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Oloid Formeln zum Anzahl der Ecken 0 displaystyle 0 Anzahl der Kanten 2 displaystyle 2 Kantenlänge 4 3 π r displaystyle

Oloid

Formeln zum Oloid
Anzahl der Ecken
Anzahl der Kanten
Kantenlänge
Anzahl der Flächen
Oberfläche
Volumen
Radius der erzeu-
genden Kreise
Seitenlänge des
zerlegten Würfels

Das Oloid (auch Polysomatoloid genannt) ist ein geometrischer Körper, der 1929 vom Bildhauer und Maschinenbauer Paul Schatz zusammen mit dem umstülpbaren Würfel entdeckt wurde. Es kann definiert werden als die konvexe Hülle zweier gleich großer, sich senkrecht schneidender Kreise, deren Mittelpunkte einen Abstand zueinander haben, der gleich ihrem Radius ist. Es hat keine Ecken, zwei Kanten, nämlich je einen 240°-Bogen der beiden sich schneidenden Kreise, und ist ansonsten glatt. Es besitzt Eigenschaften, die es deutlich von anderen Körpern unterscheiden, und gilt als Plausibilitätshinweis für die von Schatz begründete Inversionskinematik.

Struktur des Oloids

Ein Sphericon unterscheidet sich vom Oloid im Wesentlichen dadurch, dass es ebenso lang wie breit wie hoch ist , während das Oloid 1,5 mal so lang wie hoch ist .

Kontext Bearbeiten

Umstülpbarer Würfel
(6 Tetraeder mit blauen Außenseiten)
Die Enden der Diagonale (weiße Linie konstanter Länge) bewegen sich auf zwei gekreuzten Kreisbögen (blau und rot) hin und her, die Linie selbst bewegt sich auf einer Regelfläche.
Oloid-Modell: 2 Kreisscheiben aus Pappe mit Bindfäden, welche die Geradenschar der Regelfläche darstellen.

Paul Schatz entdeckte in den 1920er Jahren eine Zerlegung des Würfels in drei Teile, von denen einer aus sechs unregelmäßigen Tetraedern besteht. Verbindet man diese gelenkig an ihren je zwei im Würfel benachbarten Kanten, so entsteht eine komplett umstülpbare Kette.

Die ausgebreitete Kette hat zwischen gegenüberliegenden Gelenken drei gleich lange Diagonalen. Das sind die Raumdiagonalen des ursprünglichen Würfels, die auch während des Umstülpens erhalten bleiben und somit konstante Länge haben. Schatz beobachtete den Weg, den eine solche Diagonale beim Umstülpen der Kette nimmt, und entdeckte dabei das Oloid. Fixiert man eines der Tetraeder und beobachtet den Weg der ihm gegenüberliegenden Diagonale (Abbildung links), so erkennt man, dass die von ihr überstrichene Fläche eine Regelfläche und die Oberfläche eines geometrischen Körpers ist, den Schatz Oloid nannte.

Die erste Beschreibung der mathematischen Eigenschaften aus analytischer Sicht erfolgte 1997.

Das Oloid ist Teil des Oloid-Rührers, der zum Umwälzen und Belüften von Wasser, z. B. in der Abwasserreinigung und Gewässersanierung, eingesetzt wird. Eine weitere Anwendungsform als Alternative zum Schiffspropeller hat bislang nicht das Stadium von Prototypen und Versuchen überschreiten können.

Eigenschaften Bearbeiten

Die Spur, die ein Oloid beim Abrollen hinterlässt, ist gleich seinem Netz

Das Oloid ist einer der wenigen bekannten Körper, die über ihre gesamte Oberfläche abrollen. Seine Oberfläche ist als Ganzes eine abwickelbare Fläche. Im Unterschied zum Kegel oder Zylinder lässt sich die komplette Oberfläche des Oloids (und nicht nur eine Mantelfläche) knickfrei aus einem einzelnen Stück Pappe herstellen.

Setzt man es auf eine Schräge, so rollt es in einer taumelnden Bewegung hinunter, ohne dabei jemals über seine Kanten zu poltern. Bemerkenswert ist, dass die Oberfläche genau so groß ist wie die einer Kugel, die den gleichen Radius hat wie die beiden das Oloid erzeugenden Kreise.

