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Wavelet Transformation Als WT englisch wavelet transform wird eine Familie von linearen Zeit Frequenz Transformationen i

Wavelet-Transformation

Als Wavelet-Transformation (WT, englisch wavelet transform) wird eine Familie von linearen Zeit-Frequenz-Transformationen in der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften (primär: Nachrichtentechnik, Informatik) bezeichnet. Die WT setzt sich zusammen aus der Wavelet-Analyse, welche den Übergang der Zeitdarstellung in die Spektral- bzw. Waveletdarstellung bezeichnet, und der Wavelet-Synthese, welche die Rücktransformation der Wavelettransformierten in die Zeitdarstellung bezeichnet.

Der Begriff Wavelet bezeichnet die für die Transformation benutzte Basisfunktion, mit der das zu analysierende Signal oder Bild – im Allgemeinen eine N-dimensionale Funktion – „verglichen“ wird.

Die Wurzeln der Waveletschule liegen in Frankreich, wo auch der ursprünglich französische Begriff ondelette geprägt wurde, dessen englisches Pendant wavelet sich jedoch später als Bezeichnung durchgesetzt hat. Ins Deutsche übersetzt bedeutet Wavelet so viel wie kleine Welle oder Wellchen und drückt den Umstand aus, dass man im Gegensatz zur Fourier-Transformation zeitlich lokalisierte Wellen bzw. Funktionen als Basis benutzt, wodurch die eingangs erwähnte Zeit- und Frequenzauflösung möglich wird. Wie alle linearen Zeit-Frequenz-Transformationen unterliegt auch die Wavelettransformierte der Unschärferelation der Nachrichtentechnik, d. h. ein Ereignis kann nicht gleichzeitig beliebig genau in Zeit und Frequenz lokalisiert werden. Es gibt immer nur einen Kompromiss aus guter zeitlicher Auflösung oder guter Auflösung im Frequenzbereich.

Die Wavelet-Transformation unterteilt sich in erster Linie in zwei Lager, nämlich die kontinuierliche Wavelet-Transformation, welche ihre Hauptanwendung in der Mathematik und der Datenanalyse hat, und die diskrete Wavelet-Transformation, welche eher in den Ingenieurwissenschaften zu finden ist und deren Anwendung im Bereich der Datenreduktion, Datenkompression und Signalverarbeitung liegt.

Wichtige Anwendungen der Wavelet-Transformation sind die Wavelet-Kompression für die Bildkompression oder Videokompression, die Signalverarbeitung und die Lösung von Differentialgleichungen.

Funktionsweise Bearbeiten

Die Wavelet-Transformation kann als Verbesserung der Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) angesehen werden.

Schwächen der Kurzzeit-Fourier-Transformation Bearbeiten

Bei der STFT wird eine Fensterfunktion auf das zu untersuchende Signal angewendet – etwa die Gaußsche Glockenkurve wie bei der Gabor-Transformation. Für jeden Punkt der STFT wird das Fenster an den zu betrachtenden Zeitpunkt und an die zu betrachtende Frequenz (Modulation im Zeitbereich) verschoben. Die absolute Zeitdauer und Bandbreite des Fensters („Breite“ im Zeit- und Frequenzbereich) – und damit die Auflösung – ändern sich dadurch nicht.

Die Auflösungen im Zeit- und Frequenzbereich sind nur abhängig von der Form des Fensters. Aufgrund der Zeit-Frequenz-Unschärfe ist die Auflösung im Zeitbereich umgekehrt proportional zur Auflösung im Frequenzbereich. Es lässt sich also nicht gleichzeitig im Zeitbereich und im Frequenzbereich die bestmögliche Auflösung erzielen. Enthält nun ein Signal Frequenzanteile sowohl bei hohen als auch bei niedrigen Frequenzen, möchte man bei niedrigen Frequenzen eine gute (absolute) Frequenzauflösung erzielen, da eine kleine absolute Frequenzänderung hier stark ins Gewicht fällt. Bei einer hohen Frequenz ist eine gute Zeitauflösung wichtiger, da eine vollständige Schwingung hier weniger Zeit beansprucht und sich die Momentanfrequenz daher schneller ändern kann.

