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Novikov Vermutung In der Mathematik ist die eine für zahlreiche Gruppen π displaystyle pi bewiesene aber im Allgemeinen

Novikov-Vermutung

In der Mathematik ist die Novikov-Vermutung eine für zahlreiche Gruppen bewiesene, aber im Allgemeinen offene Vermutung über die Topologie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe .

Sie hat zahlreiche Anwendungen in der Chirurgietheorie bei der Klassifikation der Differentialstrukturen zu einem gegebenen Homotopietyp.

Sie macht eine Aussage über die Homotopieinvarianz gewisser Kombinationen rationaler Pontrjagin-Klassen. Rationale Pontrjaginklassen sind Invarianten differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, die nach einem Satz von Novikov invariant unter Homöomorphismen, aber im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen sind. Für die aus den Pontrjaginklassen gebildete L-Klasse ist nach dem Signatursatz von Hirzebruch die homotopieinvariante Signatur. Die Novikov-Vermutung gibt (in Abhängigkeit von der Fundamentalgruppe) weitere homotopieinvariante Kombinationen. Es wird vermutet, dass sich alle homotopieinvarianten Kombinationen rationaler Pontrjaginklassen aus den in der Novikov-Vermutung betrachteten höheren Signaturen ergeben.

Sie würde aus der Baum-Connes-Vermutung oder auch der Borel-Vermutung folgen.

Formulierung der Vermutung Bearbeiten

Sei eine geschlossene, orientierbare, -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, ihre Fundamentalgruppe und deren klassifizierende Abbildung. Zu jeder Kohomologieklasse definiert man eine höhere Signatur durch

wobei die L-Klasse von , das Cup-Produkt, die Fundamentalklasse und die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Die Novikov-Vermutung besagt, dass für jedes gegebene die höhere Signatur eine Homotopieinvariante geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe ist, d. h. homotopieäquivalente, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten haben dieselben höheren Signaturen.

Bewiesene Fälle Bearbeiten

Man sagt, dass die Novikov-Vermutung für eine Gruppe bewiesen ist, wenn sie für alle Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe bewiesen wurde.

Literatur Bearbeiten

  • S. P. Novikov: Analogues hermitiens de la K-théorie. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2, S. 39–45. Gauthier-Villars, Paris (1971)
  • S. Ferry, A. Ranicki, J. Rosenberg: A history and survey of the Novikov conjecture. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 226, S. 7–66. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995).
  • M. Kreck, W. Lück: The Novikov conjecture, Geometry and Algebra, Oberwolfach Seminars, vol. 33. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)
  • J. Rosenberg: Novikov's conjecture, "Open Problems in Mathematics", J. F. Nash, Jr., and M. Th. Rassias, eds, Springer, 2016, S. 377–402
  • G. Yu: The Novikov conjecture, Russian Mathematical Surveys 2019

