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Satz von Bishop Der ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis der auf eine Arbeit des US ame

Satz von Bishop

Der Satz von Bishop ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, der auf eine Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Errett Bishop aus dem Jahr 1961 zurückgeht. Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone-Weierstraß verbunden, welchen er als unmittelbare Folge nach sich zieht und damit verallgemeinert. Der bishopsche Satz lässt sich mit Hilfe der Sätze von Krein-Milman, Hahn-Banach und Banach-Alaoglu herleiten.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Er lässt sich angeben wie folgt:

Dann ist .

Erläuterungen und Anmerkungen Bearbeiten

  • Die Funktionenalgebra ist wie üblich mit der Supremumsnorm versehen.
  • Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra ist im Sinne der aus der Supremumsnorm erwachsenden Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.
  • In der Funktionenalgebra ist genau dann eine Unteralgebra, wenn ein linearer Unterraum von ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei und stets auch für die durch komplexe Multiplikation entstehende Funktion in enthalten ist.
  • Eine Teilmenge wird -antisymmetrisch genannt, wenn jedes mit stets eine konstante Funktion ist.
  • Eine maximale -antisymmetrische Teilmenge ist eine solche, welche von keiner anderen -antisymmetrischen Teilmenge echt umfasst wird.
  • Jede maximale -antisymmetrische Teilmenge ist innerhalb des topologischen Raums abgeschlossen.
  • Das Mengensystem aller maximalen -antisymmetrischen Teilmenge bildet eine Zerlegung von .
  • Den Approximationssatz von Stone-Weierstraß gewinnt man aus dem Satz von Bishop, indem man berücksichtigt, dass wegen der beim Approximationssatz gemachten Voraussetzungen keine -antisymmetrische Teilmenge zwei oder mehr Punkte enthalten kann.

Das Lemma von Machado Bearbeiten

Zum Satz von Bishop und zum Approximationssatz von Stone-Weierstraß hat der brasilianische Mathematiker Silvio Machado ein Lemma geliefert, mit dem er diese Resultate auf neuem Wege hergeleitet und verallgemeinert hat. Es ergibt sich auf nichtkonstruktivem Wege, nämlich unter Anwendung des zornschen Lemmas. Das Lemma von Machado lässt sich angeben wie folgt:

Erläuterungen und Anmerkungen Bearbeiten

  • In der Funktionenalgebra gelten hinsichtlich Norm und Topologie die gleichen Gegebenheiten wie oben.
  • Man sagt von einer (stetigen) Funktion , dass sie im Unendlichen verschwindet, wenn zu jeder beliebigen positiven Zahl eine kompakte Teilmenge existiert, so dass für stets erfüllt ist.
  • Für eine Teilmenge und eine Funktion ist hierbei , wobei bedeutet und die Betragsfunktion ist.

Eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß Bearbeiten

Sie besagt:

gilt auch schon .