Für ein Signal mit Frequenzanteilen bei 1 Hz und 1 kHz, für welches die Frequenz auf 10 Prozent genau aufgelöst werden soll, ist bei 1 Hz eine Frequenzauflösung von 0,1 Hz nötig. Bei 1 kHz entspricht dieses einer Auflösung von 0,01 Prozent – eine so gute Auflösung ist hier nicht nötig. Andererseits vollführt das Signal bei 1 kHz zehn vollständige Schwingungen in 10 ms. Um Frequenzänderungen in diesem Zeitraum auflösen zu können, ist eine Zeitauflösung besser als 10 ms nötig. Bei 1 Hz entspricht diese Zeitdauer nur einer hundertstel Schwingung. Eine so gute zeitliche Auflösung ist also hier nicht nötig. Gewünscht ist bei niedrigen Frequenzen also eine gute Frequenzauflösung unter Inkaufnahme einer schlechten Zeitauflösung und bei hohen Frequenzen eine gute Zeitauflösung bei schlechterer Frequenzauflösung. Die Short-Time-Fourier-Transformation leistet dieses nicht.

Zusammenfassung der Funktionsweise Bearbeiten

Wie bei der STFT wird eine Fensterfunktion auf das zu untersuchende Signal angewendet. Anstatt allerdings das Fenster zu verschieben und zu modulieren (Verschiebung im Frequenzbereich) (wie bei der STFT), wird das Fenster verschoben und skaliert. Durch die Skalierung ergibt sich wie durch die Modulation ebenfalls eine Frequenzverschiebung, allerdings wird gleichzeitig mit einer Frequenzerhöhung die Zeitdauer („Breite“ im Zeitbereich) des Fensters verringert. Dadurch ergibt sich bei höheren Frequenzen eine bessere zeitliche Auflösung. Bei niedrigen Frequenzen wird die Frequenzauflösung besser, dafür wird die Zeitauflösung schlechter.

Kontinuierliche Wavelet-Transformation Bearbeiten

Morlet-Wavelet, Beispiel für eine Wavelet-Funktion (ähnlich definiert wie ein Gaußsches Wellenpaket)
Kontinuierliche Wavelet-Transformation eines Sinus-Signals mit abruptem Frequenzwechsel

Die kontinuierliche Wavelet-Transformation (CWT, engl. continuous wavelet transform) ist gegeben durch

Dabei ist

  • : die zu transformierende Funktion, beispielsweise ein Audio- oder Bildsignal
  • : Wavelet-Funktion (engl. mother wavelet) welche je nach Anwendung verschieden gewählt werden kann
  • : Translationparameter, zur Abtastung der Daten in der zeitlichen bzw. räumlichen Dimension
  • : Skalierungsparameter, welcher die Daten über verschiedene Frequenzbereiche scannt

Mit der aus dem Mother-Wavelet abgeleiteten Wavelet-Familie

lässt sich die kontinuierliche Wavelet-Transformation kompakt als Skalarprodukt

schreiben.

Eigenschaften von Wavelets Bearbeiten

Ein Wavelet ist eine quadratintegrierbare Funktion, welche relativ frei wählbar ist. Im Allgemeinen stellt man eine weitere technische Voraussetzung an ein Wavelet, die Zulässigkeitsbedingung:

Dabei bezeichnet die Fourier-Transformierte von . Die Zulässigkeitsbedingung wird für den Beweis einiger zentraler Sätze und Eigenschaften benötigt, weshalb sie häufig in die Definition eines Wavelets mit eingeschlossen wird.

