www.wikidata.de-de.nina.az

Daubechies Wavelets Unter benannt nach Ingrid Daubechies versteht man in der digitalen Signalverarbeitung eine Klasse or

Daubechies-Wavelets

Unter Daubechies-Wavelets, benannt nach Ingrid Daubechies, versteht man in der digitalen Signalverarbeitung eine Klasse orthogonaler Wavelet-Funktionen, die einen kompakten Träger haben. Sie gehören zu den am häufigsten praktisch eingesetzten Wavelets, die bei Wavelet-Transformationen zum Beispiel für Zwecke der digitalen Signalanalyse und Signalkompression Verwendung finden. Aufgrund ihrer einfachen Implementierbarkeit mittels der schnellen Wavelet-Transformation (FWT) sind sie auch Lehr(buch)beispiele der digitalen Signalverarbeitung.

Beschreibung Bearbeiten

Im Sinne der Funktionalanalysis erzeugt die Waveletfunktion zusammen mit ihren ganzzahligen Verschiebungen und den Stauchungen/Streckungen dieser Funktionen mit Zweierpotenzen als Faktor eine Orthonormalbasis des Hilbertraums , d. h., jede quadratintegrierbare Funktion kann in Teile zerlegt werden, die der Waveletfunktion ähnlich sehen. Seit 1909 war das Haar-Wavelet, eine stückweise konstante Funktion, mit dieser Eigenschaft bekannt. Es ist das Verdienst von Ingrid Daubechies, als erste eine stetige Funktion mit dieser Eigenschaft konstruiert zu haben.

Zu jedem Wavelet gibt es zwei endliche Folgen reeller Zahlen, welche als digitale Tief- und Hochpassfilter in einer Filterbank, die Teil der FWT ist, eingesetzt werden können. Die Länge dieser Filter, auch als Anzahl der Taps bezeichnet, ist Teil der Bezeichnung DN der einzelnen Daubechies-Wavelets. In der Praxis werden meist die Daubechies-Wavelets mit den Bezeichnungen D2-D20 verwendet. Aus theoretischen Gründen kommen nur gerade vor. Jedes Wavelet dieser Klasse hat die maximale Anzahl verschwindender Momente (in der engl. Literatur „vanishing moments“), d. h., die Waveletfunktion steht senkrecht (im Sinne von , d. h. das Integral des Produkts beider Funktionen ist Null) zu jedem Polynom mit Grad höchstens . Beispielsweise hat D2 (das Haar-Wavelet) ein verschwindendes Moment und ist senkrecht zu allen konstanten Funktionen, D4 hat zwei solcher Momente und ist senkrecht zu allen linearen Funktionen (was die konstanten Funktionen einschließt) usw. Die Anzahl der verschwindenden Momente ist ein Maß der Güte einer Skalierungsfunktion.

Von Ingrid Daubechies wurde ebenfalls eine Klasse biorthogonaler Wavelets mit ähnlicher Charakteristik eingeführt. Diese Wavelets sind nicht mehr orthogonal, aber dafür symmetrisch.

Die orthogonalen Daubechies-Wavelets
A=2, N=4, Träger [0,3] A=6, N=12, Träger [0,11] A=10, N=20, Träger [0,19]
Skalierungs- und Wavelet-Funktionen
Amplituden ihres Frequenzspektrums

Algebraische Bedingungen Bearbeiten

Die Skalierungsfunktion in einer jeden Multiskalenanalyse ist Lösung einer fraktalen Funktionalgleichung, die Verfeinerungsgleichung oder Zweiskalengleichung genannt wird:

wobei die endliche Folge reeller Zahlen Skalierungsfolge oder -maske genannt wird. Die Waveletfunktion ergibt sich auf ähnlichem Wege als Linearkombination

mit einer geeigneten endlichen Folge reeller Zahlen, die Waveletfolge oder -maske genannt wird.

