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Beschränkte Kohomologie ist ein Konzept der Mathematik Die beschränkte Kohomologie diskreter Gruppen wurde ursprünglich

Beschränkte Kohomologie

Beschränkte Kohomologie ist ein Konzept der Mathematik. Die beschränkte Kohomologie diskreter Gruppen wurde ursprünglich im Zusammenhang mit Banach-Algebren eingeführt, fand ihre Anwendungen jedoch in der Differentialgeometrie nach M. Gromovs 1982 erschienener Arbeit Volume and Bounded Cohomology und in É. Ghys’ Klassifikation von Gruppenwirkungen auf dem Kreis. Seitdem wurde sie in einer Reihe von Anwendungen hauptsächlich in der geometrischen Gruppentheorie sowie in der Geometrie und Topologie von Mannigfaltigkeiten genutzt. Ihre Ausweitung auf topologische Gruppen als stetige beschränkte Kohomologie, deren Grundlagen in einer Monographie von N. Monod aus dem Jahr 2001 entwickelt wurden, war wichtig für die Untersuchung von Gittern in Lie-Gruppen und von Starrheitsfragen.

Definition Bearbeiten

Für eine diskrete Gruppe betrachtet man den Kettenkomplex mit

Die beschränkte Kohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes mit

und

wobei die Norm durch

definiert ist. Sie induziert eine Halbnorm auf der beschränkten Kohomologie durch

für .

Äquivalent kann man als Kohomologie der -Invarianten einer beliebigen starken, relativ injektiven Auflösung des trivialen -Moduls definieren.

Insbesondere ist für einen CW-Komplex mit Fundamentalgruppe die Kohomologie des Komplexes der -invarianten, beschränkten Koketten der universellen Überlagerung (äquivalent der beschränkten Koketten auf ) isomorph zu .

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Nicolas Monod: Continuous bounded cohomology of locally compact groups. Lecture Notes in Mathematics. 1758. Springer, Berlin 2001.
  • Roberto Frigerio: Bounded cohomology of discrete groups. Mathematical Surveys and Monographs 227. Providence, RI: American Mathematical Society (2017).
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Beschrankte Kohomologie ist ein Konzept der Mathematik Die beschrankte Kohomologie diskreter Gruppen wurde ursprunglich im Zusammenhang mit Banach Algebren eingefuhrt fand ihre Anwendungen jedoch in der Differentialgeometrie nach M Gromovs 1982 erschienener Arbeit Volume and Bounded Cohomology und in E Ghys Klassifikation von Gruppenwirkungen auf dem Kreis Seitdem wurde sie in einer Reihe von Anwendungen hauptsachlich in der geometrischen Gruppentheorie sowie in der Geometrie und Topologie von Mannigfaltigkeiten genutzt Ihre Ausweitung auf topologische Gruppen als stetige beschrankte Kohomologie deren Grundlagen in einer Monographie von N Monod aus dem Jahr 2001 entwickelt wurden war wichtig fur die Untersuchung von Gittern in Lie Gruppen und von Starrheitsfragen Definition BearbeitenFur eine diskrete Gruppe G displaystyle G nbsp betrachtet man den Kettenkomplex R G n d n displaystyle mathbb mathbb R G n d n nbsp mit d n s 1 s n i 1 n 1 1 i s 1 s i 1 s i 1 s n displaystyle d n sigma 1 ldots sigma n sum i 1 n 1 1 i sigma 1 ldots sigma i 1 sigma i 1 ldots sigma n nbsp Die beschrankte Kohomologie H b G displaystyle H b G nbsp ist dann die Kohomologie des Komplexes C b n d n displaystyle C b n d n nbsp mit C n f G n 1 R f s s 1 s s n 1 s f s 1 s n 1 f lt displaystyle C n f colon G n 1 to mathbb R mid f sigma sigma 1 ldots sigma sigma n 1 sigma cdot f sigma 1 ldots sigma n 1 Vert f Vert infty lt infty nbsp und d n 1 f s 1 s n 1 i 1 n 1 1 i f s 1 s i 1 s i 1 s n 1 displaystyle d n 1 f sigma 1 ldots sigma n 1 sum i 1 n 1 1 i f sigma 1 ldots sigma i 1 sigma i 1 ldots sigma n 1 nbsp wobei die Norm f displaystyle Vert f Vert infty nbsp durch f sup f s 1 s n s 1 s n G n displaystyle Vert f Vert infty sup left vert f sigma 1 ldots sigma n vert colon sigma 1 ldots sigma n in G n right nbsp definiert ist Sie induziert eine Halbnorm auf der beschrankten Kohomologie durch c inf f f c displaystyle Vert c Vert inf left Vert f Vert infty colon left f right c right nbsp fur c H b G displaystyle c in H b G nbsp Aquivalent kann man H b G displaystyle H b G nbsp als Kohomologie der G displaystyle G nbsp Invarianten einer beliebigen starken relativ injektiven Auflosung des trivialen R G displaystyle mathbb R left G right nbsp Moduls R displaystyle mathbb R nbsp definieren Insbesondere ist fur einen CW Komplex X displaystyle X nbsp mit Fundamentalgruppe p 1 X G displaystyle pi 1 X G nbsp die Kohomologie des Komplexes der p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp invarianten beschrankten Koketten der universellen Uberlagerung X displaystyle widetilde X nbsp aquivalent der beschrankten Koketten auf X displaystyle X nbsp isomorph zu H b G displaystyle H b G nbsp Beispiele BearbeitenBeschrankte Kohomologie ist trivial fur mittelbare Gruppen Fur hyperbolische Gruppen ist die Vergleichsabbildung H b G H G displaystyle H b G to H G nbsp surjektiv fur 2 displaystyle geq 2 nbsp Fur kokompakte irreduzible Gitter in Lie Gruppen vom Rang 2 displaystyle geq 2 nbsp ist die Vergleichsabbildung H b 2 G H 2 G displaystyle H b 2 G to H 2 G nbsp injektiv Literatur BearbeitenNicolas Monod Continuous bounded cohomology of locally compact groups Lecture Notes in Mathematics 1758 Springer Berlin 2001 Roberto Frigerio Bounded cohomology of discrete groups Mathematical Surveys and Monographs 227 Providence RI American Mathematical Society 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Beschrankte Kohomologie amp oldid 216392672