sigma 2 dots Omega X sigma 2k 1 X sigma 2k nbsp reprasentierte De Rham Kohomologie Klasse Man kann zeigen dass die Euler Klasse nicht von der Wahl der Zusammenhangsform W displaystyle Omega nbsp abhangt und dass sie im Bild von H 2 k M Z displaystyle H 2k M mathbb Z nbsp liegt Die Ubereinstimmung der so definierten Euler Klasse mit der oben topologisch definierten ist der Inhalt des 1943 von Allendoerfer und Weil und mit einem intrinsischen Beweis 1944 von Chern bewiesenen verallgemeinerten Satzes von Gauss Bonnet 2 Relative Euler Klasse 3 Es sei s Y E displaystyle s colon Y to E nbsp ein Schnitt ohne Nullstellen uber einer Untermannigfaltigkeit Y M displaystyle Y subset M nbsp Wir nehmen an dass sich der Schnitt auf eine offene Umgebung von Y displaystyle Y nbsp fortsetzen lasst Dann gibt es eine Zusammenhangsform w displaystyle omega nbsp deren Krummungsform P f W Y 0 displaystyle Pf Omega mid Y equiv 0 nbsp erfullt Insbesondere definiert P f W displaystyle Pf Omega nbsp eine relative Kohomologieklasse e E s H 2 k M Y Z displaystyle e E s in H 2k M Y mathbb Z nbsp Euler Klasse von SL n R Prinzipalbundeln BearbeitenUnter den Isomorphismen I k s o 2 k H 2 k B S O 2 k H 2 k B S L 2 k R displaystyle I k so 2k simeq H 2k BSO 2k simeq H 2k BSL 2k mathbb R nbsp entspricht die Pfaffsche Determinante einer Kohomologieklasse e g 2 k displaystyle e gamma 2k nbsp in der Kohomologie des klassifizierenden Raumes B S L 2 k R displaystyle BSL 2k mathbb R nbsp der Euler Klasse des universellen Bundels g 2 k B S L 2 k R displaystyle gamma 2k to BSL 2k mathbb R nbsp Zu jedem S L 2 k R displaystyle SL 2k mathbb R nbsp Bundel P M displaystyle P to M nbsp kann man also mittels der klassifizierenden Abbildung f M B S L 2 k R displaystyle f colon M to BSL 2k mathbb R nbsp die Euler Klasse e P f e g 2 k H 2 k M displaystyle e P f e gamma 2k in H 2k M nbsp definieren Diese stimmt mit der Euler Klasse des assoziierten Vektorbundels uberein Euler Klasse von Spharenbundeln BearbeitenDie Euler Klasse kann fur beliebige Spharenbundel definiert werden 4 Im Fall des Einheitsspharenbundels eines Riemannschen Vektorbundels erhalt man die oben definierte Euler Klasse des Vektorbundels Eigenschaften BearbeitenDer kanonische Homomorphismus H n X Z H n X Z 2 Z displaystyle H n X mathbb Z to H n X mathbb Z 2 mathbb Z nbsp bildet die Euler Klasse auf die n te Stiefel Whitney Klasse w n H n X Z 2 Z displaystyle w n in H n X mathbb Z 2 mathbb Z nbsp ab Das Cup Produkt e E e E displaystyle e E cup e E nbsp ist die hochste Pontrjagin Klasse p n H 2 n X Z displaystyle p n in H 2n X mathbb Z nbsp Fur geschlossene orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeiten M displaystyle M nbsp mit Tangentialbundel T M displaystyle TM nbsp und Fundamentalklasse M displaystyle left M right nbsp ist e T M M x M displaystyle langle e TM left M right rangle chi M nbsp die Euler Charakteristik von M displaystyle M nbsp Es sei E displaystyle overline E nbsp das Vektorbundel E displaystyle E nbsp mit der umgekehrten Orientierung dann ist e E e E displaystyle e overline E e E nbsp Insbesondere gilt fur Vektorbundel ungerader Dimension 2 e E 0 displaystyle 2e E 0 nbsp Fur geschlossene orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension verschwindet die Euler Charakteristik Fur die Whitney Summe und das kartesische Produkt von Vektorbundeln gilt e E 1 E 2 e E 1 e E 2 e E 1 E 2 e E 1 e E 2 displaystyle e E 1 oplus E 2 e E 1 cup e E 2 e E 1 times E 2 e E 1 times e E 2 nbsp wobei displaystyle cup nbsp das Cup Produkt und displaystyle times nbsp das Kreuzprodukt bezeichnet Fur einen generischen Schnitt s M E displaystyle s colon M to E nbsp eines n displaystyle n nbsp dimensionalen orientierten Vektorbundels uber einer m displaystyle m nbsp dimensionalen geschlossenen orientierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist das Bild der Fundamentalklasse