Der Winkel an den Mittelpunkten der Kanten beträgt 60°. Betrachtet man das Oloid senkrecht zu den beiden Kanten, so bilden die Konturen im Querschnitt exakt ein Quadrat, was bei handwerklich hergestellten Oloiden eine Qualitätseinschätzung möglich macht, da leichte Unsymmetrien schnell erkannt werden.

Mathematik Bearbeiten

Der Farbverlauf illustriert die Lage der Verbindungsstrecken zwischen den Kanten für den gesamten Parameterbereich von

Im Weiteren sei der Radius der erzeugenden Kreise. Die beiden Kanten haben jeweils eine Länge von . Die Oberfläche ist eine Regelfläche: Zu jedem Punkt einer Kante gibt es (bis auf Spiegelung) genau einen Punkt auf der anderen Kante, sodass die Verbindungsstrecke komplett auf der Oberfläche des Oloids liegt. Die Länge dieser Strecke ist für alle Punkte , eben die Länge der drei Raumdiagonalen der Tetraederkette und des zerlegten Würfels, der somit eine Seitenlänge von hat.

Die Seitenlänge des oben erwähnten Quadrats, das die Konturen in einem bestimmten Blickwinkel bilden, ist , womit der minimale Quader, der das Oloid umfasst, die Maße hat.

Konstruktion Bearbeiten

Für eine Einbettung in den dreidimensionalen euklidischen Raum setze den Mittelpunkt des liegenden Kreises auf den Ursprung, den des stehenden Kreises auf . Damit ist für der Punkt auf der liegenden Kante gegeben durch und . Der Satz des Pythagoras liefert dann die beiden Punkte auf der stehenden Kante, die zu einen Abstand von haben: mit und . Je nach Vorzeichen ist dies ein Punkt auf der oberen oder unteren Hälfte des Oloids. Für theoretische Betrachtungen ist aufgrund der Symmetrien im Oloid eine Einschränkung des Parameterbereichs von auf beispielsweise (also auf die Hälfte der Oberfläche und weiter auf ein Viertel mittels Festlegung des Vorzeichens in ) möglich. Auch zur Visualisierung kann dies sinnvoll sein. Damit umgeht man das singuläre Verhalten einiger der relevanten Funktionen an den Intervallgrenzen, also den Endpunkten der liegenden Kante.

Parametrisierung der Oberfläche Bearbeiten

Mit Hilfe der Geradengleichung = 0 gelangt man nun zu folgender Parametrisierung der Oberfläche: , mit

Für ist dies ein Punkt auf der liegenden Kante, für auf der stehenden. Eine Koordinatendarstellung ist durch die unten stehende algebraische Fläche gegeben.

Parametrisierung des Volumens Bearbeiten

Aus der Oberflächenparametrisierung erhält man eine Parametrisierung für den vollen Körper, indem man nur mit einem Höhenparameter multipliziert: , mit

Für ergibt dies die Oberfläche, für die waagrechte Schnittfläche durch die Mitte des Oloids. Zu beachten ist, dass einen Teil der Symmetrien bricht, weshalb hier der Definitionsbereich von nur noch auf die Hälfte (und nicht mehr auf ein Viertel) eingeschränkt werden kann.

Oberflächeninhalt Bearbeiten

Die Größe der Oberfläche lässt sich mit dem Oberflächenintegral exakt berechnen. Dazu bildet man den euklidischen Betrag des Kreuzprodukts der sechs partiellen Ableitungen der Oberflächenparametrisierung und integriert dies nach und . Es ergibt sich, dass die Oberfläche genau eine Größe von hat – dasselbe wie eine Kugel vom Radius .

Mit der obigen Parametrisierung der Oberfläche und den erwähnten Einschränkungen ergibt sich für den Oberflächeninhalt :

Die Integraltransformation beruht auf , womit man eine Stammfunktion erhält, bei der mit den entsprechenden Grenzen nur zwei Terme übrigbleiben. Für den Arkussinus gilt: (da ), und der letzte Schritt ist die Funktionalgleichung des Arkustangens.

