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Winkeldifferenz en sind Gegenstand spezieller Messungen und Rechenverfahren in verschiedensten Fachgebieten Derartige Me

Winkeldifferenz

Winkeldifferenzen sind Gegenstand spezieller Messungen und Rechenverfahren in verschiedensten Fachgebieten. Derartige Methoden finden sich in Naturwissenschaften wie Astronomie, Physik, Geodäsie oder Geologie, aber auch in technischen Anwendungen wie der Navigation und der Instrumentenkunde.

Die in solchen Verfahren gemessenen bzw. rechnerisch behandelten Winkeldifferenzen sind in vielen Fällen nicht durch direkte Winkelmessung zu erhalten, sondern Gegenstand

  • eigens entwickelter Messinstrumente (zum Beispiel Heliometer oder optische Mikrometer)
  • spezieller Auswertemethoden (z. B. Methode gleicher Höhen), wo die Winkeldifferenzen erst aus der Kombination mehrerer Schritte resultieren,
  • oder rechnerischer Modellierungen, die auch in verschiedenen Ebenen gemessene Winkel verarbeiten.

Im Folgenden werden einige Anwendungen beispielhaft aufgezählt und ihre Besonderheiten kurz behandelt.

Geodäsie, Navigation Bearbeiten

Für Richtungsbestimmungen auf der Erde oder am Himmel sind zwar meist die Winkel selbst Gegenstand der Messung, aber in speziellen Fällen auch ihre Differenzen bzw. örtlichen oder zeitlichen Änderungen. Viele dieser Differenzmessungen erfolgen mit speziellen Optiken oder hochpräzisen Mikrometern.

  • Die Entfernungsmessung mit Scherenfernrohren beruht auf Winkelmessung zwischen den beiden Zielfernrohren des Messgeräts, die technisch als Winkeldifferenz je zweier Spiegelstellungen realisiert wird. Die optische Entfernungsmessung hat dasselbe Prinzip, nur dass die Messbasis eine horizontale oder vertikale Messlatte ist und der Winkel bzw. seine Änderung mit einem Theodolit gemessen wird.
  • Der geodätische Rückwärtsschnitt – die Bestimmung des eigenen Standortes aus drei Richtungen zu weit entfernten Zielpunkten – entspricht der geometrischen Bestimmung von Peripheriewinkeln. Diese werden aber nicht direkt, sondern aus Richtungsdifferenzen bestimmt. Die primär gemessenen Richtungen sind eigentlich Winkel am Teilkreis des Theodolits zwischen dessen Nullpunkt und der Zielrichtung.
  • Die Genauigkeit dieser Punktbestimmungen – die auf Kreisen kritisch ist – lässt sich einfach aus den Winkeldifferenzen abschätzen, die bei rechnerischer Verschiebung des eingemessenen Punktes um einige Zentimeter auftreten.
  • Die Standlinienmethode der Nautik benutzt für jeden der zwei oder drei beobachteten Sterne die Differenz zwischen dem beobachteten Höhenwinkel und dem für den vermuteten Standort gerechneten Höhenwinkel.
  • Ähnliches erfolgt bei der astronomischen Ortsbestimmung mit einem Prismenastrolab oder einem Zirkumzenital.
  • In der Ausgleichsrechnung arbeiten Geodäten mit Strecken- oder Winkeldifferenzen zwischen jeder Messung und dem anfänglichen geometrischen Modell des Vermessungsnetzes. Die Quadrate dieser Differenzen werden nach der Gaußschen Methode minimiert.
  • Für Präzisionsmessungen und in der Instrumentenkunde wird die Reduktion der gemessenen Richtungen wegen Instrumentalfehlern oder der Refraktion als Winkeldifferenz angesetzt, bei der differentiellen Refraktion verschiedener Lichtfarben sogar als Differenz von Winkeldifferenzen.
  • Weitere Differenzmethoden finden sich z. B. bei Vermessungen mit Winkelprismen, beim Einfluchten in eine Gerade (Alignment), beim Planplattenmikrometer, bei der Deckpeilung und bei der Versegelung in der Navigation.

