www.wikidata.de-de.nina.az
Mit dem Begriff Wavelet wird in der Mathematik eine Gruppe von Funktionen mit wellenartigem Charakter bezeichnet Das Wort ist eine Neuschopfung aus dem franzosischen ondelette das kleine Welle bedeutet und teils wortlich onde wave teils phonetisch lette let ins Englische ubertragen wurde Wavelets beschreiben die Basisfunktion einer kontinuierlichen oder diskreten Wavelet Transformation Die Wavelet Transformation ist das aktuelle Hauptanwendungsgebiet fur Wavelet Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Wavelets und Transformationen 3 Anwendung 4 Wavelets der diskreten Wavelet Transformation 5 Signalverarbeitung 6 Erweiterungen 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenIhren Ursprung haben Wavelets in der Signalanalyse und den Ingenieurwissenschaften Der Ausdruck Wavelet wurde in den 1980er Jahren in der Geophysik Jean Morlet Alex Grossmann fur Funktionen gepragt welche die Kurzzeit Fourier Transformation verallgemeinern wird jedoch seit Ende der 1980er Jahre ausschliesslich in der heute ublichen Bedeutung verwendet In den 1990er Jahren entstand ein regelrechter Wavelet Boom ausgelost durch die Entdeckung von kompakten stetigen bis hin zu beliebiger Ordnung der Differenzierbarkeit und orthogonalen Wavelets durch Ingrid Daubechies 1988 und die Entwicklung des Algorithmus der schnellen Wavelet Transformation FWT mit Hilfe der Multiskalenanalyse MultiResolution Analysis MRA durch Stephane Mallat und Yves Meyer 1989 Wavelets und Transformationen BearbeitenIm Gegensatz zu den Sinus und Kosinus Funktionen der Fourier Transformation besitzen die meistverwendeten Wavelets nicht nur Lokalitat im Frequenzspektrum sondern auch im Zeitbereich Dabei ist Lokalitat im Sinne kleiner Streuung zu verstehen Eine Sinus oder Kosinus Funktion ist beispielsweise aufgrund ihrer Periodizitat nicht lokal im Zeitbereich Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist das normierte Betragsquadrat der betrachteten Funktion bzw von deren Fourier Transformierten Dabei ist das Produkt beider Varianzen immer grosser als eine Konstante analog zur Heisenbergschen Unscharferelation siehe auch das WKS Abtasttheorem Aus dieser Einschrankung heraus entstanden in der Funktionalanalysis die Paley Wiener Theorie Raymond Paley Norbert Wiener ein Vorlaufer der diskreten Wavelet Transformation und die Calderon Zygmund Theorie Alberto Calderon Antoni Zygmund die der kontinuierlichen Wavelet Transformation entspricht Das Integral einer Wavelet Funktion ist vorzugsweise 0 daher nimmt in der Regel die Waveletfunktion die Form von nach aussen hinauslaufenden kleiner werdenden Wellen also Wellchen Ondelettes Wavelets an nbsp Haar Wavelet nbsp Daubechies D4 Wavelet nbsp Daubechies D20 WaveletWichtige Beispiele fur Wavelets sind das Haar Wavelet Alfred Haar 1909 die nach Ingrid Daubechies benannten Daubechies Wavelets um 1990 die ebenfalls von ihr konstruierten Coiflet Wavelets und das eher theoretisch bedeutsame Meyer Wavelet Yves Meyer um 1988 nbsp Meyer Wavelet nbsp Morlet Wavelet nbsp Mexikanischer HutWavelets gibt es fur Raume beliebiger Dimension meist wird ein Tensorprodukt einer eindimensionalen Waveletbasis verwendet Aufgrund der fraktalen Natur der Zwei Skalen Gleichung in der MRA haben die meisten Wavelets eine komplizierte Gestalt die meisten haben keine geschlossene Form Im angelsachsischen Sprachraum wird der englische Begriff wavelet weiter gefasst Dort wird unter Wavelet eine wellenartige Oszillation mit einer Amplitude beginnend mit Null einem Amplitudenanstieg und einem anschliessenden Amplitudenabfall zuruck auf Null verstanden Eindimensionale Wavelets mit einem von Null abweichenden Integral werden somit von dieser weiter gefassten Definition des Begriffs Wavelet mit umfasst Solche Wavelets werden beispielsweise in bestimmten Verfahren der digitalen Signalverarbeitung genutzt Beispielsweise konnen Distributionen als eine solche Klasse von Wavelets aufgefasst werden mit denen beispielsweise die Abtastung eines Signals erfolgen kann Ein besonders wichtiges Beispiel das in diesem erweiterten Sinne als Extremform eines Wavelets aufgefasst werden kann ist die Diracsche Deltafunktion Die Anwendung einer bestimmten Wavelet Transformation ist daher stets an die Verwendung einer jeweils zugehorigen Wavelet