Die Hochschild Homologie und Kohomologie benannt nach Gerhard Hochschild ist eine mathematische Theorie die speziell auf die Untersuchung von Algebren zugeschnitten ist Es handelt sich um eine Homologie bzw Kohomologie Theorie die sich aus Kettenkomplexen bzw Kokettenkomplexen ergibt die eng mit der Algebrenstruktur zusammenhangen Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion der Homologiegruppen 2 Konstruktion der Kohomologiegruppen 3 Beispiele 4 Multilineare Abbildungen 5 Topologische Algebren 6 LiteraturKonstruktion der Homologiegruppen BearbeitenWir betrachten im Folgenden eine assoziative Algebra A displaystyle A nbsp mit Einselement uber einem Korper K displaystyle K nbsp kurz eine K Algebra Ferner sei ein A displaystyle A nbsp Bimodul M displaystyle M nbsp gegeben das heisst die Modulelemente konnen von links und rechts mit Elementen aus der Algebra multipliziert werden so dass die zugehorigen Links und Rechtmodulstrukturen vertraglich sind was a m b a m b displaystyle a mb am b nbsp fur alle m M displaystyle m in M nbsp und a b A displaystyle a b in A nbsp bedeutet Bezeichnet man mit A n displaystyle A otimes n nbsp das n displaystyle n nbsp fache Tensorprodukt von A displaystyle A nbsp mit sich selbst wobei A 0 K displaystyle A otimes 0 K nbsp so lassen sich folgende Abbildungen definieren d i n M A n M A n 1 displaystyle d i n M otimes A otimes n rightarrow M otimes A otimes n 1 nbsp m a 1 a n m a 1 a n fur i 0 m a 1 a i a i 1 a n fur 0 lt i lt n a n m a 1 a n 1 fur i n displaystyle m otimes a 1 otimes ldots otimes a n mapsto begin cases ma 1 otimes ldots otimes a n amp text fur i 0 m otimes a 1 otimes ldots otimes a i a i 1 otimes ldots otimes a n amp text fur 0 lt i lt n a n m otimes a 1 otimes ldots otimes a n 1 amp text fur i n end cases nbsp wobei sich die d i n displaystyle d i n nbsp zu K linearen Abbildungen fortsetzen Weiter sei d n i 0 n 1 i d i n M A n M A n 1 displaystyle d n sum i 0 n 1 i d i n M otimes A otimes n rightarrow M otimes A otimes n 1 nbsp das heisst d 1 m a 1 m a 1 a 1 m displaystyle d 1 m otimes a 1 ma 1 a 1 m nbsp d 2 m a 1 a 2 m a 1 a 2 m a 1 a 2 a 2 m a 1 displaystyle d 2 m otimes a 1 otimes a 2 ma 1 otimes a 2 m otimes a 1 a 2 a 2 m otimes a 1 nbsp d 3 m a 1 a 2 a 3 m a 1 a 2 a 3 m a 1 a 2 a 3 m a 1 a 2 a 3 a 3 m a 1 a 2 displaystyle d 3 m otimes a 1 otimes a 2 otimes a 3 ma 1 otimes a 2 otimes a 3 m otimes a 1 a 2 otimes a 3 m otimes a 1 otimes a 2 a 3 a 3 m otimes a 1 otimes a 2 nbsp und so weiter Dann gilt d n d n 1 0 displaystyle d n circ d n 1 0 nbsp fur alle n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 ldots nbsp das heisst man erhalt einen Kettenkomplex 0 M d 1 M A d 2 M A A d 3 displaystyle 0 leftarrow M xleftarrow d 1 M otimes A xleftarrow d 2 M otimes A otimes A xleftarrow d 3 ldots nbsp Die Hochschild Homologie von A displaystyle A nbsp mit Werten in M displaystyle M nbsp ist als Homologie dieses Kettenkomplexes definiert das heisst die n displaystyle n nbsp te Hochschild Homologiegruppe von A displaystyle A nbsp mit Werten in M displaystyle M nbsp ist die Faktorgruppe H n A M k e r d n i m d n 1 displaystyle H n A M mathrm ker d n mathrm im d n 1 nbsp wobei d 0 0 displaystyle d 0 0 nbsp gesetzt wurde Da die obigen Definitionen der d i n displaystyle d i n nbsp von der Algebren und Bimodulstruktur Gebrauch machen konnen die Hochschild Homologiegruppen Informationen uber die Algebra A displaystyle A nbsp enthalten Konstruktion der Kohomologiegruppen BearbeitenDie Hochschild Kohomologiegruppen erhalt man durch eine analoge Konstruktion aus Raumen H o m A n M displaystyle mathrm Hom A otimes n M nbsp von