Eine unmittelbare Folgerung der Zulässigkeit ist, dass die Fouriertransformierte des Wavelets an der Stelle 0 verschwindet:

Des Weiteren folgt daraus, dass das erste Moment des Wavelets, also sein Mittelwert, verschwindet:

Wavelet-Synthese Bearbeiten

Die ursprüngliche Funktion x(t) kann bis auf eine additive Konstante wieder aus der Wavelettransformierten zurückgewonnen werden mit der Rekonstruktionsformel

mit

Dabei ist die duale Wavelet-Funktion zu .

Reproduzierender Kern Bearbeiten

Als Reproduzierender Kern (engl. reproducing kernel) wird die Wavelettransformierte des Wavelets selbst bezeichnet. Somit bezeichnet

den Kern des Wavelets .

Das Attribut reproduzierend trägt der Kern, weil sich die Wavelettransformierte unter der Faltung mit dem Kern reproduziert, das heißt, die Wavelettransformierte ist invariant unter der Faltung mit dem Kern. Diese Faltung ist gegeben durch

Dies ist keine gewöhnliche Faltung, da sie nicht kommutativ ist; sie ist jedoch assoziativ.

Eine weitere wichtige Bedeutung erhält der reproduzierende Kern daher, dass er die minimale Korrelation zwischen zwei Punkten (a,b) und (a',b') im Waveletraum angibt. Dies lässt sich zeigen, indem man die Autokorrelation von weißem Rauschen im Waveletraum betrachtet. Bezeichnen wir mit ein Gauss’sches weißes Rauschen mit Varianz 1, so ist dessen Autokorrelation gegeben durch . Die Korrelation im Waveletraum ist dann (ohne Ausführung der Rechnung)

also gerade gegeben durch den reproduzierenden Kern.

Diskrete Wavelet-Transformation Bearbeiten

Die Diskrete Wavelet-Transformation (DWT, engl. discrete wavelet transform) ist gegeben durch

Dabei ist

  • : die zu transformierende Funktion, beispielsweise ein Audio- oder Bildsignal
  • : Wavelet-Funktion (engl. mother wavelet) welche je nach Anwendung verschieden gewählt werden kann

Die Diskrete Wavelet-Transformation ist eine Wavelet-Transformation, die zeit- und frequenzdiskret durchgeführt wird. Es wurde gezeigt, dass die Informationen trotz Reduktion auf eine diskrete Teilmenge , bei , vollständig erhalten bleiben. Eine Diskrete Wavelet-Transformation lässt sich sehr effizient als eine Reihe von zeitdiskreten Filtern implementieren, die kontinuierliche Wavelet-Transformation wird praktisch auf diese Weise berechnet.

Schnelle Wavelet-Transformation Bearbeiten

Die Schnelle Wavelet-Transformation (engl. fast wavelet transform, FWT) ist ein Algorithmus, der mit Hilfe der Theorie der Multiskalenanalyse die diskrete Wavelet-Transformation implementiert. Dabei wird das Bilden des inneren Produkts des Signals mit jedem Wavelet durch das sukzessive Zerteilen des Signals in Frequenzbänder ersetzt. Dadurch wird die Komplexität der Wavelet-Transformation von (vgl. schnelle Fourier-Transformation) auf reduziert.

Wavelet-Transformation ohne Wavelets Bearbeiten

Zur Berechnung der Wavelet-Transformation eines Bildes braucht man eigentlich gar keine Wavelets oder Skalierungsfunktionen. Die komplette Transformation besteht dann lediglich aus der sogenannten Faltung des Ausgangssignals mit geeigneten Filtern. Ein Filter stellt dabei einen Vektor von reellen Zahlen (den sogenannten Filter-Koeffizienten) mit Einträgen dar. Die Faltung von Signal und Filter ist mathematisch definiert als

Dabei ist

  • : die zu transformierende Funktion, beispielsweise ein Audio- oder Bildsignal
  • : das Ausgangssignal nach der Faltung
  • : der verwendete Filter
  • : die Länge des Filters
  • : die Position des Signals