Ist die Existenz einer stetigen Lösung der Verfeinerungsgleichung bekannt, so kann eine beliebig genaue Approximation dieser gefunden werden, indem man das endlichdimensionale lineare Gleichungssystem aufstellt, welches die Werte der Skalierungsfunktion an ganzzahligen Stellen erfüllen muss. Da dieses Gleichungssystem homogen ist, fügt man die Bedingung hinzu, dass die Summe dieser Werte 1 sein soll. Aus den Werten an den ganzzahligen Stellen lassen sich dann die Werte zu den Vielfachen von 1/2, aus diesen die Werte zu den Vielfachen von 1/4 etc. durch einfaches Einsetzen finden. Desgleichen gilt für die Werte der Waveletfunktion. Auf diese Weise wurden obige Diagramme erzeugt.

Orthogonale Wavelets Bearbeiten

Diese Klasse von Wavelets hat die Eigenschaft, dass die Skalierungsfunktion mitsamt ihren ganzzahligen Verschiebungen im Verein mit der Waveletfunktion mit ihren ganzzahligen Verschiebungen ein Orthonormalsystem im Hilbertraum L²(IR) bilden. Notwendig für diese Orthogonalität ist, dass die Skalierungsfolge senkrecht zu allen geradzahligen Verschiebungen ihrer selbst steht:

Im orthogonalen Fall ergeben sich die Koeffizienten der Waveletfolge direkt aus den Koeffizienten der Skalierungsfolge nach

Manchmal findet man auch das andere Vorzeichen in der Literatur.

Biorthogonale Wavelets Bearbeiten

Die zweite von Ingrid Daubechies zusammen mit Albert Cohen und Jean-Christophe Feauveau eingeführte Klasse sind die biorthogonalen Wavelets. Diese haben zwar nicht die oben genannte Orthogonalitätseigenschaft, weichen von dieser aber nur gering ab. Dafür können sie so konstruiert werden, dass die Skalierungsfunktion symmetrisch und die Waveletfunktion ebenfalls symmetrisch oder antisymmetrisch ist. Jedoch genügt hier nicht ein Paar erzeugender Funktionen, sondern es braucht zwei Skalierungsfunktionen , welche verschiedene Multiskalenanalysen erzeugen können, und dementsprechend zwei verschiedene Waveletfunktionen . Die zwei Skalierungsfolgen müssen nun für alle ganzzahligen m folgende Biorthogonalitätsbedingung erfüllen:

Ist diese erfüllt, ergeben sich die Waveletfolgen als

wobei N die Länge der Skalierungsfolge zu und M die Länge der Skalierungsfolge zu ist.

Der Jpeg-2000-Standard benutzt zur Bildkompression auch das biorthogonale Daubechies-5/3-Wavelet (auch als LeGall-5/3-Wavelet bekannt) für verlustfreie und das Daubechies-9/7-Wavelet (auch als Cohen-Daubechies-Feauveau 9/7 oder „CDF 9/7“ oder FBI-Fingerabdruck-Wavelet bekannt) für verlustbehaftete Kompression.

Analytische Bedingungen Bearbeiten

Verschwindende Momente und Polynomapproximation Bearbeiten

Eine notwendige Bedingung für die Existenz einer r-fach stetig differenzierbaren Lösung (r=0 für nur stetig) der Verfeinerungsgleichung ist, dass das Polynom (1+Z)r+1 die erzeugende Funktion bzw. Z-Transformation der Skalierungsfolge a teilt. Die maximale Potenz A, so dass (1+Z)A ein Faktor von a(Z) ist, heißt polynomiale Approximationsordnung. Sie gibt die Fähigkeit der Skalierungsfunktion an, Polynome bis zum Grad A-1 als Linearkombination ganzzahliger Verschiebungen der Skalierungsfunktion darzustellen.

  • Im biorthogonalen Fall ergibt eine Approximationsordnung A von eine gleiche Anzahl A von verschwindenden Momenten des dualen Wavelets , was daraus folgt, dass (1+Z)A ein Faktor von ist. Umgekehrt ist die Approximationsordnung à von gleich zur Anzahl à von verschwindenden Momenten des Wavelets .
  • Im orthogonalen Fall stimmen A und à überein, wie auch und ist.

Glattheit der Funktionen Bearbeiten

Ein Kriterium für die Lösbarkeit der Verfeinerungsgleichung ist das folgende: Faktorisieren wir , ein Polynom in mit , und gibt es eine Schranke der Art

so hat die Verfeinerungsgleichung eine -fach stetig differenzierbare Lösung mit Träger im Intervall , wobei .

