Der Satz von Bishop ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, der auf eine Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Errett Bishop aus dem Jahr 1961 zurückgeht. Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone-Weierstraß verbunden, welchen er als unmittelbare Folge nach sich zieht und damit verallgemeinert. Der bishopsche Satz lässt sich mit Hilfe der Sätze von Krein-Milman, Hahn-Banach und Banach-Alaoglu herleiten.
Formulierung des Satzes Bearbeiten
Er lässt sich angeben wie folgt:
Erläuterungen und Anmerkungen Bearbeiten
- Die Funktionenalgebra ist wie üblich mit der Supremumsnorm versehen.
- Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra ist im Sinne der aus der Supremumsnorm erwachsenden Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.
- In der Funktionenalgebra ist genau dann eine Unteralgebra, wenn ein linearer Unterraum von ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei und stets auch für die durch komplexe Multiplikation entstehende Funktion in enthalten ist.
- Eine Teilmenge wird -antisymmetrisch genannt, wenn jedes mit stets eine konstante Funktion ist.
- Eine maximale -antisymmetrische Teilmenge ist eine solche, welche von keiner anderen -antisymmetrischen Teilmenge echt umfasst wird.
- Jede maximale -antisymmetrische Teilmenge ist innerhalb des topologischen Raums abgeschlossen.
- Das Mengensystem aller maximalen -antisymmetrischen Teilmenge bildet eine Zerlegung von .
- Den Approximationssatz von Stone-Weierstraß gewinnt man aus dem Satz von Bishop, indem man berücksichtigt, dass wegen der beim Approximationssatz gemachten Voraussetzungen keine -antisymmetrische Teilmenge zwei oder mehr Punkte enthalten kann.
Das Lemma von Machado Bearbeiten
Zum Satz von Bishop und zum Approximationssatz von Stone-Weierstraß hat der brasilianische Mathematiker Silvio Machado ein Lemma geliefert, mit dem er diese Resultate auf neuem Wege hergeleitet und verallgemeinert hat. Es ergibt sich auf nichtkonstruktivem Wege, nämlich unter Anwendung des zornschen Lemmas. Das Lemma von Machado lässt sich angeben wie folgt:
Erläuterungen und Anmerkungen Bearbeiten
- In der Funktionenalgebra gelten hinsichtlich Norm und Topologie die gleichen Gegebenheiten wie oben.
- Man sagt von einer (stetigen) Funktion , dass sie im Unendlichen verschwindet, wenn zu jeder beliebigen positiven Zahl eine kompakte Teilmenge existiert, so dass für stets erfüllt ist.
- Für eine Teilmenge und eine Funktion ist hierbei , wobei bedeutet und die Betragsfunktion ist.
Eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß Bearbeiten
Sie besagt:
Literatur Bearbeiten
- Errett Bishop: A generalization of the Stone-Weierstrass theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 11, 1961, S. 777–783 (MR0133676).
- Silvio Machado: On Bishop's generalization of the Weierstrass-Stone theorem. In: Indagationes Mathematicae. Band 39, 1977, S. 218–224 (MR0448046).
- Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= Reihe "B. I.-Hochschultaschenbücher". Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864).
- Thomas J. Ransford: A short elementary proof of the Bishop-Stone-Weierstrass theorem. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 96, 1984, S. 309–311 (MR0757664).
- Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).
- Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis (= Springer Undergraduate Mathematics Series. Band 15). Springer Verlag, London (u. a.) 2002, ISBN 1-85233-424-X (MR1870768 ).
- Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581).
Einzelnachweise Bearbeiten
- Walter Rudin: Functional Analysis. 1991, S. 121 ff
- Rudin, op. cit., S. 121
- Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis. 2002, S. 241
- Ó Searcóid, op. cit., S. 243