Man braucht lediglich geeignete Hochpass-Filter und Tiefpass-Filter, um die Schnelle Wavelet-Transformation durchzuführen. Aus den gegebenen Filtern lassen sich dann die zugehörige Wavelet-Funktion und Skalierungsfunktion berechnen. Die Skalierungsfunktion wird rekursiv aus dem Tiefpass-Filter berechnet durch

Die Wavelet-Funktion kann aus dem Hochpass-Filter und der Skalierungsfunktion bestimmt werden:

Wavelet-Paket-Transformation und Beste-Basis-Algorithmen Bearbeiten

Die Wavelet-Paket-Transformation ist eine Ausweitung der Schnellen Wavelet-Transformation (FWT), indem nicht nur der Tiefpasskanal, sondern auch der Bandpasskanal weiter mittels der Wavelet-Filterbank aufgespalten wird. Dieses kann dazu dienen, aus einer üblichen 2-Kanal-DWT wie z. B. den Daubechies-Wavelets eine M-Kanal-DWT zu erhalten, wobei M eine Potenz von 2 ist; der Exponent wird Tiefe des Paket-Baums genannt. Dieses Verfahren wird in der Breitbanddatenübertragung als Alternative zur schnellen Fourier-Transformation angewandt.

Wird in einem Rekursionsschritt der FWT ein weißes Rauschen als Eingangssignal transformiert, so ist das Ergebnis aufgrund der orthogonalen Natur der DWT wieder ein weißes Rauschen, wobei die Energie (=Quadratsumme der Samples) gleichmäßig auf Tief- und Bandpasskanal verteilt wird. Nimmt man eine möglichst hohe Abweichung von diesem Verhalten, d. h. eine möglichst vollständige Konzentration der Signalenergie auf einen der beiden Kanäle, als Entscheidungskriterium, ob der Eingangskanal aufgespalten werden soll, und setzt man dieses Verfahren für die aufgespaltenen Kanäle fort, so entsteht eine Variante eines Beste-Basis-Verfahrens.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Yves Meyer: Wavelets and Operators. Cambridge University Press, Cambridge 1992, 1995.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Strutz: Bilddatenkompression. SpringerVieweg, 2009
  2. Christoph Esser, Universität Mannheim: Wavelet Transformation von Standbildern
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Als Wavelet Transformation WT englisch wavelet transform wird eine Familie von linearen Zeit Frequenz Transformationen in der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften primar Nachrichtentechnik Informatik bezeichnet Die WT setzt sich zusammen aus der Wavelet Analyse welche den Ubergang der Zeitdarstellung in die Spektral bzw Waveletdarstellung bezeichnet und der Wavelet Synthese welche die Rucktransformation der Wavelettransformierten in die Zeitdarstellung bezeichnet Der Begriff Wavelet bezeichnet die fur die Transformation benutzte Basisfunktion mit der das zu analysierende Signal oder Bild im Allgemeinen eine N dimensionale Funktion verglichen wird Die Wurzeln der Waveletschule liegen in Frankreich wo auch der ursprunglich franzosische Begriff ondelette gepragt wurde dessen englisches Pendant wavelet sich jedoch spater als Bezeichnung durchgesetzt hat Ins Deutsche ubersetzt bedeutet Wavelet so viel wie kleine Welle oder Wellchen und druckt den Umstand aus dass man im Gegensatz zur Fourier Transformation zeitlich lokalisierte Wellen bzw Funktionen als Basis benutzt wodurch die eingangs erwahnte Zeit und Frequenzauflosung moglich wird Wie alle linearen Zeit Frequenz Transformationen unterliegt auch die Wavelettransformierte der Unscharferelation der Nachrichtentechnik d h ein Ereignis kann nicht gleichzeitig beliebig genau in Zeit und Frequenz lokalisiert werden Es gibt