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Croccos Wirbelsatz Der Wirbelsatz von Crocco oder die Crocco Gleichung 1 157ff ist ein 1922 von A Friedmann 2 und 1937 v

Croccos Wirbelsatz

Der Wirbelsatz von Crocco oder die Crocco-Gleichung:157ff ist ein 1922 von A. Friedmann und 1937 von Luigi Crocco aufgestellter physikalischen Satz aus der Strömungsmechanik. Er besagt, dass im konservativen Kraftfeld, wie dem Schwerefeld auf der Erde, eine wirbelfreie stationäre Strömung homentrop ist. Auf der anderen Seite folgt, dass nicht homentrope aber homenergetische stationäre Strömungen (mit homogener Energieverteilung) wirbelbehaftet sind.:152 Er stellt den Zusammenhang zwischen Verwirbelung und Entropie und somit zwischen Kinematik und Thermodynamik in einem Strömungsfeld her.

Aussage Bearbeiten

In einer stationären Strömung eines viskositätsfreien, und damit nicht-wärmeleitenden Gases gilt:

Hierin bezeichnen

wobei und s als Enthalpie und Entropie pro Masseneinheit eingehen (spezifische Größen).

Interpretation Bearbeiten

Oft kann man eine isoenergetische oder homenergetische Strömung mit annehmen. Ist die Strömung außerdem noch homentrop, so ist auch , und nach Croccos Wirbelsatz folgt

Im Allgemeinen folgt daraus

womit die Strömung rotations- bzw. wirbelfrei ist, was in einer Potentialströmung mit Geschwindigkeitspotential und

der Fall ist.

Croccos Wirbelsatz besagt also, dass rotationsfreie Strömungen homentrop sind und umgekehrt, wobei vorausgesetzt wird, dass sie stationär sind und Viskosität sowie Wärmeleitung vernachlässigbar sind.

Herleitung Bearbeiten

Die Formel für die Temperatur- und Druckabhängigkeit der Enthalpie wird umgestellt und das spezifische Volumen durch den Kehrwert der Dichte ersetzt::78

Ableitung nach einer kartesischen Koordinate , Multiplikation mit einem Vektor êi der Standardbasis und Summation der Ergebnisse liefert:151

oder koordinatenunabhängig mit dem Nabla-Operator 𝜵

In die substantielle Ableitung der Geschwindigkeit wird die Grassmann-Entwicklung eingearbeitet:

Die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik lauten mit diesen Ergebnissen

Darin ist ψ das Potential des konservativen Kraftfeldes mit Gradient , wo das Minuszeichen Konvention ist. In einer stationären Strömung entfällt der erste Term auf der linken Seite und Umstellung sowie Zusammenfassung liefert:

In stationärer und viskositätsfreier Strömung mit vernachlässigbarer Wärmeleitung ist die Summe in der großen Klammer im ganzen Strömungsfeld konstant womit ihr Gradient verschwindet, was in den croccoschen Wirbelsatz mündet:

In wirbelfreien Strömungen ist das Geschwindigkeitsfeld rotationsfrei () und somit das Strömungsfeld zugleich homentrop (). Umgekehrt ist eine stationäre homenergetische Strömung, die nicht homentrop ist, zwangsläufig wirbelbehaftet.:152:159

Gekrümmter Stoß in einer Hyperschallströmung Bearbeiten

Beim Durchgang durch einen gekrümmten Stoß, wie er in Hyperschallströmungen auftreten kann, wird die Entropie auf den einzelnen Stromlinien unterschiedlich erhöht. Hinter der Stoßfläche ist daher die Entropie nicht mehr homogen, und infolge des Croccoschen Wirbelsatzes kann die Strömung dort nicht mehr wirbelfrei sein.:152

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0.
  2. A. Friedmann: Ein Aufsatz über die Hydrodynamik komprimierbarer Flüssigkeiten. Petrograd 1922, S. 198 (russisch, e-heritage.ru [abgerufen am 22. August 2023] Originaltitel: Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости. Nachdruck 1934 unter Schriftleitung von Nikolai Kochin, erste Formel mit ).
  3. Luigi Crocco (Sohn von Gaetano Crocco): Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 17, Nr. 1, 1937, S. 1–7, doi:10.1002/zamm.19370170103.
  4. ↑ J. H. Spurk: Strömungslehre. Einführung in die Theorie der Strömungen. 8. überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2010, ISBN 978-3-642-13142-4, doi:10.1007/978-3-642-13143-1.
  5. Die Vernachlässigung der Reibungsspannungen zieht die Vernachlässigung der Wärmeleitung nach sich. Spurk, Strömungslehre (2010), S. 86
  6. siehe Spurk, Strömungslehre (2010), S. 150, und vergleiche Bernoulli-Gleichung#Erweiterte bernoullische Druckgleichung viskositätsfreier, idealer Gase