Volumeninhalt Bearbeiten

Im Gegensatz dazu enthält jede bisher bekannte Volumenformel für das Oloid mehrere elliptische Integrale, die sich nur numerisch auswerten lassen. Beim analytischen Ansatz mit dem Volumenintegral des Betrags der Jacobideterminante der Volumenparametrisierung sorgt die Wahl von für eine Vereinfachung in den ersten Schritten: Da nur von abhängt, sind zwei der partiellen Ableitungen gleich null. Damit entfallen zwei Drittel der Terme in der Determinantenberechnung, insbesondere taucht kein mehr auf. Die Determinante ist innerhalb der Grenzen stets positiv und damit gleich ihrem Betrag.

Dabei lassen sich die unvollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art ( und ) durch die korrespondierenden vollständigen elliptischen Integrale ( und ) ausdrücken, weil die Argumente über den Arkuskosekans zusammenhängen.

Die irrationale Konstante 3,052418468… lässt sich zwar beliebig genau berechnen, aber es sind keine algebraischen Zusammenhänge zu anderen Konstanten bekannt und auch nicht, ob sie transzendent ist.

Die Oloid-Fläche Bearbeiten

Das Oloid kann als Teil einer algebraischen Fläche vom Grad 8 (also einer Oktik) gesehen werden. Die Lösungsmenge der definierenden Polynomgleichung liefert die Oberfläche eines Oloids mit Radius , eingebettet in den dreidimensionalen Raum mit den Koordinatenachsen , und , der Mittelpunkt der Fläche liegt bei . Allerdings sind die einschränkenden Nebenbedingungen, um ausschließlich das Oloid zu erhalten, nicht trivial. Die Polynomgleichung besteht aus 48 Termen mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten, das Maximum der Exponentensummen der Monome ist 8 und es gibt keinen konstanten Term. Ersetzt man durch , wird die Fläche auf der -Achse so verschoben, dass der Mittelpunkt im Nullpunkt liegt.

Ein Sphericon mit Abwicklung

Sphericon Bearbeiten

Wird ein gleichseitiger, gerader (Kreis-)Doppelkegel in einer Ebene geschnitten, die beide Spitzen enthält, so haben die Schnittflächen die Form eines Quadrats. Wird nun eine dieser beiden Kegelhälften um 90° rotiert (Achse senkrecht und mittig zur Schnittfläche) und anschließend wieder mit der anderen Hälfte zusammengefügt, erhält man ein Sphericon.

Die Oberfläche des Sphericon beträgt

Das Volumen beträgt

Dies ist die Hälfte des Volumens einer Kugel mit gleichem Radius.

Literatur Bearbeiten

  • Tobias Langscheid, Tilo Richter (Hg.): Oloid – Form der Zukunft. Mit Beiträgen von Dirk Böttcher, Andreas Chiquet, Heinrich Frontzek u. a., niggli Verlag 2023, ISBN 978-3-7212-1024-8
  • Paul Schatz: Rhythmusforschung und Technik 3. Auflage unter dem Titel: Die Welt ist umstülpbar: Rhythmusforschung und Technik. niggli Verlag 2008
  • Spektrum der Wissenschaft: Mathematische Unterhaltungen III, Artikel: Eine Reise in das Reich des Würfels, Seiten 12–17, Dossier 2/2004
  • brand eins: Heft 12, 2017, Seiten 120–127 Das Geheimnis des umgestülpten Würfels