Beispiele Bearbeiten

  • , wozu ein konstantes gehört. Nach obigem muss gelten, d. h. die Lösungen wären mindestens -fach stetig differenzierbar. In der Tat sind die Lösungen aber gerade Schoenbergs B-Splines der Ordnung , die eine -te stückweise konstante Ableitung besitzen, insbesondere ist die -te Ableitung Lipschitz-stetig. Der Fall , der aus dieser Behandlung herausfällt, entspricht der Indexfunktion des Einheitsintervalls und ist die Skalierungsfunktion des Haar-Wavelets.
  • Im Fall und linear kann man ansetzen . Bestimmen wir die Monomkoeffizienten dieses Polynoms 3. Grades und setzen diese 4 Koeffizienten in die Orthogonalitätsbedingung ein, so verbleibt am Ende genau die Bedingung . Setzen wir die positive Wurzel in ein, so erhalten wir die Skalierungsfolge des D4-Wavelets, siehe auch die Tabelle unten.

Konstruktion Bearbeiten

Die Daubechies-Wavelets entsprechen dem Fall minimaler Freiheitsgrade in der Bestimmung der Skalierungsfolgen. Einerseits kann bei gegebener Anzahl von Verschwindungsmomenten die minimale Länge der Skalierungsfolge gesucht werden, andererseits die maximale Anzahl von Verschwindungsmomenten bei gegebener Länge. In beiden Fällen gilt .

Orthogonale Wavelets Bearbeiten

Verwenden wir die obige Faktorisierung der Skalierungsfolge, , mit , so können die Orthogonalitätsbedingungen ebenfalls in einem Laurent-Polynom zusammengefasst werden:

mit dem Kürzel . Aus dieser Gleichung leitet sich ab, dass nicht funktionieren kann, somit mindestens gilt, woraus im minimalen Fall folgt.

Wir können mit der inversen Potenzreihe zu multiplizieren und an der Potenz abbrechen,

Diese Gleichung ist lösbar, ihre Lösungen ergeben sich aus einer Methode, die spektrale Faktorisierung genannt wird. Zuerst werden die Nullstellen der rechten Seite als Polynom in bestimmt. Daraus ergeben sich quadratische Gleichungen mit zueinander reziproken Lösungen, eine davon wird zugeordnet. Daher ergeben sich mögliche Lösungen, man kann sich z. B. für diejenige entscheiden, bei der alle Nullstellen von innerhalb bzw. alle außerhalb des Einheitskreises liegen.

In der folgenden Tabelle sind die so erhaltenen Skalierungsfolgen für die Wavelets D2-D20, d. h. für bis , aufgelistet.

Orthogonale Daubechies-Koeffizienten
D2 (Haar) D4 D6 D8 D10 D12 D14 D16 D18 D20
1 0,6830127 0,47046721 0,32580343 0,22641898 0,15774243 0,11009943 0,07695562 0,05385035 0,03771716
1 1,1830127 1,14111692 1,01094572 0,85394354 0,69950381 0,56079128 0,44246725 0,34483430 0,26612218
0,3169873 0,650365 0,8922014 1,02432694 1,06226376 1,03114849 0,95548615 0,85534906 0,74557507
−0,1830127 −0,19093442 −0,03967503 0,19576696 0,44583132 0,66437248 0,82781653 0,92954571 0,97362811
−0,12083221 −0,26450717 −0,34265671 −0,31998660 −0,20351382 −0,02238574 0,18836955 0,39763774
0,0498175 0,0436163 −0,04560113 −0,18351806 −0,31683501 −0,40165863 −0,41475176 −0,35333620
0,0465036 0,10970265 0,13788809 0,1008467 6,68194092e−4 −0,13695355 −0,27710988
−0,01498699 −0,00882680 0,03892321 0,11400345 0,18207636 0,21006834 0,18012745
−0,01779187 −0,04466375 −0,05378245 −0,02456390 0,04345268 0,13160299
4,71742793e−3 7,83251152e−4 −0,02343994 −0,06235021 −0,09564726 −0,10096657
6,75606236e−3 0,01774979 0,01977216 3,54892813e−4 −0,04165925
−1,52353381e−3 6,07514995e−4 0,01236884 0,03162417 0,04696981
−2,54790472e−3 −6,88771926e−3 −6,67962023e−3 5,10043697e−3
5,00226853e−4 −5,54004549e−4 −6,05496058e−3 −0,01517900
9,55229711e−4 2,61296728e−3 1,97332536e−3
−1,66137261e−4 3,25814671e−4 2,81768659e−3
−3,56329759e−4 −9,69947840e−4
−5,5645514e−5 −1,64709006e−4
1,32354367e−4
−1,875841e−5