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Wirbelsatz von Crocco oder die Crocco Gleichung 1 157ff ist ein 1922 von A Friedmann 2 und 1937 von Luigi Crocco 3 aufgestellter physikalischen Satz aus der Stromungsmechanik Er besagt dass im konservativen Kraftfeld wie dem Schwerefeld auf der Erde eine wirbelfreie stationare Stromung homentrop ist Auf der anderen Seite folgt dass nicht homentrope aber homenergetische stationare Stromungen mit homogener Energieverteilung wirbelbehaftet sind 4 152 Er stellt den Zusammenhang zwischen Verwirbelung und Entropie und somit zwischen Kinematik und Thermodynamik in einem Stromungsfeld her Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Interpretation 3 Herleitung 4 Gekrummter Stoss in einer Hyperschallstromung 5 Einzelnachweise 6 LiteraturAussage BearbeitenIn einer stationaren Stromung eines viskositatsfreien und damit nicht warmeleitenden Gases 5 gilt v rot v grad h 0 T grad s displaystyle vec v times operatorname rot vec v operatorname grad h 0 T operatorname grad s nbsp Hierin bezeichnen v displaystyle vec v nbsp das Geschwindigkeitsfeld der Stromung und rot v displaystyle operatorname rot vec v nbsp dessen Rotation h 0 h v 2 2 displaystyle h 0 h v 2 2 nbsp die Ruheenthalpie des Gases und grad h 0 displaystyle operatorname grad h 0 nbsp deren Gradient T die Temperatur s die Entropie wobei h 0 displaystyle h 0 nbsp und s als Enthalpie und Entropie pro Masseneinheit eingehen spezifische Grossen Interpretation BearbeitenOft kann man eine isoenergetische oder homenergetische Stromung mit grad h 0 0 displaystyle operatorname grad h 0 0 nbsp annehmen Ist die Stromung ausserdem noch homentrop so ist auch grad s 0 displaystyle operatorname grad s 0 nbsp und nach Croccos Wirbelsatz folgt v rot v 0 displaystyle vec v times operatorname rot vec v 0 nbsp Im Allgemeinen folgt daraus rot v 0 displaystyle operatorname rot vec v 0 nbsp womit die Stromung rotations bzw wirbelfrei ist was in einer Potentialstromung mit Geschwindigkeitspotential F displaystyle Phi nbsp und v grad F displaystyle vec v operatorname grad Phi nbsp der Fall ist Croccos Wirbelsatz besagt also dass rotationsfreie Stromungen homentrop sind und umgekehrt wobei vorausgesetzt wird dass sie stationar sind und Viskositat sowie Warmeleitung vernachlassigbar sind Herleitung BearbeitenDie Formel fur die Temperatur und Druckabhangigkeit der Enthalpie T d s d h v d p displaystyle T mathrm d s mathrm d h v mathrm d p nbsp wird umgestellt und das spezifische Volumen v displaystyle v nbsp durch den Kehrwert der Dichte r displaystyle rho nbsp ersetzt 4 78 1 r d p T d s d h displaystyle frac 1 rho mathrm d p T mathrm d s mathrm d h nbsp Ableitung nach einer kartesischen Koordinate x i displaystyle x i nbsp Multiplikation mit einem Vektor ei der Standardbasis und Summation der Ergebnisse liefert 4 151 1 r i 1 3 p x i e i T i 1 3 s x i e i i 1 3 h x i e i displaystyle frac 1 rho sum i 1 3 frac partial p partial x i hat e i T sum i 1 3 frac partial s partial x i hat e i sum i 1 3 frac partial h partial x i hat e i nbsp oder koordinatenunabhangig mit dem Nabla Operator 1 r p T s h displaystyle frac 1 rho nabla p T nabla s nabla h nbsp In die substantielle Ableitung v v t v v v t g r a d v v displaystyle dot vec v tfrac partial vec v partial t vec v cdot nabla vec v tfrac partial vec v partial t mathrm grad vec v cdot vec v nbsp der Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp wird die Grassmann