Weblinks Bearbeiten

Commons: Oloid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hellmuth Stachel und Hans Dirnböck: The Development of the Oloid, Heldermann-Verlag, 1997 (PDF)
  2. Krajewski-Pumpentechnik, 2. Teichbelüftung/Umwälzung (Oloid-Rührer) (Memento vom 11. Juni 2011 im Internet Archive)
  3. Abrollen eines Oloids, YouTube-Video
  4. Berechnung der Stammfunktion zur Oberfläche mit Wolframs Online-Integralrechner
  5. Berechnung der Stammfunktion zum Volumen mit Wolframs Online-Integralrechner
  6. Die benutzten Identitäten für F und E auf wolfram.com (englisch)
  7. Oloid und Kontext (französisch)
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Formeln zum Oloid Anzahl der Ecken 0 displaystyle 0 Anzahl der Kanten 2 displaystyle 2 Kantenlange 4 3 p r displaystyle tfrac 4 3 pi r Anzahl der Flachen 1 displaystyle 1 Oberflache 4 p r 2 displaystyle 4 pi r 2 Volumen 3 05 r 3 displaystyle approx 3 05r 3 Radius der erzeu genden Kreise r displaystyle r Seitenlange des zerlegten WurfelsDas Oloid auch Polysomatoloid genannt ist ein geometrischer Korper der 1929 vom Bildhauer und Maschinenbauer Paul Schatz zusammen mit dem umstulpbaren Wurfel entdeckt wurde Es kann definiert werden als die konvexe Hulle zweier gleich grosser sich senkrecht schneidender Kreise deren Mittelpunkte einen Abstand zueinander haben der gleich ihrem Radius ist Es hat keine Ecken zwei Kanten namlich je einen 240 Bogen der beiden sich schneidenden Kreise und ist ansonsten glatt Es besitzt Eigenschaften die es deutlich von anderen Korpern unterscheiden und gilt als Plausibilitatshinweis fur die von Schatz begrundete Inversionskinematik Struktur des OloidsEin Sphericon unterscheidet sich vom Oloid im Wesentlichen dadurch dass es ebenso lang wie breit wie hoch ist l b h 2 r displaystyle l b h 2r wahrend das Oloid 1 5 mal so lang wie hoch ist l 1 5 b 1 5 h 3 r displaystyle l 1 5b 1 5h 3r Inhaltsverzeichnis 1 Kontext 2 Eigenschaften 3 Mathematik 3 1 Konstruktion 3 2 Parametrisierung der Oberflache 3 3 Parametrisierung des Volumens 3 4 Oberflacheninhalt 3 5 Volumeninhalt 3 6 Die Oloid Flache 4 Sphericon 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseKontext Bearbeiten nbsp Umstulpbarer Wurfel 6 Tetraeder mit blauen Aussenseiten Die Enden der Diagonale weisse Linie konstanter Lange bewegen sich auf zwei gekreuzten Kreisbogen blau und rot hin und her die Linie selbst bewegt sich auf einer Regelflache nbsp Oloid Modell 2 Kreisscheiben aus Pappe mit Bindfaden welche die Geradenschar der Regelflache darstellen Paul Schatz entdeckte in den 1920er Jahren eine Zerlegung des Wurfels in drei Teile von denen einer aus sechs unregelmassigen Tetraedern besteht Verbindet man diese gelenkig an ihren je zwei im Wurfel benachbarten Kanten so entsteht eine komplett umstulpbare Kette Die ausgebreitete Kette hat zwischen gegenuberliegenden Gelenken drei gleich lange Diagonalen Das sind die Raumdiagonalen des ursprunglichen Wurfels die auch wahrend des Umstulpens erhalten bleiben und somit konstante Lange haben Schatz beobachtete den Weg den eine solche Diagonale beim Umstulpen der Kette nimmt und entdeckte dabei das Oloid Fixiert man eines der Tetraeder und beobachtet den Weg der ihm gegenuberliegenden Diagonale Abbildung links so erkennt man dass die von ihr uberstrichene Flache eine Regelflache und die