Astrogeodäsie Bearbeiten

Die astronomische Navigation und Nautik kennt mehrere Mess- und Auswertungsmethoden mittels Winkeldifferenzen (siehe oben). Zwei dieser Verfahren wurden für die Astrometrie und Erdmessung weiterentwickelt:

  • Die Methode gleicher Höhen dient zur hochgenauen Bestimmung der wahren (astronomischen) Lotrichtung bzw. zur terrestrischen Zeit- und Längenbestimmung. An sich werden die Sterne in einer konstanten Zenitdistanz beobachtet (astronomisch meist 10°, geodätisch 30°), doch läuft es de facto auf Messung kleiner Winkelunterschiede durch spezielle Mikrometer bzw. kleiner Zeitdifferenzen („Soll minus Ist“) hinaus. Bei der Auswertung bildet man (wie beim nautischen Verfahren, aber mit zusätzlichen Reduktionsgrößen) die Differenz zwischen dem (indirekt) beobachteten „mittleren Höhenwinkel“ aller Sterne und den ellipsoidisch gerechneten Höhenwinkeln der einzelnen Sterne.
  • Direkt im Instrument werden Winkeldifferenz bei einigen Spezialmethoden gemessen, z. B. mit dem von Fraunhofer erfundenen, mit einem zweigeteilten Fernrohrobjektiv arbeitenden Heliometer. Bei zwei anderen Spezialinstrumenten, dem Danjon-Astrolab und dem Zirkumzenital, erfolgt die Berechnung der aus der Lotstörung oder dem Uhrfehler resultierenden Winkeldifferenz von „berechnetem“ und beobachtetem Stern ähnlich wie bei der o.a. Methode gleicher Höhen.
  • Bei der Horrebow-Talcott-Methode zur Polbewegungs- und Breitenbestimmung werden Kulminationen aufeinanderfolgender Sternpaare im Süd- und Nordast des Meridians beobachtet, indem das Fernrohr um 180° geschwenkt und die Differenz ihrer Höhenwinkel direkt im Gesichtsfeld durch ein Mikrometer gemessen wird.

Astronomie Bearbeiten

Die Astronomie kennt zahlreiche Verfahren und Rechenmodelle, die auf kleinen Winkeldifferenzen beruhen. Einige Beispiele sind:

Auch größere Winkeldifferenzen spielen eine Rolle:

Physik, Bauwesen, Technik Bearbeiten

Spezielle Methoden mit Winkeldifferenzen, die über die bloße Winkelmessung hinausgehen, finden sich in mehreren Bereichen – unter anderem

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. 6. Auflage. Springer, ISBN 978-3-642-12760-1.
  • Heribert Kahmen: Angewandte Geodäsie: Vermessungskunde. 20. Auflage. Gruyter, Walter de GmbH, ISBN 3-11-018464-8, Berlin ≈2005.
  • Franz Ackerl: Geodäsie und Photogrammetrie Teil I (Instrumentenkunde), Verlag Georg Fromme, Wien 1950
  • Albert Schödlbauer: Geodätische Astronomie – Grundlagen und Konzepte. 634 p., Verlag de Gruyter, Berlin 2000
  • J.Bennett, M.Donahue, N.Schneider, M.Voith: Astronomie (Kapitel 3, 5, 13 und 15). Herausgeber Harald Lesch, 5. Auflage (1170 S.), Pearson-Studienverlag, München-Boston-Harlow-Sydney-Madrid 2010
  • HÜTTE, Des Ingenieurs Taschenbuch, 26. QAuflage (Sammelband) bzw. 28. Aufl. Band II, Berlin 1955.

