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Satz von Stone Weierstraß Der Approximationssatz von Stone Weierstraß nach Marshall Harvey Stone und Karl Weierstraß ist

Satz von Stone-Weierstraß

Der Approximationssatz von Stone-Weierstraß (nach Marshall Harvey Stone und Karl Weierstraß) ist ein Satz aus der Analysis, der sagt, unter welchen Voraussetzungen man jede stetige Funktion durch einfachere Funktionen beliebig gut approximieren kann.

Satz Bearbeiten

Jede Unteralgebra P der Funktionenalgebra A der stetigen reellwertigen oder komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum M,

liegt bezüglich der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz dicht in A.

Das bedeutet: Jede stetige Funktion von M in den Grundkörper kann unter den angegebenen Voraussetzungen durch Funktionen aus P beliebig gut gleichmäßig approximiert werden.

Folgerungen Bearbeiten

  • Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Approximationssatzes von Weierstraß, wonach man jede stetige Funktion gleichmäßig auf einem kompakten Intervall durch Polynome approximieren kann. Dieser Spezialfall kann leicht aus dem obigen allgemeinen Satz hergeleitet werden, wenn man als Unteralgebra P die Menge der Polynome nimmt (s. auch Bernsteinpolynome).
  • Eine weitere wichtige Folgerung (oft ebenfalls als Approximationssatz von Weierstraß bezeichnet) ist, dass jede stetige 2π-periodischen Funktion gleichmäßig durch trigonometrische Polynome (d. h. Linearkombinationen von und mit oder äquivalent Linearkombinationen von mit ) approximiert werden kann (eine konkrete Approximation dieser Art liefert der Satz von Fejér). Jedoch impliziert das nicht, dass die Fourierreihe von eine gleichmäßig stetige Approximation der Funktion darstellt. Tatsächlich ist es sogar möglich, dass die Fourierreihe von noch nicht einmal punktweise gegen konvergiert.
  • Mittels der Alexandroff-Kompaktifizierung überträgt sich der Satz auch auf den Raum der -Funktionen (siehe dort) auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum.

Historie Bearbeiten

1885 veröffentlichte Weierstraß einen Beweis seines Satzes. Unabhängig davon fanden mehrere Mathematiker weitere Beweise, etwa Runge (1885), Picard (1891), Volterra (1897), Lebesgue (1898), Mittag-Leffler (1900), Fejér (1900), Lerch (1903), Landau (1908), de La Vallée Poussin (1912) und Bernstein (1912).

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Zum Approximationssatz von Stone-Weierstraß wurden mehrere Verallgemeinerungen gefunden, so etwa der Satz von Bishop. Mit beiden Sätzen eng verbunden ist das Lemma von Machado, mit dessen Hilfe eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß hergeleitet werden kann, welche diesen auf beliebige Hausdorffräume und die dazu gehörigen Funktionenalgebren der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen ausdehnt.