Oberflache eines geometrischen Korpers ist den Schatz Oloid nannte Die erste Beschreibung der mathematischen Eigenschaften aus analytischer Sicht erfolgte 1997 1 Das Oloid ist Teil des Oloid Ruhrers der zum Umwalzen und Beluften von Wasser z B in der Abwasserreinigung und Gewassersanierung eingesetzt wird 2 Eine weitere Anwendungsform als Alternative zum Schiffspropeller hat bislang nicht das Stadium von Prototypen und Versuchen uberschreiten konnen Eigenschaften Bearbeiten nbsp Die Spur die ein Oloid beim Abrollen hinterlasst ist gleich seinem NetzDas Oloid ist einer der wenigen bekannten Korper die uber ihre gesamte Oberflache abrollen 3 Seine Oberflache ist als Ganzes eine abwickelbare Flache Im Unterschied zum Kegel oder Zylinder lasst sich die komplette Oberflache des Oloids und nicht nur eine Mantelflache knickfrei aus einem einzelnen Stuck Pappe herstellen Setzt man es auf eine Schrage so rollt es in einer taumelnden Bewegung hinunter ohne dabei jemals uber seine Kanten zu poltern Bemerkenswert ist dass die Oberflache genau so gross ist wie die einer Kugel die den gleichen Radius hat wie die beiden das Oloid erzeugenden Kreise Der Winkel an den Mittelpunkten der Kanten betragt 60 Betrachtet man das Oloid senkrecht zu den beiden Kanten so bilden die Konturen im Querschnitt exakt ein Quadrat was bei handwerklich hergestellten Oloiden eine Qualitatseinschatzung moglich macht da leichte Unsymmetrien schnell erkannt werden Mathematik Bearbeiten nbsp Der Farbverlauf illustriert die Lage der Verbindungsstrecken zwischen den Kanten fur den gesamten Parameterbereich von t displaystyle t nbsp Im Weiteren sei r displaystyle r nbsp der Radius der erzeugenden Kreise Die beiden Kanten haben jeweils eine Lange von 4 3 p r displaystyle tfrac 4 3 pi r nbsp Die Oberflache ist eine Regelflache Zu jedem Punkt x displaystyle x nbsp einer Kante gibt es bis auf Spiegelung genau einen Punkt y displaystyle y nbsp auf der anderen Kante sodass die Verbindungsstrecke x y displaystyle bar xy nbsp komplett auf der Oberflache des Oloids liegt Die Lange dieser Strecke ist fur alle Punkte 3 r displaystyle sqrt 3 r nbsp eben die Lange der drei Raumdiagonalen der Tetraederkette und des zerlegten Wurfels der somit eine Seitenlange von r displaystyle r nbsp hat Die Seitenlange des oben erwahnten Quadrats das die Konturen in einem bestimmten Blickwinkel bilden ist 2 r displaystyle sqrt 2 r nbsp womit der minimale Quader der das Oloid umfasst die Masse 3 r 2 r 2 r displaystyle 3r cdot sqrt 2 r cdot sqrt 2 r nbsp hat Konstruktion Bearbeiten Fur eine Einbettung in den dreidimensionalen euklidischen Raum setze den Mittelpunkt des liegenden Kreises auf den Ursprung den des stehenden Kreises auf r 0 0 displaystyle r 0 0 nbsp Damit ist fur t p 3 5 p 3 displaystyle t in left tfrac pi 3 tfrac 5 pi 3 right nbsp der Punkt x x 1 x 2 0 displaystyle x x 1 x 2 0 nbsp auf der liegenden Kante gegeben durch x 1 r cos t displaystyle x 1 r cos t nbsp und x 2 r sin t displaystyle x 2 r sin t nbsp Der Satz des Pythagoras liefert dann die beiden Punkte auf der stehenden Kante die zu x displaystyle x nbsp einen Abstand von 3 r displaystyle sqrt 3 r nbsp haben y y 1 0 y 3 displaystyle y y 1 0 pm y 3 nbsp mit y 1 r 1 cos t displaystyle y 1 tfrac r 1 cos t nbsp und y 3 r 1 2 cos t 1 cos t displaystyle y 3 tfrac r sqrt 1 2 cos