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. G. Kasparov: Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture. Invent. Math. 91 (1988), no. 1, 147–201.
  2. A. Connes, H. Moscovici: Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups. Topology 29 (1990), no. 3, 345–388.
  3. I. Mineyev: Straightening and bounded cohomology of hyperbolic groups. GAFA, Geom. Funct. Anal. 11(2001), 807–839.
  4. N. Higson, G. Kasparov: E-theory and KK-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Invent. Math. 144 (2001), no. 1, 23–74.
  5. G. Yu: The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension. Ann. of Math. (2) 147 (1998), no. 2, 325–355.
  6. G. Yu: The coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space. Invent. Math. 139(1), 201–240 (2000).
  7. E. Guentner, N. Higson, S. Weinberger: The Novikov Conjecture for Linear Groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. No. 101 (2005), 243–268.
  8. M. Bestvina, K. Bromberg, K. Fujiwara: Constructing group actions on quasi-trees and applications to mapping class groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 122 (2015), 1–64.
  9. U. Hamenstädt: Geometry of the mapping class groups. I. Boundary amenability. Invent. Math. 175 (2009), no. 3, 545–609.
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In der Mathematik ist die Novikov Vermutung eine fur zahlreiche Gruppen p displaystyle pi bewiesene aber im Allgemeinen offene Vermutung uber die Topologie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe p displaystyle pi Sie hat zahlreiche Anwendungen in der Chirurgietheorie bei der Klassifikation der Differentialstrukturen zu einem gegebenen Homotopietyp Sie macht eine Aussage uber die Homotopieinvarianz gewisser Kombinationen rationaler Pontrjagin Klassen Rationale Pontrjaginklassen sind Invarianten differenzierbarer Mannigfaltigkeiten die nach einem Satz von Novikov invariant unter Homoomorphismen aber im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieaquivalenzen sind Fur die aus den Pontrjaginklassen gebildete L Klasse ist L M M displaystyle langle L M left M right rangle nach dem Signatursatz von Hirzebruch die homotopieinvariante Signatur Die Novikov Vermutung gibt in Abhangigkeit von der Fundamentalgruppe weitere homotopieinvariante Kombinationen Es wird vermutet dass sich alle homotopieinvarianten Kombinationen rationaler Pontrjaginklassen aus den in der Novikov Vermutung betrachteten hoheren Signaturen ergeben Sie wurde aus der Baum Connes Vermutung oder auch der Borel Vermutung folgen Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung der Vermutung 2 Bewiesene Falle 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseFormulierung der Vermutung BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine geschlossene orientierbare n displaystyle n nbsp dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit p p 1 M displaystyle pi pi 1 M nbsp ihre Fundamentalgruppe und f M B p displaystyle f colon M to B pi nbsp deren klassifizierende Abbildung Zu jeder Kohomologieklasse a H B p Q displaystyle alpha in H B pi mathbb Q nbsp definiert man eine hohere Signatur s a M displaystyle sigma alpha M nbsp durch s a M L M f a M displaystyle sigma alpha M langle L M cup f alpha left M right rangle nbsp wobei L M displaystyle L M nbsp die L Klasse von M displaystyle M nbsp displaystyle cup nbsp das Cup Produkt M displaystyle left M right nbsp die Fundamentalklasse und displaystyle langle rangle nbsp die Kronecker Paarung bezeichnet Die Novikov Vermutung besagt dass fur jedes gegebene a H B p Q displaystyle alpha in H B pi mathbb Q nbsp die hohere Signatur eine Homotopieinvariante geschlossener orientierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe p displaystyle pi nbsp ist d h homotopieaquivalente geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeiten haben dieselben hoheren Signaturen Bewiesene Falle BearbeitenMan sagt dass die Novikov Vermutung fur eine Gruppe p displaystyle pi nbsp bewiesen ist wenn sie fur alle Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe p displaystyle pi nbsp bewiesen wurde Novikov bewies seine Vermutung fur abelsche Gruppen Kasparow bewies mittels KK Theorie die Novikov Vermutung fur Gruppen die eine eigentliche Wirkung als Isometrien einer einfach zusammenhangenden Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krummung besitzen insbesondere also diskrete Untergruppen einer Lie Gruppe mit endlich vielen Zusammenhangskomponenten 1 Connes und Moscovici bewiesen die Novikov Vermutung fur Gromov hyperbolische Gruppen 2 Die im Beweis verwendete Surjektivitat des Homomorphismus von beschrankter Kohomologie in die Gruppenkohomologie wurde von Mineyev bewiesen 3 Higson und Kasparow bewiesen die Novikov Vermutung fur Gruppen die eine eigentliche Wirkung als Isometrien des Hilbertraums besitzen insbesondere fur mittelbare Gruppen 4 Yu bewies die Novikov Vermutung fur Gruppen endlicher asymptotischer Dimension 5 und allgemeiner fur Gruppen die grob in den Hilbertraum eingebettet werden konnen 6 Letzteres trifft auf alle linearen Gruppen 7 und auf Untergruppen von O u t F n displaystyle Out F n nbsp 8 zu Hamenstadt bewies dass Abbildungsklassengruppen exakt boundary amenable sind woraus fur diese und alle ihre Untergruppen die Novikov Vermutung folgt 9 Literatur BearbeitenS P Novikov Analogues hermitiens de la K theorie In Actes du Congres International des Mathematiciens Nice 1970 Tome 2 S 39 45 Gauthier Villars Paris 1971 S Ferry A Ranicki J Rosenberg A history and survey of the Novikov conjecture In Novikov conjectures index theorems and rigidity Vol 1 Oberwolfach 1993 London Math Soc Lecture Note Ser vol 226 S 7 66 Cambridge Univ Press Cambridge 1995 M Kreck W Luck The Novikov conjecture Geometry and Algebra Oberwolfach Seminars vol 33 Birkhauser Verlag Basel 2005 J Rosenberg Novikov s conjecture Open Problems in Mathematics J F Nash Jr and M Th Rassias eds Springer 2016 S 377 402 G Yu The Novikov conjecture Russian Mathematical Surveys 2019Weblinks BearbeitenS P Novikov Novikov conjecture Scholarpedia Novikov Conjecture Manifold Atlas Einzelnachweise Bearbeiten G Kasparov Equivariant KK theory and the Novikov conjecture Invent Math 91 1988 no 1 147 201 A Connes H Moscovici Cyclic cohomology the Novikov conjecture and hyperbolic groups Topology 29 1990 no 3 345 388 I Mineyev Straightening and bounded cohomology of hyperbolic groups GAFA Geom Funct Anal 11 2001 807 839 N Higson G Kasparov E theory and KK theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space Invent Math 144 2001 no 1 23 74 G Yu The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension Ann of Math 2 147 1998 no 2 325 355 G Yu The coarse Baum Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space Invent Math 139 1 201 240 2000 E Guentner N Higson S Weinberger The Novikov Conjecture for Linear Groups Publ Math Inst Hautes Etudes Sci No 101 2005 243 268 M Bestvina K Bromberg K Fujiwara Constructing group actions on quasi trees and applications to mapping class groups Publ Math Inst Hautes Etudes Sci 122 2015 1 64 U Hamenstadt Geometry of the mapping class groups I Boundary amenability Invent Math 175 2009 no 3 545 609 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Novikov Vermutung amp oldid 227941653