Literatur Bearbeiten

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1972. 7. Auflage. 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 132–134
  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
  • Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.
  • Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= Reihe „B. I.-Hochschultaschenbücher“. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864).
  • Konrad Königsberger: Analysis 1. 2. Auflage. Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 302–304
  • Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
  • Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis (= Springer Undergraduate Mathematics Series. Band 15). Springer Verlag, London (u. a.) 2002, ISBN 1-85233-424-X (MR1870768).
  • M. H. Stone: Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology. In: Transactions of the American Mathematical Society, 41 (3), 1937, S. 375–481, doi:10.2307/1989788.
  • M. H. Stone: The Generalized Weierstrass Approximation Theorem. In: Mathematics Magazine, 21 (4), 1948), S. 167–184; 21 (5), S. 237–254.
  • K. Weierstrass: Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II). (Erste Mitteilung S. 633–639, Zweite Mitteilung S. 789–805.)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 226
  2. Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis. 2002, S. 241–243
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Der Approximationssatz von Stone Weierstrass nach Marshall Harvey Stone und Karl Weierstrass ist ein Satz aus der Analysis der sagt unter welchen Voraussetzungen man jede stetige Funktion durch einfachere Funktionen beliebig gut approximieren kann Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Folgerungen 3 Historie 4 Verallgemeinerungen 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseSatz BearbeitenJede Unteralgebra P der Funktionenalgebra A der stetigen reellwertigen oder komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff Raum M die punktetrennend ist x y M g P g x g y displaystyle forall x neq y in M exists g in mathbf P g x neq g y nbsp fur die keine ihrer Auswertungsfunktionen die Nullfunktion ist x M g P g x 0 displaystyle forall x in M exists g in mathbf P g x neq 0 nbsp und die im Falle dass der Grundkorper K displaystyle mathbb K nbsp der Korper der komplexen Zahlen ist bezuglich komplexer Konjugation abgeschlossen ist fur die also mit jedem f P displaystyle f in mathbf P nbsp auch die zugehorige konjugiert komplexe Funktion f X K x f x displaystyle overline f colon X to mathbb K x mapsto overline f x nbsp in P enthalten ist liegt bezuglich der Topologie der gleichmassigen Konvergenz dicht in A Das bedeutet Jede stetige Funktion von M in den Grundkorper K displaystyle mathbb K nbsp kann unter den angegebenen Voraussetzungen durch Funktionen aus P beliebig gut gleichmassig approximiert werden Folgerungen BearbeitenDieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Approximationssatzes von Weierstrass wonach man jede stetige Funktion gleichmassig auf einem kompakten Intervall durch Polynome approximieren kann Dieser Spezialfall kann leicht aus dem obigen allgemeinen Satz hergeleitet werden wenn man als Unteralgebra P die Menge der Polynome nimmt s auch Bernsteinpolynome Eine weitere wichtige Folgerung oft ebenfalls als Approximationssatz von Weierstrass bezeichnet ist dass jede stetige 2p periodischen Funktion f R C displaystyle f mathbb R to mathbb C nbsp gleichmassig durch trigonometrische Polynome d h Linearkombinationen von sin n x displaystyle sin nx nbsp und cos n x displaystyle cos nx nbsp mit n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp oder aquivalent Linearkombinationen von exp n i x displaystyle exp nix nbsp mit n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp approximiert werden kann eine konkrete Approximation dieser Art liefert der Satz von Fejer Jedoch impliziert das nicht dass die Fourierreihe von f displaystyle f nbsp eine gleichmassig stetige Approximation der Funktion f displaystyle f nbsp darstellt Tatsachlich ist es sogar moglich dass die Fourierreihe von f displaystyle f nbsp noch nicht einmal punktweise gegen f displaystyle f nbsp konvergiert Mittels der Alexandroff Kompaktifizierung ubertragt sich der Satz auch auf den Raum der C 0 displaystyle C 0 nbsp Funktionen siehe dort auf einem lokalkompakten Hausdorff Raum Historie Bearbeiten1885 veroffentlichte Weierstrass einen Beweis seines Satzes Unabhangig davon fanden mehrere Mathematiker weitere Beweise etwa Runge 1885 Picard 1891 Volterra 1897 Lebesgue 1898 Mittag Leffler 1900 Fejer 1900 Lerch 1903 Landau 1908 de La Vallee Poussin 1912 und Bernstein 1912 1 Verallgemeinerungen BearbeitenZum Approximationssatz von Stone Weierstrass wurden mehrere Verallgemeinerungen gefunden so etwa der Satz von Bishop Mit beiden Satzen eng verbunden ist das Lemma von Machado mit dessen Hilfe eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone Weierstrass hergeleitet werden kann welche diesen auf beliebige Hausdorffraume und die dazu gehorigen Funktionenalgebren der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen ausdehnt 2 Literatur BearbeitenKurt Endl Wolfgang Luh Analysis II Aula Verlag 1972 7 Auflage 1989 ISBN 3 89104 455 0 S 132 134 Lutz Fuhrer Allgemeine Topologie mit Anwendungen Vieweg Verlag Braunschweig 1977 ISBN 3 528 03059 3 Jurgen Heine Topologie und Funktionalanalysis Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen 2 verbesserte Auflage Oldenbourg Verlag Munchen 2011 ISBN 978 3 486 70530 0 Friedrich Hirzebruch Winfried Scharlau Einfuhrung in die Funktionalanalysis Reihe B I Hochschultaschenbucher Band 296 Bibliographisches Institut Mannheim Wien Zurich 1971 ISBN 3 411 00296 4 MR0463864 Konrad Konigsberger Analysis 1 2 Auflage Springer 1992 ISBN 3 540 55116 6 S 302 304 Walter Rudin Functional Analysis International Series in Pure and Applied Mathematics 2 Auflage McGraw Hill Boston u a 1991 ISBN 0 07 054236 8 MR1157815 Horst Schubert Topologie 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 MR0423277 Micheal o Searcoid Elements of Abstract Analysis Springer Undergraduate Mathematics Series Band 15 Springer Verlag London u a 2002 ISBN 1 85233 424 X MR1870768 M H Stone Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology In Transactions of the American Mathematical Society 41 3 1937 S 375 481 doi 10 2307 1989788 M H Stone The Generalized Weierstrass Approximation Theorem In Mathematics Magazine 21 4 1948 S 167 184 21 5 S 237 254 K Weierstrass Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkurlicher Functionen einer reellen Veranderlichen In Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1885 II Erste Mitteilung S 633 639 Zweite Mitteilung S 789 805 Weblinks BearbeitenStone Weierstrass theorem in der Encyclopaedia of Mathematics Eric W Weisstein Stone Weierstrass Theorem In MathWorld englisch Stone Weierstrass Theorem In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Elliot Ward Cheney Introduction to Approximation Theory McGraw Hill Book Company 1966 ISBN 0 07 010757 2 S 226 Micheal o Searcoid Elements of Abstract Analysis 2002 S 241 243Normdaten Sachbegriff GND 4341745 0 lobid OGND AKS LCCN sh94005265 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Stone Weierstrass amp oldid 226928557