Die Waveletkoeffizienten können abgeleitet werden, indem die Reihenfolge und das Vorzeichen für jeden zweiten Koeffizienten umgekehrt wird. Für D4 wäre dies z. B. −0,1830127, −0,3169873, 1,1830127, −0,6830127.

Biorthogonale symmetrische Wavelets Bearbeiten

Eng verwandt zu den Daubechies-Wavelets sind die Cohen-Daubechies-Feauveau-Wavelets (CDF-Wavelets). Im Gegensatz zu den Daubechies-Wavelets sind letztere jedoch nur paarweise orthogonal (biorthogonal), dafür aber symmetrisch.

CDF-Wavelets erlangten Bekanntheit, da sie im JPEG-2000-Standard Verwendung finden. Weiterhin ist das Wavelet, das in der Fingerabdruckdatenbank des FBI eingesetzt wird, ein CDF-Wavelet.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Unter Daubechies Wavelets benannt nach Ingrid Daubechies versteht man in der digitalen Signalverarbeitung eine Klasse orthogonaler Wavelet Funktionen die einen kompakten Trager haben Sie gehoren zu den am haufigsten praktisch eingesetzten Wavelets die bei Wavelet Transformationen zum Beispiel fur Zwecke der digitalen Signalanalyse und Signalkompression Verwendung finden Aufgrund ihrer einfachen Implementierbarkeit mittels der schnellen Wavelet Transformation FWT sind sie auch Lehr buch beispiele der digitalen Signalverarbeitung Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Algebraische Bedingungen 2 1 Orthogonale Wavelets 2 2 Biorthogonale Wavelets 3 Analytische Bedingungen 3 1 Verschwindende Momente und Polynomapproximation 3 2 Glattheit der Funktionen 3 3 Beispiele 4 Konstruktion 4 1 Orthogonale Wavelets 4 2 Biorthogonale symmetrische Wavelets 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksBeschreibung BearbeitenIm Sinne der Funktionalanalysis erzeugt die Waveletfunktion zusammen mit ihren ganzzahligen Verschiebungen und den Stauchungen Streckungen dieser Funktionen mit Zweierpotenzen als Faktor eine Orthonormalbasis des Hilbertraums L 2 R displaystyle L 2 mathbb R nbsp d h jede quadratintegrierbare Funktion kann in Teile zerlegt werden die der Waveletfunktion ahnlich sehen Seit 1909 war das Haar Wavelet eine stuckweise konstante Funktion mit dieser Eigenschaft bekannt Es ist das Verdienst von Ingrid Daubechies als erste eine stetige Funktion mit dieser Eigenschaft konstruiert zu haben Zu jedem Wavelet gibt es zwei endliche Folgen reeller Zahlen welche als digitale Tief und Hochpassfilter in einer Filterbank die Teil der FWT ist eingesetzt werden konnen Die Lange N displaystyle N nbsp dieser Filter auch als Anzahl der Taps bezeichnet ist Teil der Bezeichnung DNder einzelnen Daubechies Wavelets In der Praxis werden meist die Daubechies Wavelets mit den Bezeichnungen D2 D20 verwendet Aus theoretischen Grunden kommen nur gerade N 2 A displaystyle N 2A nbsp vor Jedes Wavelet dieser Klasse hat die maximale Anzahl A displaystyle A nbsp verschwindender Momente in der engl Literatur vanishing moments d h die Waveletfunktion steht senkrecht im Sinne von L 2 R displaystyle L 2 mathbb R nbsp d h das Integral des Produkts beider Funktionen ist Null zu jedem Polynom mit Grad hochstens A 1 displaystyle A 1 nbsp