Literatur Bearbeiten

  • Errett Bishop: A generalization of the Stone-Weierstrass theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 11, 1961, S. 777–783 (MR0133676).
  • Silvio Machado: On Bishop's generalization of the Weierstrass-Stone theorem. In: Indagationes Mathematicae. Band 39, 1977, S. 218–224 (MR0448046).
  • Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= Reihe "B. I.-Hochschultaschenbücher". Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864).
  • Thomas J. Ransford: A short elementary proof of the Bishop-Stone-Weierstrass theorem. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 96, 1984, S. 309–311 (MR0757664).
  • Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).
  • Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis (= Springer Undergraduate Mathematics Series. Band 15). Springer Verlag, London (u. a.) 2002, ISBN 1-85233-424-X (MR1870768).
  • Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Walter Rudin: Functional Analysis. 1991, S. 121 ff
  2. Rudin, op. cit., S. 121
  3. Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis. 2002, S. 241
  4. Ó Searcóid, op. cit., S. 243
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Der Satz von Bishop ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis der auf eine Arbeit des US amerikanischen Mathematikers Errett Bishop aus dem Jahr 1961 zuruckgeht Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone Weierstrass verbunden welchen er als unmittelbare Folge nach sich zieht und damit verallgemeinert Der bishopsche Satz lasst sich mit Hilfe der Satze von Krein Milman Hahn Banach und Banach Alaoglu herleiten 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 1 1 Erlauterungen und Anmerkungen 2 Das Lemma von Machado 2 1 Erlauterungen und Anmerkungen 2 2 Eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone Weierstrass 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenEr lasst sich angeben wie folgt 2 Gegeben seien ein kompakter Hausdorff Raum X displaystyle X neq emptyset nbsp und dazu die Funktionenalgebra C C X C displaystyle C C X mathbb C nbsp der stetigen komplexwertigen Funktionen f X C displaystyle f colon X to mathbb C nbsp Darin sei eine abgeschlossene Unteralgebra A C displaystyle A subseteq C nbsp gegeben und weiter ein g C displaystyle g in C nbsp A displaystyle A nbsp enthalte die konstanten Funktionen und daruber hinaus gelte folgende Bedingung Ist E X displaystyle E subseteq X nbsp irgend eine maximale A displaystyle A nbsp antisymmetrische Teilmenge so gibt es stets ein f A displaystyle f in A nbsp mit g x f x displaystyle g x f x nbsp fur alle x E displaystyle x in E nbsp dd Dann ist g A displaystyle g in A nbsp Erlauterungen und Anmerkungen Bearbeiten Die Funktionenalgebra C displaystyle C nbsp ist wie ublich mit der Supremumsnorm versehen Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra C displaystyle C nbsp ist im Sinne der aus der Supremumsnorm erwachsenden Topologie der gleichmassigen Konvergenz zu verstehen In der Funktionenalgebra C displaystyle C nbsp ist A C displaystyle A subseteq C nbsp genau dann eine Unteralgebra wenn A displaystyle A nbsp ein linearer Unterraum von C displaystyle C nbsp ist und zudem die Eigenschaft hat dass fur je zwei f 1 A displaystyle f 1 in A nbsp und f 2 A displaystyle f 2 in A nbsp stets auch fur die durch komplexe Multiplikation entstehende Funktion f 1 f 2 X C x f 1 x f 2 x displaystyle f 1 f 2 colon X to mathbb C x mapsto f 1 x f 2 x nbsp in A displaystyle A nbsp enthalten ist Eine Teilmenge E X displaystyle E subseteq X nbsp wird A displaystyle A nbsp antisymmetrisch genannt wenn jedes f A displaystyle f in A nbsp mit f E R displaystyle f E subseteq mathbb R nbsp stets eine konstante Funktion ist Eine maximale A displaystyle A nbsp antisymmetrische Teilmenge ist eine solche welche von keiner anderen A displaystyle A nbsp antisymmetrischen Teilmenge echt umfasst wird Jede maximale A displaystyle A nbsp antisymmetrische Teilmenge ist innerhalb des topologischen Raums X displaystyle X nbsp abgeschlossen Das Mengensystem aller maximalen A displaystyle A nbsp antisymmetrischen Teilmenge bildet eine Zerlegung von X displaystyle X nbsp Den Approximationssatz von Stone Weierstrass gewinnt man aus dem Satz von Bishop indem man berucksichtigt dass wegen der beim Approximationssatz gemachten Voraussetzungen keine A displaystyle A nbsp antisymmetrische Teilmenge zwei oder mehr Punkte enthalten kann Das Lemma von Machado