K displaystyle K nbsp linearen Homomorphismen A n M displaystyle A otimes n rightarrow M nbsp wobei A displaystyle A nbsp wieder die betrachtete K displaystyle K nbsp Algebra und M displaystyle M nbsp ein A displaystyle A nbsp Bimodul seien Fur n 0 displaystyle n 0 nbsp erhalt man H o m A 0 M H o m K M M displaystyle mathrm Hom A otimes 0 M mathrm Hom K M cong M nbsp Wir definieren wieder Abbildungen i n H o m A n M H o m A n 1 M displaystyle partial i n mathrm Hom A otimes n M rightarrow mathrm Hom A otimes n 1 M nbsp Ist f H o m A n M displaystyle f in mathrm Hom A otimes n M nbsp so mussen wir festlegen wie i n f displaystyle partial i n f nbsp auf a 1 a n 1 displaystyle a 1 otimes ldots otimes a n 1 nbsp wirkt und dabei ein Element aus M displaystyle M nbsp ergibt und das geht so i n f a 1 a n 1 a 1 f a 2 a n 1 fur i 0 f a 1 a i a i 1 a n 1 fur 0 lt i lt n 1 f a 1 a n a n 1 fur i n 1 displaystyle partial i n f a 1 otimes ldots otimes a n 1 begin cases a 1 f a 2 otimes ldots otimes a n 1 amp text fur i 0 f a 1 otimes ldots otimes a i a i 1 otimes ldots otimes a n 1 amp text fur 0 lt i lt n 1 f a 1 otimes ldots otimes a n a n 1 amp text fur i n 1 end cases nbsp Man setzt diesmal mit einem oberen Index n i 0 n 1 1 i i n H o m A n M H o m A n 1 M displaystyle partial n sum i 0 n 1 1 i partial i n mathrm Hom A otimes n M rightarrow mathrm Hom A otimes n 1 M nbsp das heisst 0 m a 1 a 1 m m a 1 displaystyle partial 0 m a 1 a 1 m ma 1 nbsp 1 f a 1 a 2 a 1 f a 2 f a 1 a 2 f a 1 a 2 displaystyle partial 1 f a 1 otimes a 2 a 1 f a 2 f a 1 a 2 f a 1 a 2 nbsp 2 f a 1 a 2 a 3 a 1 f a 2 a 3 f a 1 a 2 a 3 f a 1 a 2 a 3 f a 1 a 2 a 3 displaystyle partial 2 f a 1 otimes a 2 otimes a 3 a 1 f a 2 otimes a 3 f a 1 a 2 otimes a 3 f a 1 otimes a 2 a 3 f a 1 otimes a 2 a 3 nbsp und so weiter Dann gilt n 1 n 0 displaystyle partial n 1 circ partial n 0 nbsp fur alle n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 ldots nbsp Man erhalt also einen Kokettenkomplex 0 M H o m A 0 M 0 H o m A 1 M 1 H o m A 2 M 2 displaystyle 0 rightarrow M cong mathrm Hom A otimes 0 M xrightarrow partial 0 mathrm Hom A otimes 1 M xrightarrow partial 1 mathrm Hom A otimes 2 M xrightarrow partial 2 ldots nbsp Die Hochschild Kohomologie von A displaystyle A nbsp mit Werten in M displaystyle M nbsp ist als Kohomologie dieses Kokettenkomplexes definiert das heisst die n displaystyle n nbsp te Hochschild Kohomologiegruppe von A displaystyle A nbsp mit Werten in M displaystyle M nbsp ist die Faktorgruppe H n A M k e r n i m n 1 displaystyle H n A M mathrm ker partial n mathrm im partial n 1 nbsp wobei 1 displaystyle partial 1 nbsp der Nullmorphismus 0 M displaystyle 0 rightarrow M nbsp ist Auch hier geht die Algebrenstruktur von A displaystyle A nbsp in die Definitionen ein so dass die Hochschild Kohomologiegruppen Informationen uber die Algebra enthalten Beispiele BearbeitenIn den folgenden Beispielen die in den Hochschild Homomlogie und Kohomologiegruppen steckende Informationen belegen sollen seien A displaystyle A nbsp wieder eine assoziative K displaystyle K nbsp Algebra mit Einselement und M displaystyle M nbsp ein A displaystyle A nbsp Bimodul Die 0 displaystyle 0 nbsp te Hochschild Homologie und Kohomologiegruppen lassen sich leicht bestimmen H 0 A M M i m d 1 M M A displaystyle H 0 A M M mathrm im d 1 M M A nbsp wobei M A displaystyle M A nbsp der Kommutator aus M displaystyle M nbsp und A displaystyle A nbsp das Erzeugnis aus allen a m m a a A m M displaystyle am ma a in A m in M nbsp ist Weiter ist H 0 A M k e r 0 m M a m m a a A displaystyle H 0 A M mathrm ker partial 0 m in M am ma forall a in A nbsp