Entwicklung eingearbeitet v v t 1 2 g r a d v v v r o t v v t 1 2 v v v v displaystyle dot vec v frac partial vec v partial t frac 1 2 mathrm grad vec v cdot vec v vec v times mathrm rot vec v frac partial vec v partial t frac 1 2 nabla vec v cdot vec v vec v times nabla times vec v nbsp Die Euler Gleichungen der Stromungsmechanik lauten mit diesen Ergebnissen v t 1 2 v v v v 1 r p k T s h ps displaystyle frac partial vec v partial t frac 1 2 nabla vec v cdot vec v vec v times nabla times vec v frac 1 rho nabla p vec k T nabla s nabla h nabla psi nbsp Darin ist ps das Potential des konservativen Kraftfeldes mit Gradient k grad ps ps displaystyle vec k operatorname grad psi nabla psi nbsp wo das Minuszeichen Konvention ist In einer stationaren Stromung entfallt der erste Term auf der linken Seite und Umstellung sowie Zusammenfassung liefert v v 1 2 v v h ps T s displaystyle vec v times nabla times vec v nabla left frac 1 2 vec v cdot vec v h psi right T nabla s nbsp In stationarer und viskositatsfreier Stromung mit vernachlassigbarer Warmeleitung ist die Summe in der grossen Klammer im ganzen Stromungsfeld konstant 6 womit ihr Gradient verschwindet was in den croccoschen Wirbelsatz mundet v v T s v rot v T grad s displaystyle vec v times nabla times vec v T nabla s quad leftrightarrow quad vec v times operatorname rot vec v T operatorname grad s nbsp In wirbelfreien Stromungen ist das Geschwindigkeitsfeld rotationsfrei rot v 0 displaystyle operatorname rot vec v vec 0 nbsp und somit das Stromungsfeld zugleich homentrop grad s 0 displaystyle operatorname grad s vec 0 nbsp Umgekehrt ist eine stationare homenergetische Stromung die nicht homentrop ist zwangslaufig wirbelbehaftet 4 152 1 159Gekrummter Stoss in einer Hyperschallstromung BearbeitenBeim Durchgang durch einen gekrummten Stoss wie er in Hyperschallstromungen auftreten kann wird die Entropie auf den einzelnen Stromlinien unterschiedlich erhoht Hinter der Stossflache ist daher die Entropie nicht mehr homogen und infolge des Croccoschen Wirbelsatzes kann die Stromung dort nicht mehr wirbelfrei sein 4 152Einzelnachweise Bearbeiten a b F Durst Grundlagen der Stromungsmechanik Springer 2006 ISBN 3 540 31323 0 A Friedmann Ein Aufsatz uber die Hydrodynamik komprimierbarer Flussigkeiten Petrograd 1922 S 198 russisch e heritage ru abgerufen am 22 August 2023 Originaltitel Opyt gidromehaniki szhimaemoj zhidkosti Nachdruck 1934 unter Schriftleitung von Nikolai Kochin erste Formel mit grad T 0 displaystyle operatorname grad T vec 0 nbsp Luigi Crocco Sohn von Gaetano Crocco Eine neue Stromfunktion fur die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation In Z Angew Math Mech Band 17 Nr 1 1937 S 1 7 doi 10 1002 zamm 19370170103 a b c d e J H Spurk Stromungslehre Einfuhrung in die Theorie der Stromungen 8 uberarbeitete Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2010 ISBN 978 3 642 13142 4 doi 10 1007 978 3 642 13143 1 Die Vernachlassigung der Reibungsspannungen zieht die Vernachlassigung der Warmeleitung nach sich Spurk Stromungslehre 2010 S 86 siehe Spurk Stromungslehre 2010 S 150 und vergleiche Bernoulli Gleichung Erweiterte bernoullische Druckgleichung viskositatsfreier idealer GaseLiteratur BearbeitenKarl Wieghardt Theoretische Stromungslehre Universitatsverlag Gottingen Gottingen 2005 ISBN 3 938616 33 4 doi 10 17875 gup2005 72 uni goettingen de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Croccos Wirbelsatz amp oldid 239064423