Beispielsweise hat D2 das Haar Wavelet ein verschwindendes Moment und ist senkrecht zu allen konstanten Funktionen D4 hat zwei solcher Momente und ist senkrecht zu allen linearen Funktionen was die konstanten Funktionen einschliesst usw Die Anzahl A displaystyle A nbsp der verschwindenden Momente ist ein Mass der Gute einer Skalierungsfunktion Von Ingrid Daubechies wurde ebenfalls eine Klasse biorthogonaler Wavelets mit ahnlicher Charakteristik eingefuhrt Diese Wavelets sind nicht mehr orthogonal aber dafur symmetrisch Die orthogonalen Daubechies Wavelets A 2 N 4 Trager 0 3 A 6 N 12 Trager 0 11 A 10 N 20 Trager 0 19 Skalierungs und Wavelet Funktionen nbsp nbsp nbsp Amplituden ihres Frequenzspektrums nbsp nbsp nbsp Algebraische Bedingungen BearbeitenDie Skalierungsfunktion in einer jeden Multiskalenanalyse ist Losung einer fraktalen Funktionalgleichung die Verfeinerungsgleichung oder Zweiskalengleichung genannt wird ϕ x k 0 N 1 a k ϕ 2 x k displaystyle phi x sum k 0 N 1 a k phi 2x k nbsp wobei die endliche Folge a 0 a N 1 displaystyle a 0 dots a N 1 nbsp reeller Zahlen Skalierungsfolge oder maske genannt wird Die Waveletfunktion ergibt sich auf ahnlichem Wege als Linearkombination ps x k 0 M 1 b k ϕ 2 x k displaystyle psi x sum k 0 M 1 b k phi 2x k nbsp mit einer geeigneten endlichen Folge b 0 b M 1 displaystyle b 0 dots b M 1 nbsp reeller Zahlen die Waveletfolge oder maske genannt wird Ist die Existenz einer stetigen Losung der Verfeinerungsgleichung bekannt so kann eine beliebig genaue Approximation dieser gefunden werden indem man das endlichdimensionale lineare Gleichungssystem aufstellt welches die Werte der Skalierungsfunktion an ganzzahligen Stellen erfullen muss Da dieses Gleichungssystem homogen ist fugt man die Bedingung hinzu dass die Summe dieser Werte 1 sein soll Aus den Werten an den ganzzahligen Stellen lassen sich dann die Werte zu den Vielfachen von 1 2 aus diesen die Werte zu den Vielfachen von 1 4 etc durch einfaches Einsetzen finden Desgleichen gilt fur die Werte der Waveletfunktion Auf diese Weise wurden obige Diagramme erzeugt Orthogonale Wavelets Bearbeiten Diese Klasse von Wavelets hat die Eigenschaft dass die Skalierungsfunktion mitsamt ihren ganzzahligen Verschiebungen im Verein mit der Waveletfunktion mit ihren ganzzahligen Verschiebungen ein Orthonormalsystem im Hilbertraum L IR bilden Notwendig fur diese Orthogonalitat ist dass die Skalierungsfolge senkrecht zu allen geradzahligen Verschiebungen ihrer selbst steht n Z a n a n 2 m 2 d m 0 displaystyle sum n in mathbb Z a n a n 2m 2 delta m 0 nbsp Im orthogonalen Fall ergeben sich die Koeffizienten der Waveletfolge direkt aus den Koeffizienten der Skalierungsfolge nach b n 1 n a N 1 n mit n 0 N 1 displaystyle b n 1 n a N 1 n qquad text mit n 0 ldots N 1 nbsp Manchmal findet man auch das andere Vorzeichen in der Literatur Biorthogonale Wavelets Bearbeiten Die zweite von Ingrid Daubechies zusammen mit Albert Cohen und Jean Christophe Feauveau eingefuhrte Klasse sind die biorthogonalen Wavelets Diese haben zwar nicht die oben genannte Orthogonalitatseigenschaft weichen