immer nur einen Kompromiss aus guter zeitlicher Auflosung oder guter Auflosung im Frequenzbereich Die Wavelet Transformation unterteilt sich in erster Linie in zwei Lager namlich die kontinuierliche Wavelet Transformation welche ihre Hauptanwendung in der Mathematik und der Datenanalyse hat und die diskrete Wavelet Transformation welche eher in den Ingenieurwissenschaften zu finden ist und deren Anwendung im Bereich der Datenreduktion Datenkompression und Signalverarbeitung liegt 1 Wichtige Anwendungen der Wavelet Transformation sind die Wavelet Kompression fur die Bildkompression oder Videokompression die Signalverarbeitung und die Losung von Differentialgleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Funktionsweise 1 1 Schwachen der Kurzzeit Fourier Transformation 1 2 Zusammenfassung der Funktionsweise 2 Kontinuierliche Wavelet Transformation 2 1 Eigenschaften von Wavelets 2 2 Wavelet Synthese 2 3 Reproduzierender Kern 3 Diskrete Wavelet Transformation 4 Schnelle Wavelet Transformation 4 1 Wavelet Transformation ohne Wavelets 5 Wavelet Paket Transformation und Beste Basis Algorithmen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseFunktionsweise BearbeitenDie Wavelet Transformation kann als Verbesserung der Kurzzeit Fourier Transformation STFT angesehen werden Schwachen der Kurzzeit Fourier Transformation Bearbeiten Bei der STFT wird eine Fensterfunktion auf das zu untersuchende Signal angewendet etwa die Gausssche Glockenkurve wie bei der Gabor Transformation Fur jeden Punkt der STFT wird das Fenster an den zu betrachtenden Zeitpunkt und an die zu betrachtende Frequenz Modulation im Zeitbereich verschoben Die absolute Zeitdauer und Bandbreite des Fensters Breite im Zeit und Frequenzbereich und damit die Auflosung andern sich dadurch nicht Die Auflosungen im Zeit und Frequenzbereich sind nur abhangig von der Form des Fensters Aufgrund der Zeit Frequenz Unscharfe ist die Auflosung im Zeitbereich umgekehrt proportional zur Auflosung im Frequenzbereich Es lasst sich also nicht gleichzeitig im Zeitbereich und im Frequenzbereich die bestmogliche Auflosung erzielen Enthalt nun ein Signal Frequenzanteile sowohl bei hohen als auch bei niedrigen Frequenzen mochte man bei niedrigen Frequenzen eine gute absolute Frequenzauflosung erzielen da eine kleine absolute Frequenzanderung hier stark ins Gewicht fallt Bei einer hohen Frequenz ist eine gute Zeitauflosung wichtiger da eine vollstandige Schwingung hier weniger Zeit beansprucht und sich die Momentanfrequenz daher schneller andern kann Fur ein Signal mit Frequenzanteilen bei 1 Hz und 1 kHz fur welches die Frequenz auf 10 Prozent genau aufgelost werden soll ist bei 1 Hz eine Frequenzauflosung von 0 1 Hz notig Bei 1 kHz entspricht dieses einer Auflosung von 0 01 Prozent eine so gute Auflosung ist hier nicht notig Andererseits vollfuhrt das Signal bei 1 kHz zehn vollstandige Schwingungen in 10 ms Um Frequenzanderungen in diesem Zeitraum auflosen zu konnen ist eine Zeitauflosung besser als 10 ms notig Bei 1 Hz entspricht diese Zeitdauer nur einer hundertstel Schwingung Eine so gute zeitliche Auflosung ist also hier nicht notig Gewunscht ist bei niedrigen Frequenzen also eine gute Frequenzauflosung unter Inkaufnahme einer schlechten Zeitauflosung und bei hohen Frequenzen eine gute Zeitauflosung bei schlechterer Frequenzauflosung Die Short Time Fourier Transformation leistet dieses nicht Zusammenfassung der Funktionsweise Bearbeiten