t 1 cos t nbsp Je nach Vorzeichen ist dies ein Punkt auf der oberen oder unteren Halfte des Oloids Fur theoretische Betrachtungen ist aufgrund der Symmetrien im Oloid eine Einschrankung des Parameterbereichs von t displaystyle t nbsp auf beispielsweise p 5 p 3 displaystyle left pi tfrac 5 pi 3 right nbsp also auf die Halfte der Oberflache und weiter auf ein Viertel mittels Festlegung des Vorzeichens in y 3 displaystyle y 3 nbsp moglich Auch zur Visualisierung kann dies sinnvoll sein Damit umgeht man das singulare Verhalten einiger der relevanten Funktionen an den Intervallgrenzen also den Endpunkten der liegenden Kante Parametrisierung der Oberflache Bearbeiten Mit Hilfe der Geradengleichung x i s y i x i displaystyle x i s y i x i nbsp 0 gelangt man nun zu folgender Parametrisierung der Oberflache F 0 1 p 3 5 p 3 R 3 displaystyle Phi colon 0 1 times left tfrac pi 3 tfrac 5 pi 3 right to mathbb R 3 nbsp F s t F 1 F 2 F 3 displaystyle Phi s t Phi 1 Phi 2 pm Phi 3 nbsp mit F 1 r s 1 cos t 1 s cos t displaystyle Phi 1 r left frac s 1 cos t 1 s cos t right nbsp F 2 r 1 s sin t displaystyle Phi 2 r 1 s sin t nbsp F 3 r s 1 2 cos t 1 cos t displaystyle Phi 3 r frac s sqrt 1 2 cos t 1 cos t nbsp Fur s 0 displaystyle s 0 nbsp ist dies ein Punkt auf der liegenden Kante fur s 1 displaystyle s 1 nbsp auf der stehenden Eine Koordinatendarstellung ist durch die unten stehende algebraische Flache gegeben Parametrisierung des Volumens Bearbeiten Aus der Oberflachenparametrisierung erhalt man eine Parametrisierung fur den vollen Korper indem man nur F 3 displaystyle Phi 3 nbsp mit einem Hohenparameter h 0 1 displaystyle h in 0 1 nbsp multipliziert PS 0 1 0 1 p 3 5 p 3 R 3 displaystyle Psi colon 0 1 times 0 1 times left tfrac pi 3 tfrac 5 pi 3 right to mathbb R 3 nbsp PS h s t PS 1 PS 2 PS 3 displaystyle Psi h s t Psi 1 Psi 2 pm Psi 3 nbsp mit PS 1 F 1 displaystyle Psi 1 Phi 1 nbsp PS 2 F 2 displaystyle Psi 2 Phi 2 nbsp PS 3 h F 3 displaystyle Psi 3 h Phi 3 nbsp Fur h 1 displaystyle h 1 nbsp ergibt dies die Oberflache fur h 0 displaystyle h 0 nbsp die waagrechte Schnittflache durch die Mitte des Oloids Zu beachten ist dass PS displaystyle Psi nbsp einen Teil der Symmetrien bricht weshalb hier der Definitionsbereich von t displaystyle t nbsp nur noch auf die Halfte und nicht mehr auf ein Viertel eingeschrankt werden kann Oberflacheninhalt Bearbeiten Die Grosse der Oberflache lasst sich mit dem Oberflachenintegral exakt berechnen Dazu bildet man den euklidischen Betrag des Kreuzprodukts der sechs partiellen Ableitungen der Oberflachenparametrisierung und integriert dies nach s displaystyle s nbsp und t displaystyle t nbsp Es ergibt sich dass die Oberflache genau eine Grosse von 4 p r 2 displaystyle 4 pi r 2 nbsp hat dasselbe wie eine Kugel vom Radius r displaystyle r nbsp Mit der obigen Parametrisierung der Oberflache und den erwahnten Einschrankungen ergibt sich fur den Oberflacheninhalt F displaystyle F nbsp F 8 p 3 p 2 0 1 F s F t d s d t displaystyle F 8 int pi frac 3 pi 2 int 0 1 left frac partial Phi partial s times frac partial Phi partial t right ds dt nbsp 8 p 3 p 2 0 1 2 r 2 3 s 2 cos t 1 1 2 cos t 1 cos t d s d t displaystyle 8 int pi frac 3 pi 2 int 0 1 sqrt 2 r 2 frac 3s 2 cos t 1 sqrt 1 2 cos t 1 cos t ds dt nbsp 8 r 2 p 3 p 2 2 1 2 cos t 1 cos t 0 1 3 s cos t 2 cos t 1 d