von dieser aber nur gering ab Dafur konnen sie so konstruiert werden dass die Skalierungsfunktion symmetrisch und die Waveletfunktion ebenfalls symmetrisch oder antisymmetrisch ist Jedoch genugt hier nicht ein Paar erzeugender Funktionen sondern es braucht zwei Skalierungsfunktionen ϕ ϕ displaystyle phi tilde phi nbsp welche verschiedene Multiskalenanalysen erzeugen konnen und dementsprechend zwei verschiedene Waveletfunktionen ps ps displaystyle psi tilde psi nbsp Die zwei Skalierungsfolgen mussen nun fur alle ganzzahligen m folgende Biorthogonalitatsbedingung erfullen n Z a n a n 2 m 2 d m 0 displaystyle sum n in mathbb Z a n tilde a n 2m 2 delta m 0 nbsp Ist diese erfullt ergeben sich die Waveletfolgen als b n 1 n a M 1 n f u r n 0 M 1 b n 1 n a M 1 n f u r n 0 N 1 displaystyle begin alignedat 2 b n amp 1 n tilde a M 1 n amp qquad amp mathrm f ddot u r quad n 0 ldots M 1 tilde b n amp 1 n a M 1 n amp amp mathrm f ddot u r quad n 0 ldots N 1 end alignedat nbsp wobei N die Lange der Skalierungsfolge zu ϕ displaystyle phi nbsp und M die Lange der Skalierungsfolge zu ϕ displaystyle tilde phi nbsp ist Der Jpeg 2000 Standard benutzt zur Bildkompression auch das biorthogonale Daubechies 5 3 Wavelet auch als LeGall 5 3 Wavelet bekannt fur verlustfreie und das Daubechies 9 7 Wavelet auch als Cohen Daubechies Feauveau 9 7 oder CDF 9 7 oder FBI Fingerabdruck Wavelet bekannt fur verlustbehaftete Kompression Analytische Bedingungen BearbeitenVerschwindende Momente und Polynomapproximation Bearbeiten Eine notwendige Bedingung fur die Existenz einer r fach stetig differenzierbaren Losung r 0 fur nur stetig der Verfeinerungsgleichung ist dass das Polynom 1 Z r 1 die erzeugende Funktion bzw Z Transformation a Z a 0 a 1 Z a N 1 Z N 1 displaystyle a Z a 0 a 1 Z dots a N 1 Z N 1 nbsp der Skalierungsfolge a teilt Die maximale Potenz A so dass 1 Z A ein Faktor von a Z ist heisst polynomiale Approximationsordnung Sie gibt die Fahigkeit der Skalierungsfunktion an Polynome bis zum Grad A 1 als Linearkombination ganzzahliger Verschiebungen der Skalierungsfunktion ϕ displaystyle phi nbsp darzustellen Im biorthogonalen Fall ergibt eine Approximationsordnung A von ϕ displaystyle phi nbsp eine gleiche Anzahl A von verschwindenden Momenten des dualen Wavelets ps displaystyle tilde psi nbsp was daraus folgt dass 1 Z A ein Faktor von b Z Z 1 a Z 1 displaystyle b Z Z 1 a Z 1 nbsp ist Umgekehrt ist die Approximationsordnung A von ϕ displaystyle tilde phi nbsp gleich zur Anzahl A von verschwindenden Momenten des Wavelets ps displaystyle psi nbsp Im orthogonalen Fall stimmen A und A uberein wie auch ϕ ϕ displaystyle phi tilde phi nbsp und ps ps displaystyle psi tilde psi nbsp ist Glattheit der Funktionen Bearbeiten Ein Kriterium fur die Losbarkeit der Verfeinerungsgleichung ist das folgende Faktorisieren wir a Z 2 1 A 1 Z A p Z displaystyle a Z 2 1 A 1 Z A p Z nbsp p displaystyle p nbsp ein Polynom in Z displaystyle Z nbsp mit p 1 1 displaystyle p 1 1 nbsp und gibt es eine Schranke der Art 1 sup t 0 2 p p e i t lt 2 A 1 r displaystyle 1 leq sup t in 0 2 pi p e