Satz von Ptolemäus

Der Satz des Ptolemäus (nach Claudius Ptolemäus) ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, der eine Beziehung zwischen den Seiten und Diagonalen eines Sehnenvierecks beschreibt. Er lässt sich auffassen als Verallgemeinerung des pythagoreischen Lehrsatzes und ergibt sich selbst auch als Grenzfall des Satzes von Casey.

Im Sehnenviereck ABCD gilt: :

Ungleichung des Ptolemäus:

Aussage

Der Satz des Ptolemäus lautet:

In einem Sehnenviereck gilt also:

Zudem gilt auch die Umkehrung des Satzes von Ptolemäus, das heißt stimmt in einem konvexen Viereck das Produkt der Diagonalen mit der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten überein, so handelt es sich um ein Sehnenviereck. Für Vierecke, die keine Sehnenvierecke sind, gilt die folgende Aussage, die auch als Ungleichung des Ptolemäus bezeichnet wird:

Elementargeometrischer Beweis

Ungleichung des Ptolemäus

Bei einem Sehnenviereck betrachte man das Dreieck mit dem separaten Punkt D auf seinem Umkreis mit Radius r und das zugehörige Fußpunktdreieck . Die Formel zur Berechnung der Seitenlängen eines Fußpunktdreieckes liefert dann für :

Ungleichung des Ptolemäus

Da D nun aber auf dem Umkreis von liegt, ist entartet und seine Seiten liegen auf der zugehörigen Simson-Gerade, so dass die zwei Seiten LM und NM sich zur dritten Seite LN ergänzen. Es gilt also:

Mit den obigen Gleichungen liefert dies:

Liegt D nicht auf dem Umkreis, so gilt aufgrund der Dreiecksungleichung für :

Die obigen Gleichungen liefern damit dann die Ungleichung des Ptolemäus:

Beweis des Ptolemäischen Lehrsatzes im Komplexen

Neben der Möglichkeit, den Beweis elementargeometrisch zu führen, lässt sich der Ptolemäische Lehrsatz auch leicht mit Methoden der komplexen Analysis beweisen, indem man die Eigenschaften der komplexen Umkehrfunktion:

ausnutzt.

Die komplexe Umkehrfunktion zählt zu den Möbiustransformationen, welche in der komplexen Analysis als stetige Transformationen der erweiterten komplexen Zahlenebene behandelt werden.

(I) Vereinfachung des Problems

Zunächst darf man oBdA annehmen, dass die Figur, welche aus dem gegebenen Sehnenviereck und der zugehörigen Kreislinie besteht, eine geometrische Figur innerhalb der komplexen Zahlenebene darstellt.

Dabei darf man weiter annehmen, dass eine spezielle Figur mit vorliegt, für die also der Eckpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt. Denn folgt der Satz für diesen speziellen Fall, so folgt er allgemein, da jede gegebene geometrische Figur der genannten Art kongruent zu einer solchen speziellen Figur ist. Eine derartige Kongruenz lässt sich mittels einer passend gewählten Verschiebung stets schaffen.

(II) Ausnutzung der geometrischen Eigenschaften der Umkehrfunktion

Wesentlich für den Beweis ist nun die Tatsache, dass für die Kreislinie der punktierte Kreisbogen unter der Umkehrfunktion in eine Gerade , nämlich in die Bildgerade von unter , übergeht.

Da nun auf dem punktierten Kreisbogen der Punkt zwischen den Punkten und liegt, gilt Entsprechendes für die drei Bildpunkte der Bildgeraden. Es liegt also zwischen und und gehört damit zu den Punkten der dazwischenliegenden Strecke.

(III) Eigentliche Berechnung

Aus (II) ergibt sich unter Benutzung der komplexen Betragsfunktion unmittelbar:

und damit:

und dann nach Erweitern mit  :

und weiter wegen :

Dies aber ist nichts weiter als die oben behauptete und zu beweisende Identität.

Folgerungen

Satz des Pythagoras

Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck, in welchem – mit den obigen Bezeichnungen – die Gleichungen gelten. Da nun ein rechtwinkliges Dreieck sich stets derart zu einem Rechteck ergänzen lässt, dass die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit einer der beiden Rechteckdiagonalen und die beiden Katheten mit zwei aneinandergrenzenden Rechteckseiten zusammenfallen, zieht der Satz des Ptolemäus den Satz des Pythagoras nach sich.

Sehnen des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks

Sehnen des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks

Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge sowie ein Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks. Dann ist die Summe der Längen der beiden kürzeren der Sehnen , und gleich der Länge der längsten Sehne von .

Beweis:

In der abgebildeten Figur ist ohne Beschränkung der Allgemeinheit die längste der drei Sehnen , und . Dann gilt nach dem Satz von Ptolemäus

und somit

Verallgemeinerungen (Metrische Räume und Riemannsche Mannigfaltigkeiten)

In CAT(0)-Räumen gilt die Ptolemäische Ungleichung

Für vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten gilt auch die Umkehrung: wenn die Ptolemäische Ungleichung für alle Punkte gilt, dann handelt es sich um einen CAT(0)-Raum.

Wenn eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositive Schnittkrümmung hat, dann ist sie lokal ptolemäisch, d. h. zu jedem Punkt gibt es eine Umgebung, innerhalb derer die Ptolemäische Ungleichung gilt.

Literatur

• Erwin Just, Norman Schaumberger: Vector Approach to Ptolemy’s Theorem. Mathematics Magazine, Vol. 77, No. 5, 2004, S. 386–88 (JSTOR:3219205)
• John Roe: Elementary Geometry (= Oxford science publications). Oxford University Press, Oxford [u. a.] 1993, ISBN 0-19-853457-4. 
• Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1. 
• Klaus Gürlebeck, Klaus Habetha, Wolfgang Sprößig: Funktionentheorie in der Ebene und im Raum. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 2006, ISBN 978-3-7643-7369-6. 
• Helmut Karzel, Hans-Joachim Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08524-8. 
• Hugo Fenkner, Karl Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. 12. Auflage. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926. 
• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 

Einzelnachweise

1. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. Math. Assoc. Amer., Washington DC 1967, S. 23, 41–42 (Auszug (Google))
2. Hugo Fenkner, Karl Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. 12. Auflage. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926, S. 170. 
3. Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965, S. 156. 
4. John Roe: Elementary Geometry (= Oxford science publications). Oxford University Press, Oxford [u. a.] 1993, ISBN 0-19-853457-4, S. 123 (Auszug). 
5. Helmut Karzel, Hans-Joachim Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08524-8, S. 96. 
6. Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1, S. 63–64. 
7. Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, Seiten 172 und 173
8. S. M.Buckley, K. Falk, D. J. Wraith: Ptolemaic Spaces and CAT(0). (PDF; 181 kB) In: Glasg. Math. J., 51, 2009, no. 2, S. 301–314.
9. D. C. Kay: Ptolemaic metric spaces and the characterization of geodesics by vanishing metric curvature. Ph.D. thesis, Michigan State Univ., East Lansing MI 1963