Z displaystyle left Z right nbsp der Nullstellenmenge Z x X s x 0 displaystyle Z left x in X s x 0 right nbsp in H m n M Z displaystyle H m n M mathbb Z nbsp das Poincare Dual von e E H n M Z displaystyle e E in H n M mathbb Z nbsp Im Fall des Tangentialbundels E T M displaystyle E TM nbsp ergibt sich daraus der Satz von Poincare Hopf Wenn N Y displaystyle N Y nbsp das Normalenbundel einer geschlossenen orientierbaren Untermannigfaltigkeit Y M displaystyle Y subset M nbsp ist dann ist lt e N Y Y gt displaystyle lt e N Y left Y right gt nbsp die Selbstschnittzahl von Y displaystyle Y nbsp Wenn s X E displaystyle s colon X to E nbsp ein Schnitt ohne Nullstellen ist dann ist e E s Y 0 H n X Y Z displaystyle e E s vert Y 0 in H n X Y mathbb Z nbsp fur alle Y X displaystyle Y subset X nbsp Gysin Sequenz Fur ein n displaystyle n nbsp dimensionales orientiertes Vektorbundel E B displaystyle E to B nbsp mit E 0 E displaystyle E 0 subset E nbsp die Menge der von Null verschiedenen Vektoren vermittelt das Cup Produkt mit der Euler Klasse eine exakte Sequenz H i B Z H i n B H i n E 0 H i 1 B displaystyle ldots to H i B mathbb Z to H i n B to H i n E 0 to H i 1 B to ldots nbsp wobei die anderen beiden Abbildungen p E 0 displaystyle pi vert E 0 nbsp und die Integration entlang der Faser sind Euler Klasse flacher Bundel BearbeitenSimpliziale Definition Bearbeiten Es sei p E K displaystyle p colon E to vert K vert nbsp ein flaches Vektorbundel uber der geometrischen Realisierung K displaystyle vert K vert nbsp eines Simplizialkomplexes K displaystyle K nbsp mit 0 displaystyle 0 nbsp Simplizes v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n nbsp Weil Simplizes kontrahierbar sind ist das Bundel trivial uber jedem Simplex Zu beliebig gewahlten s v i p 1 v i displaystyle s v i in p 1 v i nbsp kann man also durch affine Fortsetzung einen Schnitt s K E displaystyle s colon vert K vert to E nbsp konstruieren 5 Fur generische s v i displaystyle s v i nbsp hat dieser Schnitt keine Nullstellen auf dem n 1 displaystyle n 1 nbsp Skelett hochstens eine Nullstelle pro n displaystyle n nbsp Simplex und ist transversal zum Nullschnitt 6 Dann definieren wir einen simplizialen n displaystyle n nbsp Kozykel E displaystyle mathcal E nbsp durch E s 0 displaystyle mathcal E sigma 0 nbsp falls s s displaystyle s vert sigma nbsp keine Nullstelle hat E s 1 displaystyle mathcal E sigma 1 nbsp falls s p 0 displaystyle s p 0 nbsp fur ein p s displaystyle p in sigma nbsp und falls fur eine positive Basis t 1 t n displaystyle t 1 ldots t n nbsp von T p K displaystyle T p K nbsp auch t 1 t n d p s t 1 d p s t n displaystyle t 1 ldots t n d p s t 1 ldots d p s t n nbsp eine positive Basis von T s p E displaystyle T s p E nbsp ist E s 1 displaystyle mathcal E sigma 1 nbsp andernfalls Man kann zeigen dass E displaystyle mathcal E nbsp ein Kozykel ist und sein Wert auf Zykeln nicht vom gewahlten Schnitt abhangt 7 Die von E displaystyle mathcal E nbsp reprasentierte Kohomologieklasse ist die Euler Klasse e H n K Z displaystyle e in H n K mathbb Z nbsp des flachen Bundels Flache SL 2 R Bundel Bearbeiten Wegen p 1 S L 2 R Z displaystyle pi 1 SL 2 mathbb R simeq mathbb Z nbsp hat man die universelle Uberlagerung Z S L 2 R S L 2 R displaystyle mathbb Z to widetilde SL 2 mathbb R to SL 2 mathbb R nbsp diese ist eine zentrale Erweiterung und wird deshalb durch eine Kohomologieklasse E H 2 B S L 2 R d Z displaystyle E in H 2 BSL 2 mathbb R delta mathbb Z nbsp reprasentiert Diese ist die universelle Euler Klasse fur flache S L 2 R displaystyle SL 2 mathbb R nbsp Bundel 8 d h fur ein flaches Bundel P M displaystyle P to M nbsp mit Holonomie Darstellung r p 1 M S L 2 R displaystyle rho colon pi 1 M to SL 2 mathbb R nbsp erhalt man e P f B r E H 2 M Z displaystyle e P f B rho E in H 2 M mathbb Z nbsp wobei f M B p 1 M displaystyle f colon M to B pi 1 M nbsp die