Untermenge fur die Wavelet Transformation gebunden Anwendung BearbeitenAnwendung finden Wavelets in Methoden der Signalverarbeitung insbesondere der Signalkompression welche als ersten Schritt eine diskrete Wavelet Transformation beinhalten Diese wurden seit Anfang der 1990er Jahre als Meilenstein der Bildkompression und Audiodatenkompression propagiert Trotzdem sind ausserhalb von Spezialanwendungen wie z B in der Geophysik oder Computertomographie solche Wavelet Kompressionsmethoden nur in der JPEG2000 Norm und ihren direkten Vorgangern wie dem DjVu und dem LuraWave Format implementiert Bisher ist JPEG2000 wenig verbreitet In einem weiten Sinne basiert auch das gangige JPEG auf einer Wavelet Transformation die verwendete Diskrete Kosinustransformation kann als Haar Wavelet interpretiert werden In Methoden der Signalanalyse wird eher die kontinuierliche Wavelet Transformation in diskretisierter Form verwendet Wavelets der diskreten Wavelet Transformation BearbeitenEin Wavelet ps displaystyle psi nbsp ist hier die erzeugende Funktion eines affinen Systems von Funktionen ps j k x 2 j 2 ps 2 j x k displaystyle psi j k x 2 j 2 psi 2 j x k nbsp welche eine Hilbert Basis d h ein vollstandiges Orthonormalsystem im Funktionenraum L 2 R displaystyle L 2 mathbb R nbsp bilden Die Darstellung einer Funktion mittels dieser Funktionen nennt man Wavelet Transformation f c f W f c j k f f ps j k j k Z displaystyle f mapsto c f mathcal W f left c j k f langle f psi j k rangle j k in mathbb Z right nbsp und inverse Wavelet Transformation c c j k j k Z W f j k Z c j k ps j k displaystyle c c j k j k in mathbb Z mapsto mathcal W f sum j k in mathbb Z c j k cdot psi j k nbsp Das elementarste Beispiel ist das Haar Wavelet Es ist hilfreich wenn die Wavelet Funktion zu einer Multiskalenanalyse assoziiert ist da dann in der praktischen Berechnung die Auswertung vieler der Integrale die hinter den Skalarprodukten stehen durch wiederholte Faltung von einmal gewonnenen Koeffizientenfolgen mit endlichen Filterfolgen ersetzt werden kann Dieses beschleunigte Verfahren nennt man dementsprechend schnelle Wavelet Transformation Signalverarbeitung BearbeitenDer Zusammenhang zwischen Wavelets und Filtern zur Signalverarbeitung ist nun recht anschaulich Die Waveletmaske entspricht der Impulsantwort eines Bandpassfilters mit einer gewissen Scharfe in der Zeit Filterlange und in der Frequenz Bandbreite Filterlange und Bandbreite sind umgekehrt proportional so wird eine Streckung des Filters um den Faktor 2 die Bandbreite halbieren Erweiterungen BearbeitenEs ist moglich und sinnvoll andere Skalenfaktoren zu betrachten So entspricht die DCT Variante im JPEG Algorithmus einem Haar Wavelet zur Blockgrosse 8 Unter weiteren Abschwachungen der analytischen Anforderungen ergeben sich Wavelet Frames siehe Rahmen beziehungsweise Framelets diese erzeugen eine redundante Signaltransformation die unter bestimmten Umstanden vorzuziehen ist zum Beispiel bei der Rauschunterdruckung Eine in letzter Zeit aufgekommene Variante sind die so genannten Multiwavelets die nicht eine sondern einen Vektor von Skalierungsfunktionen in der MRA aufweisen und dementsprechend matrixwertige Skalierungsfolgen Der neue JPEG2000 Standard der Bildkomprimierung kann biorthogonale 5 3 und 9 7 Wavelets verwenden Literatur BearbeitenBarbara Burke Hubbard Wavelets Die Mathematik der kleinen Wellen 1 Auflage Birkhauser Verlag 1997 ISBN 3 7643 5688 X Werner Bani Wavelets Eine Einfuhrung fur Ingenieure 2 Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2005 ISBN 3 486 57706 9 Joran Bergh Frederik Ekstedt Martin Lindberg Wavelets mit Anwendungen in Signal und Bildverarbeitung Springer Verlag 2007 ISBN 978 3 540 49011 1 I Daubechies Where do wavelets come from A personal point of view Article 74 in der Liste veroffentlicht in Proceedings of the IEEE Special Issue on Wavelets 84 no 4 pp 510 513 April 1996 doi 10 1109 5 488696Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Wavelet Album mit Bildern Videos und Audiodateien A Really Friendly Guide to Wavelets von C Valens Wavelet Analysis in der Mathematica Wavelet Explorer Dokumentation Umfangreiche Beschreibung des Themas Einzelnachweise Bearbeiten Wavelet Abgerufen am 29 Januar 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wavelet amp oldid 234370384