Wie bei der STFT wird eine Fensterfunktion auf das zu untersuchende Signal angewendet Anstatt allerdings das Fenster zu verschieben und zu modulieren Verschiebung im Frequenzbereich wie bei der STFT wird das Fenster verschoben und skaliert Durch die Skalierung ergibt sich wie durch die Modulation ebenfalls eine Frequenzverschiebung allerdings wird gleichzeitig mit einer Frequenzerhohung die Zeitdauer Breite im Zeitbereich des Fensters verringert Dadurch ergibt sich bei hoheren Frequenzen eine bessere zeitliche Auflosung Bei niedrigen Frequenzen wird die Frequenzauflosung besser dafur wird die Zeitauflosung schlechter Kontinuierliche Wavelet Transformation Bearbeiten nbsp Morlet Wavelet Beispiel fur eine Wavelet Funktion ps t displaystyle psi t nbsp ahnlich definiert wie ein Gausssches Wellenpaket nbsp Kontinuierliche Wavelet Transformation eines Sinus Signals mit abruptem FrequenzwechselDie kontinuierliche Wavelet Transformation CWT engl continuous wavelet transform ist gegeben durch W ps x a b 1 a ps t b a x t d t displaystyle mathcal W psi x a b frac 1 sqrt a int infty infty overline psi left frac t b a right x t dt nbsp Dabei ist x t displaystyle x t nbsp die zu transformierende Funktion beispielsweise ein Audio oder Bildsignal ps t displaystyle psi t nbsp Wavelet Funktion engl mother wavelet welche je nach Anwendung verschieden gewahlt werden kann b displaystyle b nbsp Translationparameter zur Abtastung der Daten x t displaystyle x t nbsp in der zeitlichen bzw raumlichen Dimension a displaystyle a nbsp Skalierungsparameter welcher die Daten uber verschiedene Frequenzbereiche scanntMit der aus dem Mother Wavelet ps t displaystyle psi t nbsp abgeleiteten Wavelet Familie ps a b 1 a ps t b a displaystyle psi ab frac 1 a psi left frac t b a right nbsp lasst sich die kontinuierliche Wavelet Transformation kompakt als Skalarprodukt W ps x a b ps a b x displaystyle mathcal W psi x a b langle psi ab x rangle nbsp schreiben Eigenschaften von Wavelets Bearbeiten Ein Wavelet ps t displaystyle psi t nbsp ist eine quadratintegrierbare Funktion welche relativ frei wahlbar ist Im Allgemeinen stellt man eine weitere technische Voraussetzung an ein Wavelet die Zulassigkeitsbedingung ps w 2 w d w lt displaystyle int infty infty frac hat psi omega 2 omega d omega lt infty nbsp Dabei bezeichnet ps w displaystyle hat psi omega nbsp die Fourier Transformierte von ps t displaystyle psi t nbsp Die Zulassigkeitsbedingung wird fur den Beweis einiger zentraler Satze und Eigenschaften benotigt weshalb sie haufig in die Definition eines Wavelets mit eingeschlossen wird Eine unmittelbare Folgerung der Zulassigkeit ist dass die Fouriertransformierte des Wavelets an der Stelle 0 verschwindet ps w 0 0 displaystyle hat psi omega 0 0 nbsp Des Weiteren folgt daraus dass das erste Moment des Wavelets also sein Mittelwert verschwindet ps t d t 0 displaystyle int infty infty psi t dt 0 nbsp Wavelet Synthese Bearbeiten Die ursprungliche Funktion x t kann bis auf eine additive Konstante wieder aus der Wavelettransformierten zuruckgewonnen werden mit der Rekonstruktionsformel x t 1 c ϕ ps 0 d a a d b W ps x a b 1 a ϕ t b a displaystyle x t frac 1 c phi psi int 0 infty frac da a int infty infty db mathcal W psi x a b frac 1 a phi left frac t b a right nbsp mit c ϕ ps 0 d w w ϕ w ps w d w displaystyle c phi psi int 0 infty frac d omega omega overline hat phi pm omega hat psi pm omega d omega nbsp Dabei ist ϕ t