A M displaystyle A M nbsp ist auf naturliche Weise ein A displaystyle A nbsp Bimodul wobei die Vertraglichkeitsbedingung genau durch das Assoziativgesetz gegeben ist Als Spezialfall erhalt man daher H 0 A A A A A displaystyle H 0 A A A A A nbsp und H 0 A A Z A displaystyle H 0 A A Z A nbsp wobei Z A displaystyle Z A nbsp das Zentrum von A displaystyle A nbsp ist Eine K displaystyle K nbsp Derivation auf A displaystyle A nbsp mit Werten in M displaystyle M nbsp ist eine K displaystyle K nbsp lineare Abbildung f A M displaystyle f A rightarrow M nbsp mit der zusatzlichen Eigenschaft f a 1 a 2 a 1 f a 2 f a 1 a 2 displaystyle f a 1 a 2 a 1 f a 2 f a 1 a 2 nbsp die an die Produktregel fur das Ableiten erinnert Mit D e r A M displaystyle mathrm Der A M nbsp sei die Menge aller Derivationen bezeichnet Fur jedes m M displaystyle m in M nbsp ist durch f m a a m m a displaystyle f m a am ma nbsp eine solche Derivation gegeben Derartige Derivationen f m displaystyle f m nbsp nennt man innere Derivationen I D e r A M displaystyle mathrm IDer A M nbsp bezeichne die Menge aller inneren Derivationen Eine Inspektion der oben fur 1 displaystyle partial 1 nbsp und 2 displaystyle partial 2 nbsp angegebenen Formeln zeigt i m 0 I D e r A M displaystyle mathrm im partial 0 mathrm IDer A M nbsp k e r 1 D e r A M displaystyle mathrm ker partial 1 mathrm Der A M nbsp und daher H 1 A M D e r A M I D e r A M displaystyle H 1 A M mathrm Der A M mathrm IDer A M nbsp Die erste Hochschild Kohomologiegruppe gibt also Auskunft uber die Reichhaltigkeit der Derivationen ihr Verschwinden bedeutet dass alle Derivationen inner sind Multilineare Abbildungen BearbeitenDie Hochschild Kohomologiegruppen konnen alternativ mittels der Raume M L i n A n M displaystyle mathrm MLin A n M nbsp der multilinearen Abbildungen A n M displaystyle A n rightarrow M nbsp eingefuhrt werden Man setzt fur f M L i n A n M displaystyle f in mathrm MLin A n M nbsp und a 1 a n A n displaystyle a 1 ldots a n in A n nbsp n f a 1 a n 1 a 1 f a 2 a n 1 i 1 n 1 i f a 1 a i a i 1 a n 1 1 n 1 f a 1 a n a n 1 displaystyle partial n f a 1 ldots a n 1 a 1 f a 2 ldots a n 1 sum i 1 n 1 i f a 1 ldots a i a i 1 ldots a n 1 1 n 1 f a 1 ldots a n a n 1 nbsp und man kommt zu einem entsprechenden Kokettenkomplex 0 M M L i n A 0 M 0 M L i n A M 1 M L i n A 2 M 2 displaystyle 0 rightarrow M mathrm MLin A 0 M xrightarrow partial 0 mathrm MLin A M xrightarrow partial 1 mathrm MLin A 2 M xrightarrow partial 2 ldots nbsp mit dem man wieder Kohomologiegruppen definieren kann Man erhalt zu den oben definierten H n A M displaystyle H n A M nbsp isomorphe Gruppen da sich multilineare Abbildungen A n M displaystyle A n rightarrow M nbsp und lineare Abbildungen A n M displaystyle A otimes n rightarrow M nbsp nach Konstruktion des Tensorproduktes 1 zu 1 entsprechen Topologische Algebren BearbeitenDie oben vorgestellten Konzepte lassen sich auch fur topologische Algebren insbesondere Banachalgebren ausfuhren wobei man bei der Tensorproduktbildung im Falle von Banachalgebren das projektive Tensorprodukt verwendet und sich bei allen auftretenden Abbildungen auf stetige Abbildungen beschrankt Literatur BearbeitenHenri Cartan Samuel Eilenberg Homological Algebra Princeton University Press 1999 ISBN 978 0 691 04991 5 insbesondere Kapitel X A Y Helemskii The Homology of Banach and Topological Algebras Kluwer Academic Publishers 1989 ISBN 0 7923 0217 6 G Hochschild On the Cohomology Groups of an Associative Algebra Annals of Mathematics Band 46 1945 Seiten 58 76 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hochschild Homologie und Kohomologie amp oldid 222184872