it lt 2 A 1 r nbsp fur ein r N displaystyle r in mathbb N nbsp so hat die Verfeinerungsgleichung eine r displaystyle r nbsp fach stetig differenzierbare Losung mit Trager im Intervall 0 N 1 displaystyle left 0 N 1 right nbsp wobei N A d e g p 1 displaystyle N A deg p 1 nbsp Beispiele Bearbeiten a Z 2 1 A 1 Z A displaystyle a Z 2 1 A 1 Z A nbsp wozu ein konstantes p Z 1 displaystyle p Z 1 nbsp gehort Nach obigem muss n lt A 1 displaystyle n lt A 1 nbsp gelten d h die Losungen waren mindestens A 2 displaystyle A 2 nbsp fach stetig differenzierbar In der Tat sind die Losungen aber gerade Schoenbergs B Splines der Ordnung A 1 displaystyle A 1 nbsp die eine A 1 displaystyle A 1 nbsp te stuckweise konstante Ableitung besitzen insbesondere ist die A 2 displaystyle A 2 nbsp te Ableitung Lipschitz stetig Der Fall A 1 displaystyle A 1 nbsp der aus dieser Behandlung herausfallt entspricht der Indexfunktion des Einheitsintervalls und ist die Skalierungsfunktion des Haar Wavelets Im Fall A 2 displaystyle A 2 nbsp und p displaystyle p nbsp linear kann man ansetzen a Z 1 4 1 Z 2 1 Z c 1 Z displaystyle a Z tfrac 1 4 1 Z 2 1 Z c 1 Z nbsp Bestimmen wir die Monomkoeffizienten dieses Polynoms 3 Grades und setzen diese 4 Koeffizienten in die Orthogonalitatsbedingung ein so verbleibt am Ende genau die Bedingung c 2 3 displaystyle c 2 3 nbsp Setzen wir die positive Wurzel in c displaystyle c nbsp ein so erhalten wir die Skalierungsfolge des D4 Wavelets siehe auch die Tabelle unten Konstruktion BearbeitenDie Daubechies Wavelets entsprechen dem Fall minimaler Freiheitsgrade in der Bestimmung der Skalierungsfolgen Einerseits kann bei gegebener Anzahl A displaystyle A nbsp von Verschwindungsmomenten die minimale Lange N displaystyle N nbsp der Skalierungsfolge gesucht werden andererseits die maximale Anzahl von Verschwindungsmomenten bei gegebener Lange In beiden Fallen gilt N 2 A displaystyle N 2A nbsp Orthogonale Wavelets Bearbeiten Verwenden wir die obige Faktorisierung der Skalierungsfolge a Z 2 1 A 1 Z A p Z displaystyle a Z 2 1 A 1 Z A p Z nbsp mit p 1 1 displaystyle p 1 1 nbsp so konnen die Orthogonalitatsbedingungen ebenfalls in einem Laurent Polynom zusammengefasst werden a Z a Z 1 a Z a Z 1 4 1 u A p Z p Z 1 1 u A p Z p Z 1 displaystyle a Z a Z 1 a Z a Z 1 4 quad Rightarrow quad 1 u A p Z p Z 1 1 u A p Z p Z 1 nbsp mit dem Kurzel u 1 4 2 Z Z 1 displaystyle u 1 4 cdot 2 Z Z 1 nbsp Aus dieser Gleichung leitet sich ab dass deg p lt A 1 displaystyle deg p lt A 1 nbsp nicht funktionieren kann somit mindestens deg p A 1 displaystyle deg p A 1 nbsp gilt woraus N 2 a displaystyle N 2a nbsp im minimalen Fall folgt Wir konnen mit der inversen Potenzreihe zu 1 u A displaystyle 1 u A nbsp multiplizieren und an der Potenz u A displaystyle u A nbsp abbrechen p Z p Z 1 k 0 A 1 A k u k k 0 A 1 A k 1 k u k displaystyle p Z p Z 1 sum k 0 A 1 binom A k u k sum k 0 A 1 binom A k 1 k u k nbsp Diese Gleichung ist losbar ihre Losungen ergeben sich aus einer Methode die spektrale Faktorisierung genannt wird Zuerst werden die Nullstellen der rechten Seite als Polynom in u