Weblinks Bearbeiten

  • Winkeldifferenz, Mathematik für Ingenieure, Seite 452
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Veröffentlichungsdatum:
Winkeldifferenzen sind Gegenstand spezieller Messungen und Rechenverfahren in verschiedensten Fachgebieten Derartige Methoden finden sich in Naturwissenschaften wie Astronomie Physik Geodasie oder Geologie aber auch in technischen Anwendungen wie der Navigation und der Instrumentenkunde Die in solchen Verfahren gemessenen bzw rechnerisch behandelten Winkeldifferenzen sind in vielen Fallen nicht durch direkte Winkelmessung zu erhalten sondern Gegenstand eigens entwickelter Messinstrumente zum Beispiel Heliometer oder optische Mikrometer spezieller Auswertemethoden z B Methode gleicher Hohen wo die Winkeldifferenzen erst aus der Kombination mehrerer Schritte resultieren oder rechnerischer Modellierungen die auch in verschiedenen Ebenen gemessene Winkel verarbeiten Im Folgenden werden einige Anwendungen beispielhaft aufgezahlt und ihre Besonderheiten kurz behandelt Inhaltsverzeichnis 1 Geodasie Navigation 2 Astrogeodasie 3 Astronomie 4 Physik Bauwesen Technik 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksGeodasie Navigation BearbeitenFur Richtungsbestimmungen auf der Erde oder am Himmel sind zwar meist die Winkel selbst Gegenstand der Messung aber in speziellen Fallen auch ihre Differenzen bzw ortlichen oder zeitlichen Anderungen Viele dieser Differenzmessungen erfolgen mit speziellen Optiken oder hochprazisen Mikrometern Die Entfernungsmessung mit Scherenfernrohren beruht auf Winkelmessung zwischen den beiden Zielfernrohren des Messgerats die technisch als Winkeldifferenz je zweier Spiegelstellungen realisiert wird Die optische Entfernungsmessung hat dasselbe Prinzip nur dass die Messbasis eine horizontale oder vertikale Messlatte ist und der Winkel bzw seine Anderung mit einem Theodolit gemessen wird Der geodatische Ruckwartsschnitt die Bestimmung des eigenen Standortes aus drei Richtungen zu weit entfernten Zielpunkten entspricht der geometrischen Bestimmung von Peripheriewinkeln Diese werden aber nicht direkt sondern aus Richtungsdifferenzen bestimmt Die primar gemessenen Richtungen sind eigentlich Winkel am Teilkreis des Theodolits zwischen dessen Nullpunkt und der Zielrichtung Die Genauigkeit dieser Punktbestimmungen die auf Kreisen kritisch ist lasst sich einfach aus den Winkeldifferenzen abschatzen die bei rechnerischer Verschiebung des eingemessenen Punktes um einige Zentimeter auftreten Die Standlinienmethode der Nautik benutzt fur jeden der zwei oder drei beobachteten Sterne die Differenz zwischen dem beobachteten Hohenwinkel und dem fur den vermuteten Standort gerechneten Hohenwinkel Ahnliches erfolgt bei der astronomischen Ortsbestimmung mit einem Prismenastrolab oder einem Zirkumzenital In der Ausgleichsrechnung arbeiten Geodaten mit Strecken oder Winkeldifferenzen zwischen jeder Messung und dem anfanglichen geometrischen Modell des Vermessungsnetzes Die Quadrate dieser Differenzen werden nach der Gaussschen Methode minimiert Fur Prazisionsmessungen und in der Instrumentenkunde wird die Reduktion der gemessenen Richtungen wegen Instrumentalfehlern oder der Refraktion als Winkeldifferenz angesetzt bei der differentiellen Refraktion verschiedener Lichtfarben sogar als Differenz von Winkeldifferenzen Weitere Differenzmethoden finden sich z B bei Vermessungen mit Winkelprismen beim Einfluchten in eine Gerade Alignment beim Planplattenmikrometer bei der Deckpeilung und bei der Versegelung in der Navigation Astrogeodasie BearbeitenDie astronomische Navigation und Nautik