BearbeitenZum Satz von Bishop und zum Approximationssatz von Stone Weierstrass hat der brasilianische Mathematiker Silvio Machado ein Lemma geliefert mit dem er diese Resultate auf neuem Wege hergeleitet und verallgemeinert hat Es ergibt sich auf nichtkonstruktivem Wege namlich unter Anwendung des zornschen Lemmas Das Lemma von Machado lasst sich angeben wie folgt 3 Gegeben seien ein Hausdorffraum X displaystyle X neq emptyset nbsp und dazu die Funktionenalgebra C 0 C 0 X K displaystyle C 0 C 0 X mathbb K nbsp der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen f X K displaystyle f colon X to mathbb K nbsp wobei K displaystyle mathbb K nbsp der Korper der reellen Zahlen oder der Korper der komplexen Zahlen sein moge Weiterhin sei A displaystyle A nbsp eine abgeschlossene Unteralgebra von C 0 displaystyle C 0 nbsp und f 0 C 0 displaystyle f 0 in C 0 nbsp Dann gilt Es existiert eine nichtleere abgeschlossene A displaystyle A nbsp antisymmetrische Teilmenge E X displaystyle E subseteq X nbsp mit der Eigenschaft dass hinsichtlich der zugehorigen Distanzfunktionen die Gleichung dist E f 0 A dist X f 0 A displaystyle operatorname dist E f 0 A operatorname dist X f 0 A nbsp erfullt ist Erlauterungen und Anmerkungen Bearbeiten In der Funktionenalgebra C 0 displaystyle C 0 nbsp gelten hinsichtlich Norm und Topologie die gleichen Gegebenheiten wie oben Man sagt von einer stetigen Funktion f X K displaystyle f colon X to mathbb K nbsp dass sie im Unendlichen verschwindet wenn zu jeder beliebigen positiven Zahl ϵ displaystyle epsilon nbsp eine kompakte Teilmenge C X displaystyle C subseteq X nbsp existiert so dass fur x X C displaystyle x in X setminus C nbsp stets f x lt ϵ displaystyle f x lt epsilon nbsp erfullt ist Fur eine Teilmenge S X displaystyle S subseteq X nbsp und eine Funktion f C 0 displaystyle f in C 0 nbsp ist hierbei dist S f A inf g A f g S displaystyle operatorname dist S f A inf g in A f g S nbsp wobei f S sup x S f x displaystyle f S sup x in S f x nbsp bedeutet und displaystyle cdot nbsp die Betragsfunktion ist Eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone Weierstrass Bearbeiten Sie besagt 4 Hat die im Lemma von Machado auftretende abgeschlossene Unteralgebra A C 0 displaystyle A subseteq C 0 nbsp die im Approximationssatz genannten allgemeinen Eigenschaften so ist A C 0 displaystyle A C 0 nbsp Das heisst Fur jede abgeschlossene Unteralgebra A C 0 displaystyle A subseteq C 0 nbsp welche die folgenden drei Eigenschaften hat namlich 1 dass zu je zwei verschiedenen x y X displaystyle x y in X nbsp ein f A displaystyle f in A nbsp existiert mit f x f y displaystyle f x neq f y nbsp 2 dass zu jedem x X displaystyle x in X nbsp ein g A displaystyle g in A nbsp existiert mit g x 0 displaystyle g x neq 0 nbsp 3 dass im Falle K C displaystyle mathbb K mathbb C nbsp mit jedem f A displaystyle f in A nbsp auch die zugehorige konjugiert komplexe Funktion f X K x f x displaystyle overline f colon X to mathbb K x mapsto overline f x nbsp in A displaystyle A nbsp enthalten ist dd gilt auch schon A C 0 displaystyle A C 0 nbsp Literatur BearbeitenErrett Bishop A generalization of the Stone Weierstrass theorem In Pacific Journal of Mathematics Band 11 1961 S 777 783 MR0133676 Silvio Machado On Bishop s generalization of the Weierstrass Stone theorem In Indagationes Mathematicae Band 39 1977 S 218 224 MR0448046 Friedrich Hirzebruch Winfried Scharlau Einfuhrung in die Funktionalanalysis Reihe B I Hochschultaschenbucher Band 296 Bibliographisches Institut Mannheim Wien Zurich 1971 ISBN 3 411 00296 4 MR0463864 Thomas J Ransford A short elementary proof of the Bishop Stone Weierstrass theorem In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Band 96 1984 S 309 311 MR0757664 Walter Rudin Functional Analysis International Series in Pure and Applied Mathematics 2 Auflage McGraw Hill New York 1991 ISBN 0 07 054236 8 MR1157815 Micheal o Searcoid Elements of Abstract Analysis Springer Undergraduate Mathematics Series Band 15 Springer Verlag London u a 2002 ISBN 1 85233 424 X MR1870768 Stephen Willard General Topology Addison Wesley Series in Mathematics Addison Wesley Reading Massachusetts u a 1970 MR0264581 Einzelnachweise Bearbeiten Walter Rudin Functional Analysis 1991 S 121 ff Rudin op cit S 121 Micheal o Searcoid Elements of Abstract Analysis 2002 S 241 o Searcoid op cit S 243 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Bishop amp oldid 241403415 Das Lemma von Machado