displaystyle u nbsp bestimmt Daraus ergeben sich A 1 displaystyle A 1 nbsp quadratische Gleichungen Z displaystyle Z nbsp mit zueinander reziproken Losungen eine davon wird p Z displaystyle p Z nbsp zugeordnet Daher ergeben sich 2 A 1 displaystyle 2 A 1 nbsp mogliche Losungen man kann sich z B fur diejenige entscheiden bei der alle Nullstellen von p Z displaystyle p Z nbsp innerhalb bzw alle ausserhalb des Einheitskreises liegen In der folgenden Tabelle sind die so erhaltenen Skalierungsfolgen fur die Wavelets D2 D20 d h fur A 1 displaystyle A 1 nbsp bis A 10 displaystyle A 10 nbsp aufgelistet Orthogonale Daubechies Koeffizienten D2 Haar D4 D6 D8 D10 D12 D14 D16 D18 D201 0 6830127 0 47046721 0 32580343 0 22641898 0 15774243 0 11009943 0 07695562 0 05385035 0 037717161 1 1830127 1 14111692 1 01094572 0 85394354 0 69950381 0 56079128 0 44246725 0 34483430 0 266122180 3169873 0 650365 0 8922014 1 02432694 1 06226376 1 03114849 0 95548615 0 85534906 0 74557507 0 1830127 0 19093442 0 03967503 0 19576696 0 44583132 0 66437248 0 82781653 0 92954571 0 97362811 0 12083221 0 26450717 0 34265671 0 31998660 0 20351382 0 02238574 0 18836955 0 397637740 0498175 0 0436163 0 04560113 0 18351806 0 31683501 0 40165863 0 41475176 0 353336200 0465036 0 10970265 0 13788809 0 1008467 6 68194092e 4 0 13695355 0 27710988 0 01498699 0 00882680 0 03892321 0 11400345 0 18207636 0 21006834 0 18012745 0 01779187 0 04466375 0 05378245 0 02456390 0 04345268 0 131602994 71742793e 3 7 83251152e 4 0 02343994 0 06235021 0 09564726 0 100966576 75606236e 3 0 01774979 0 01977216 3 54892813e 4 0 04165925 1 52353381e 3 6 07514995e 4 0 01236884 0 03162417 0 04696981 2 54790472e 3 6 88771926e 3 6 67962023e 3 5 10043697e 35 00226853e 4 5 54004549e 4 6 05496058e 3 0 015179009 55229711e 4 2 61296728e 3 1 97332536e 3 1 66137261e 4 3 25814671e 4 2 81768659e 3 3 56329759e 4 9 69947840e 4 5 5645514e 5 1 64709006e 41 32354367e 4 1 875841e 5Die Waveletkoeffizienten konnen abgeleitet werden indem die Reihenfolge und das Vorzeichen fur jeden zweiten Koeffizienten umgekehrt wird Fur D4 ware dies z B 0 1830127 0 3169873 1 1830127 0 6830127 Biorthogonale symmetrische Wavelets Bearbeiten Eng verwandt zu den Daubechies Wavelets sind die Cohen Daubechies Feauveau Wavelets CDF Wavelets Im Gegensatz zu den Daubechies Wavelets sind letztere jedoch nur paarweise orthogonal biorthogonal dafur aber symmetrisch CDF Wavelets erlangten Bekanntheit da sie im JPEG 2000 Standard Verwendung finden Weiterhin ist das Wavelet das in der Fingerabdruckdatenbank des FBI eingesetzt wird ein CDF Wavelet Siehe auch BearbeitenHaar Wavelet Wavelet Kompression Gauss Laplace PyramideLiteratur BearbeitenCarlos Cabrelli Ursula Molter Generalized Self Similarity In Journal of Mathematical Analysis and Applications 230 1999 S 251 260 PDF Weblinks BearbeitenIngrid Daubechies Ten Lectures on Wavelets SIAM 1992 Hardware implementation of wavelets wavelet org es sei besonders auf die Gallery mit Tutorial und Buchempfehlungen verwiesen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Daubechies Wavelets amp oldid 229054152