kennt mehrere Mess und Auswertungsmethoden mittels Winkeldifferenzen siehe oben Zwei dieser Verfahren wurden fur die Astrometrie und Erdmessung weiterentwickelt Die Methode gleicher Hohen dient zur hochgenauen Bestimmung der wahren astronomischen Lotrichtung bzw zur terrestrischen Zeit und Langenbestimmung An sich werden die Sterne in einer konstanten Zenitdistanz beobachtet astronomisch meist 10 geodatisch 30 doch lauft es de facto auf Messung kleiner Winkelunterschiede durch spezielle Mikrometer bzw kleiner Zeitdifferenzen Soll minus Ist hinaus Bei der Auswertung bildet man wie beim nautischen Verfahren aber mit zusatzlichen Reduktionsgrossen die Differenz zwischen dem indirekt beobachteten mittleren Hohenwinkel aller Sterne und den ellipsoidisch gerechneten Hohenwinkeln der einzelnen Sterne Direkt im Instrument werden Winkeldifferenz bei einigen Spezialmethoden gemessen z B mit dem von Fraunhofer erfundenen mit einem zweigeteilten Fernrohrobjektiv arbeitenden Heliometer Bei zwei anderen Spezialinstrumenten dem Danjon Astrolab und dem Zirkumzenital erfolgt die Berechnung der aus der Lotstorung oder dem Uhrfehler resultierenden Winkeldifferenz von berechnetem und beobachtetem Stern ahnlich wie bei der o a Methode gleicher Hohen Bei der Horrebow Talcott Methode zur Polbewegungs und Breitenbestimmung werden Kulminationen aufeinanderfolgender Sternpaare im Sud und Nordast des Meridians beobachtet indem das Fernrohr um 180 geschwenkt und die Differenz ihrer Hohenwinkel direkt im Gesichtsfeld durch ein Mikrometer gemessen wird Astronomie BearbeitenDie Astronomie kennt zahlreiche Verfahren und Rechenmodelle die auf kleinen Winkeldifferenzen beruhen Einige Beispiele sind die tagliche und die jahrliche Parallaxe von Gestirnen infolge der Erdrotation und der Erdbahn um die Sonne variable Fernrohrbiegung bei grossen Teleskopen s a Reduktion Messung die Einmessung von Doppelsternen mit einem Fadenmikrometer oder dem Heliometer die Bewegung der Sterne um ihr Massezentrum ist wiederum die Differenz von Winkeldifferenzen die Anderungen der Sonnen oder der Mondparallaxe durch die Elliptizitat von Erd und Mondbahn kleine Schwankungen des Sonnenradius siehe auch Helioseismologie einige Wirkungen der nicht ganz konstanten Erdrotation z B auf die Zeitdifferenz dUT1 oder auf die Polkoordinaten Auch grossere Winkeldifferenzen spielen eine Rolle Morgen und Abendweite der Sonne Elongation der aktuelle Abstand eines Planeten von der Sonne Mittlere Anomalie ein zeitproportionale fiktiver Winkel zur Berechnung von Planetenbahnen die Differenz zur wahren Anomalie geht in die Kepler Gleichung einPhysik Bauwesen Technik BearbeitenSpezielle Methoden mit Winkeldifferenzen die uber die blosse Winkelmessung hinausgehen finden sich in mehreren Bereichen unter anderem bei Messungen der Torsion von Bauteilen auf nicht geometrischem Weg beim Torsionsstab der Torsionswaage und dem Gravimeter bei Winkelanderungen durch Schubspannung als Biegung von Bimetallstreifen z B zur Temperaturmessung bei der Winkelstellung von Dampfungsklappen u a als thermische Effekte und Pfeilerdrehung bei Deformationsmessungen Siehe auch BearbeitenWinkelmesser Winkelschatzung Peilung Daumenpeilung Versegelung terrestrische NavigationLiteratur BearbeitenThomas Westermann Mathematik fur Ingenieure 6 Auflage Springer ISBN 978 3 642 12760 1 Heribert Kahmen Angewandte Geodasie Vermessungskunde 20 Auflage Gruyter Walter de GmbH ISBN 3 11 018464 8 Berlin 2005 Franz Ackerl Geodasie und Photogrammetrie Teil I Instrumentenkunde Verlag Georg Fromme Wien 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