s 1 2 2 cos t d t displaystyle 8r 2 int pi frac 3 pi 2 frac sqrt 2 sqrt 1 2 cos t 1 cos t underbrace int 0 1 3s cos t 2 cos t 1 ds tfrac 1 2 left 2 cos t right dt nbsp 8 r 2 p 3 p 2 2 cos t 2 1 2 cos t 1 cos t d t displaystyle 8r 2 int pi frac 3 pi 2 frac 2 cos t sqrt 2 1 2 cos t 1 cos t dt nbsp 8 r 2 0 p 2 2 cos t 2 1 2 cos t 1 cos t d t displaystyle 8r 2 int 0 frac pi 2 frac 2 cos t sqrt 2 1 2 cos t 1 cos t dt nbsp 4 8 r 2 arctan 2 arcsin 1 3 displaystyle 8r 2 left arctan sqrt 2 arcsin tfrac 1 sqrt 3 right nbsp 8 r 2 arctan 2 arctan 1 2 8 r 2 p 2 4 p r 2 displaystyle 8r 2 left arctan sqrt 2 arctan tfrac 1 sqrt 2 right 8r 2 frac pi 2 4 pi r 2 nbsp Die Integraltransformation beruht auf cos x cos x p displaystyle cos x cos left x pm pi right nbsp womit man eine Stammfunktion erhalt bei der mit den entsprechenden Grenzen nur zwei Terme ubrigbleiben Fur den Arkussinus gilt arcsin x arctan x 1 x 2 displaystyle arcsin x arctan tfrac x sqrt 1 x 2 nbsp da x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp und der letzte Schritt ist die Funktionalgleichung des Arkustangens Volumeninhalt Bearbeiten Im Gegensatz dazu enthalt jede bisher bekannte Volumenformel fur das Oloid mehrere elliptische Integrale die sich nur numerisch auswerten lassen Beim analytischen Ansatz mit dem Volumenintegral des Betrags der Jacobideterminante der Volumenparametrisierung sorgt die Wahl von PS displaystyle Psi nbsp fur eine Vereinfachung in den ersten Schritten Da nur PS 3 displaystyle Psi 3 nbsp von h displaystyle h nbsp abhangt sind zwei der partiellen Ableitungen gleich null Damit entfallen zwei Drittel der Terme in der Determinantenberechnung insbesondere taucht kein h displaystyle h nbsp mehr auf Die Determinante ist innerhalb der Grenzen stets positiv und damit gleich ihrem Betrag V 4 p 5 p 3 0 1 0 1 det D PS d h d s d t displaystyle V 4 int pi frac 5 pi 3 int 0 1 int 0 1 left det D Psi right dh ds dt nbsp 4 r 3 p 5 p 3 1 2 cos t 1 cos t 2 0 1 s 3 s 2 cos t 1 0 1 1 d h 1 d s 1 2 d t displaystyle 4r 3 int pi frac 5 pi 3 frac sqrt 1 2 cos t left 1 cos t right 2 underbrace int 0 1 s left left 3s 2 right cos t 1 right overbrace int 0 1 1 dh 1 ds tfrac 1 2 dt nbsp 2 r 3 p 5 p 3 1 2 cos t 1 cos t 2 d t displaystyle 2r 3 int pi frac 5 pi 3 frac sqrt 1 2 cos t left 1 cos t right 2 dt nbsp 2 r 3 0 2 p 3 1 2 cos t 1 cos t 2 d t displaystyle 2r 3 int 0 frac 2 pi 3 frac sqrt 1 2 cos t left 1 cos t right 2 dt nbsp 5 2 r 3 1 3 F p 3 4 3 E p 3 4 3 displaystyle 2r 3 cdot tfrac 1 sqrt 3 left F tfrac pi 3 tfrac 4 3 E tfrac pi 3 tfrac 4 3 right nbsp 2 r 3 1 2 K 3 4 2 3 E 3 4 1 6 K 3 4 displaystyle 2r 3 left tfrac 1 2 K tfrac 3 4 tfrac 2 3 E tfrac 3 4 tfrac 1 6 K tfrac 3 4 right nbsp 2 3 r 3 K 3 4 2 E 3 4 displaystyle tfrac 2 3 r 3 left K tfrac 3 4 2E tfrac 3 4 right nbsp 3 052 4 r 3 displaystyle approx 3 0524 r 3 nbsp Dabei lassen sich die unvollstandigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art F displaystyle F nbsp und E displaystyle E nbsp durch die korrespondierenden vollstandigen elliptischen Integrale K displaystyle K nbsp und E displaystyle E nbsp ausdrucken weil die Argumente uber den Arkuskosekans zusammenhangen 6 Die irrationale Konstante 3 052418468 lasst sich zwar beliebig genau berechnen aber es sind keine algebraischen Zusammenhange zu anderen Konstanten bekannt und auch nicht ob