displaystyle phi t nbsp die duale Wavelet Funktion zu ps t displaystyle psi t nbsp Reproduzierender Kern Bearbeiten Als Reproduzierender Kern engl reproducing kernel wird die Wavelettransformierte des Wavelets selbst bezeichnet Somit bezeichnet K ps a b ps a b ps displaystyle K psi a b langle psi ab psi rangle nbsp den Kern des Wavelets ps displaystyle psi nbsp Das Attribut reproduzierend tragt der Kern weil sich die Wavelettransformierte unter der Faltung mit dem Kern reproduziert das heisst die Wavelettransformierte ist invariant unter der Faltung mit dem Kern Diese Faltung ist gegeben durch K ps W ps x a b 0 d a a d b 1 a K ps a a b b a W ps x a b displaystyle K psi mathcal W psi x a b int 0 infty frac da a int infty infty db frac 1 a K psi left frac a a frac b b a right mathcal W psi x a b nbsp Dies ist keine gewohnliche Faltung da sie nicht kommutativ ist sie ist jedoch assoziativ Eine weitere wichtige Bedeutung erhalt der reproduzierende Kern daher dass er die minimale Korrelation zwischen zwei Punkten a b und a b im Waveletraum angibt Dies lasst sich zeigen indem man die Autokorrelation von weissem Rauschen im Waveletraum betrachtet Bezeichnen wir mit 3 t displaystyle xi t nbsp ein Gauss sches weisses Rauschen mit Varianz 1 so ist dessen Autokorrelation gegeben durch 3 t 3 t d t t displaystyle langle xi t xi t rangle delta t t nbsp Die Korrelation im Waveletraum ist dann ohne Ausfuhrung der Rechnung W ps 3 a b W ps 3 a b 1 a K ps 1 a b b a displaystyle langle overline mathcal W psi xi a b mathcal W psi xi a b rangle frac 1 a K psi left frac 1 a frac b b a right nbsp also gerade gegeben durch den reproduzierenden Kern Diskrete Wavelet Transformation BearbeitenDie Diskrete Wavelet Transformation DWT engl discrete wavelet transform ist gegeben durch W ps x m n ps m n t x t d t displaystyle mathcal W psi x m n int infty infty psi m n t x t dt nbsp Dabei ist x t displaystyle x t nbsp die zu transformierende Funktion beispielsweise ein Audio oder Bildsignal ps t displaystyle psi t nbsp Wavelet Funktion engl mother wavelet welche je nach Anwendung verschieden gewahlt werden kannDie Diskrete Wavelet Transformation ist eine Wavelet Transformation die zeit und frequenzdiskret durchgefuhrt wird Es wurde gezeigt dass die Informationen trotz Reduktion auf eine diskrete Teilmenge m n a k l b a k k l Z R R displaystyle m n alpha k l beta alpha k k l in mathbb Z subset mathbb R times mathbb R nbsp bei a gt 1 b gt 0 displaystyle alpha gt 1 beta gt 0 nbsp vollstandig erhalten bleiben Eine Diskrete Wavelet Transformation lasst sich sehr effizient als eine Reihe von zeitdiskreten Filtern implementieren die kontinuierliche Wavelet Transformation wird praktisch auf diese Weise berechnet Schnelle Wavelet Transformation BearbeitenDie Schnelle Wavelet Transformation engl fast wavelet transform FWT ist ein Algorithmus der mit Hilfe der Theorie der Multiskalenanalyse die diskrete Wavelet Transformation implementiert Dabei wird das Bilden des inneren Produkts des Signals mit jedem Wavelet durch das sukzessive Zerteilen des Signals in Frequenzbander ersetzt Dadurch wird die Komplexitat der Wavelet Transformation von O N log N displaystyle O N log N nbsp vgl schnelle Fourier Transformation auf O N displaystyle O N nbsp reduziert Wavelet Transformation ohne Wavelets Bearbeiten Zur Berechnung der Wavelet Transformation eines Bildes braucht man eigentlich gar keine Wavelets oder Skalierungsfunktionen Die komplette