klassifizierende Abbildung der universellen Uberlagerung ist Flache Kreisbundel Bearbeiten Es bezeichne H o m e o S 1 displaystyle Homeo S 1 nbsp die Gruppe der orientierungserhaltenden Homoomorphismen des Kreises Ihre universelle Uberlagerung ist H o m e o S 1 f R R f x 1 f x 1 x R displaystyle widetilde Homeo S 1 left f colon mathbb R to mathbb R f x 1 f x 1 forall x in mathbb R right nbsp Die ganzen Zahlen wirken durch Translationen auf R displaystyle mathbb R nbsp und man erhalt eine exakte Sequenz Z H o m e o S 1 H o m e o S 1 displaystyle mathbb Z to widetilde Homeo S 1 to Homeo S 1 nbsp Die zugehorige Gruppenkohomologie Klasse E H 2 H o m e o S 1 Z displaystyle E in H 2 Homeo S 1 mathbb Z nbsp ist die universelle Euler Klasse fur flache H o m e o S 1 displaystyle Homeo S 1 nbsp Bundel Eine explizite Formel wurde von Jekel 9 angegeben die universelle Euler Klasse E R H 2 H o m e o S 1 R displaystyle E mathbb R in H 2 Homeo S 1 mathbb R nbsp wird durch den sogenannten Orientierungs Kozykel o C 2 H o m e o S 1 R displaystyle o in C 2 Homeo S 1 mathbb R nbsp reprasentiert o g 0 g 1 g 2 1 2 displaystyle o g 0 g 1 g 2 frac 1 2 nbsp falls g 0 1 g 1 1 g 2 1 displaystyle g 0 1 g 1 1 g 2 1 nbsp im Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind o g 0 g 1 g 2 0 displaystyle o g 0 g 1 g 2 0 nbsp falls mindestens zwei der Werte g 0 1 g 1 1 g 2 1 displaystyle g 0 1 g 1 1 g 2 1 nbsp ubereinstimmen o g 0 g 1 g 2 1 2 displaystyle o g 0 g 1 g 2 frac 1 2 nbsp falls g 0 1 g 1 1 g 2 1 displaystyle g 0 1 g 1 1 g 2 1 nbsp entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind Der Orientierungs Kozykel reprasentiert dann auch fur alle Untergruppen G H o m e o S 1 displaystyle G subset Homeo S 1 nbsp die universelle Euler Klasse fur flache G displaystyle G nbsp Bundel Dies gilt insbesondere fur flache P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp Bundel man verwende die Wirkung von P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp auf S 1 P 1 R displaystyle S 1 P 1 mathbb R nbsp durch gebrochen lineare Transformationen Literatur BearbeitenJohn W Milnor James D Stasheff Characteristic classes In Annals of Mathematics Studies No 76 Princeton University Press Princeton NJ University of Tokyo Press Tokyo 1974 Kapitel 9 Johan L Dupont Curvature and characteristic classes In Lecture Notes in Mathematics Vol 640 Springer Verlag Berlin New York 1978 ISBN 3 540 08663 3 Raoul Bott Loring W Tu Differential forms in algebraic topology In Graduate Texts in Mathematics 82 Springer Verlag New York Berlin 1982 ISBN 0 387 90613 4 Kapitel 11 Riccardo Benedetti Carlo Petronio Lectures on hyperbolic geometry Universitext Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 55534 X Kapitel F 4 Tammo tom Dieck Algebraic topology EMS Textbooks in Mathematics European Mathematical Society EMS Zurich 2008 ISBN 978 3 03719 048 7 Kapitel XI Alberto Candel Lawrence Conlon Foliations II In Graduate Studies in Mathematics 60 American Mathematical Society Providence RI 2003 ISBN 0 8218 0881 8 Kapitel 4 Weblinks BearbeitenVladimir Sharafutdinov Relative Euler class and the Gauss Bonnet theorem PDF Michelle Bucher Karlsson Characteristic classes and bounded cohomology PDF Kapitel 3 1 Yin Li The Gauss Bonnet Chern Theorem on Riemannian Manifolds arxiv 1111 4972Einzelnachweise Bearbeiten Milnor Stasheff op cit Theorem 12 5 Shiing Shen Chern On the curvatura integra in a Riemannian manifold In Annals of Mathematics 46 4 1945 S 674 684 Sharafutdinov op cit Kapitel 2 Bott Tu op cit Kapitel 11 Benedetti Petronio op cit Lemma F 4 1 Benedetti Petronio op cit Lemma F 4 2 Benedetti Petronio op cit Proposition F 4 4 und F 4 3 Bucher Karlsson op cit Abschnitt 3 1 4 Solomon M Jekel A simplicial formula and bound for the Euler class In Israel J Math 66 1989 no 1 3 S 247 259 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Euler Klasse amp oldid 202609485