sie transzendent ist Die Oloid Flache Bearbeiten Das Oloid kann als Teil einer algebraischen Flache vom Grad 8 also einer Oktik gesehen werden 7 Die Losungsmenge der definierenden Polynomgleichung O displaystyle O nbsp liefert die Oberflache eines Oloids mit Radius r 1 displaystyle r 1 nbsp eingebettet in den dreidimensionalen Raum mit den Koordinatenachsen x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp und z displaystyle z nbsp der Mittelpunkt der Flache liegt bei 1 2 0 0 displaystyle tfrac 1 2 0 0 nbsp Allerdings sind die einschrankenden Nebenbedingungen um ausschliesslich das Oloid zu erhalten nicht trivial Die Polynomgleichung besteht aus 48 Termen mit ausschliesslich ganzzahligen Koeffizienten das Maximum der Exponentensummen der Monome ist 8 und es gibt keinen konstanten Term Ersetzt man x displaystyle x nbsp durch x 1 2 displaystyle x tfrac 1 2 nbsp wird die Flache auf der x displaystyle x nbsp Achse so verschoben dass der Mittelpunkt im Nullpunkt liegt O x 8 3 y 8 3 z 8 6 x 4 y 4 displaystyle O colon x 8 3y 8 3z 8 6x 4 y 4 nbsp 8 x 2 y 6 6 x 4 z 4 8 x 2 z 6 6 y 2 z 6 displaystyle 8x 2 y 6 6x 4 z 4 8x 2 z 6 6y 2 z 6 nbsp 12 x 2 y 2 z 4 9 y 4 z 4 6 y 6 z 2 12 x 2 y 4 z 2 displaystyle 12x 2 y 2 z 4 9y 4 z 4 6y 6 z 2 12x 2 y 4 z 2 nbsp 6 x 4 y 2 z 2 4 x 7 12 x 3 y 4 4 x y 6 displaystyle 6x 4 y 2 z 2 4x 7 12x 3 y 4 4xy 6 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Schnittflachen die Form eines Quadrats Wird nun eine dieser beiden Kegelhalften um 90 rotiert Achse senkrecht und mittig zur Schnittflache und anschliessend wieder mit der anderen Halfte zusammengefugt erhalt man ein Sphericon Die Oberflache des Sphericon betragt F 2 2 p r 2 displaystyle F 2 sqrt 2 pi r 2 nbsp Das Volumen betragt V 2 3 p r 3 displaystyle V frac 2 3 pi r 3 nbsp Dies ist die Halfte des Volumens einer Kugel mit gleichem Radius nbsp nbsp source source source source source source nbsp Literatur BearbeitenTobias Langscheid Tilo Richter Hg Oloid Form der Zukunft Mit Beitragen von Dirk Bottcher Andreas Chiquet Heinrich Frontzek u a niggli Verlag 2023 ISBN 978 3 7212 1024 8 Paul Schatz Rhythmusforschung und Technik 3 Auflage unter dem Titel Die Welt ist umstulpbar Rhythmusforschung und Technik niggli Verlag 2008 Spektrum der Wissenschaft Mathematische Unterhaltungen III Artikel Eine Reise in das Reich des Wurfels Seiten 12 17 Dossier 2 2004 brand eins Heft 12 2017 Seiten 120 127 Das Geheimnis des umgestulpten WurfelsWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Oloid Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Franz Zahaurek Das Oloid nach Paul Schatz Jurgen Meier weitere Details und Visualisierungen Mathematischer Kontext zum Oloid mit Abbildungen franzosisch Einzelnachweise Bearbeiten Hellmuth Stachel und Hans Dirnbock The Development of the Oloid Heldermann Verlag 1997 PDF Krajewski Pumpentechnik 2 Teichbeluftung Umwalzung Oloid Ruhrer Archivierte Kopie Memento vom 11 Juni 2011 im Internet Archive Abrollen eines Oloids YouTube Video Berechnung der Stammfunktion zur Oberflache mit Wolframs Online Integralrechner Berechnung der Stammfunktion zum Volumen mit Wolframs Online Integralrechner Die benutzten Identitaten fur F und E auf wolfram com englisch Oloid und Kontext franzosisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Oloid amp oldid 239568020 Sphericon