Transformation besteht dann lediglich aus der sogenannten Faltung des Ausgangssignals mit geeigneten Filtern Ein Filter h displaystyle h nbsp stellt dabei einen Vektor von reellen Zahlen den sogenannten Filter Koeffizienten mit n displaystyle n nbsp Eintragen dar Die Faltung von Signal und Filter ist mathematisch definiert als y n i 0 N 1 h i x n i displaystyle y n sum i 0 N 1 h i x n i nbsp Dabei ist x n displaystyle x n nbsp die zu transformierende Funktion beispielsweise ein Audio oder Bildsignal y n displaystyle y n nbsp das Ausgangssignal nach der Faltung h i displaystyle h i nbsp der verwendete Filter N displaystyle N nbsp die Lange des Filters n displaystyle n nbsp die Position des SignalsMan braucht lediglich geeignete Hochpass Filter und Tiefpass Filter um die Schnelle Wavelet Transformation durchzufuhren Aus den gegebenen Filtern lassen sich dann die zugehorige Wavelet Funktion und Skalierungsfunktion berechnen Die Skalierungsfunktion ϕ displaystyle phi nbsp wird rekursiv aus dem Tiefpass Filter h 0 displaystyle h 0 nbsp berechnet durch ϕ t 2 k 0 N h 0 k ϕ 2 t k displaystyle phi t 2 sum k 0 N h 0 k phi 2t k nbsp Die Wavelet Funktion w displaystyle omega nbsp kann aus dem Hochpass Filter h 1 displaystyle h 1 nbsp und der Skalierungsfunktion bestimmt werden 2 w t 2 k 0 N h 1 k w 2 t k displaystyle omega t 2 sum k 0 N h 1 k omega 2t k nbsp Wavelet Paket Transformation und Beste Basis Algorithmen BearbeitenDie Wavelet Paket Transformation ist eine Ausweitung der Schnellen Wavelet Transformation FWT indem nicht nur der Tiefpasskanal sondern auch der Bandpasskanal weiter mittels der Wavelet Filterbank aufgespalten wird Dieses kann dazu dienen aus einer ublichen 2 Kanal DWT wie z B den Daubechies Wavelets eine M Kanal DWT zu erhalten wobei M eine Potenz von 2 ist der Exponent wird Tiefe des Paket Baums genannt Dieses Verfahren wird in der Breitbanddatenubertragung als Alternative zur schnellen Fourier Transformation angewandt Wird in einem Rekursionsschritt der FWT ein weisses Rauschen als Eingangssignal transformiert so ist das Ergebnis aufgrund der orthogonalen Natur der DWT wieder ein weisses Rauschen wobei die Energie Quadratsumme der Samples gleichmassig auf Tief und Bandpasskanal verteilt wird Nimmt man eine moglichst hohe Abweichung von diesem Verhalten d h eine moglichst vollstandige Konzentration der Signalenergie auf einen der beiden Kanale als Entscheidungskriterium ob der Eingangskanal aufgespalten werden soll und setzt man dieses Verfahren fur die aufgespaltenen Kanale fort so entsteht eine Variante eines Beste Basis Verfahrens Siehe auch BearbeitenDiskrete Kosinustransformation Diskrete Fourier Transformation Fourier Transformation Stationare Wavelet Transformation Schnelle Wavelet TransformationLiteratur BearbeitenYves Meyer Wavelets and Operators Cambridge University Press Cambridge 1992 1995 Weblinks BearbeitenWavelets for Kids Einfuhrung englisch The engineer s ultimate guide to wavelet analysis von Robi Polikar englisch Erklarung der Wavelet Transformation mit Motivation die fur Leute mit Kenntnis der Fourier Transformation gut verstandlich ist Linksammlung zu Wavelets Wavelet Digest Home Page The Wavelet TransformEinzelnachweise Bearbeiten Strutz Bilddatenkompression SpringerVieweg 2009 Christoph Esser Universitat Mannheim Wavelet Transformation von Standbildern Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wavelet Transformation amp oldid 237517507