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Hankel Transformation Die ist in der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik eine lineare Integraltransformat

Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation, welche im Kern auf den Bessel-Funktionen erster Gattung basiert. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel. Anwendungen liegen unter anderem im Bereich der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern.

Definition Bearbeiten

Bei der Hankel-Transformation gibt es unterschiedliche Konventionen, sie zu definieren. Sei eine komplexwertige Funktion und . Dann kann man die Hankel-Transformation der Ordnung von durch

definieren, dabei sind die

Bessel-Funktionen erster Gattung und ist die Gammafunktion. Insofern das Integral existiert, nennt man die Hankel-Transformierte von . Diese Konvention der Hankel-Transformation wird überwiegend in diesem Artikel verwendet. In einzelnen Abschnitten wird jedoch die im Folgenden dargestellte Variante verwendet, worauf in den entsprechenden Abschnitten hingewiesen wird.

Eine andere Möglichkeit die Hankel-Transformation der Ordnung von zu definieren, ist

Hier werden mit ebenfalls die Bessel-Funktionen erster Gattung bezeichnet und heißt auch hier Hankel-Transformierte, insofern das Integral existiert.

Inverse Hankel-Transformation Bearbeiten

Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation ist es auch bei der Hankel-Transformation unter gewissen Umständen möglich, aus der Hankel-Transformierten ihre Ausgangsfunktion zurückzugewinnen. Ein wichtiges Resultat aus der Theorie der Hankel-Transformation besagt, dass, falls eine Lebesgue-integrierbare Funktion mit beschränkter Variation ist, die Ausgangsfunktion aus der Hankel-Transformierten mit der inversen Integraltransformation

zurückgewonnen werden kann. Die Hankel-Transformation und ihre inverse Transformation sind also gleich. Sie kann daher als involutive Abbildung verstanden werden. Für die alternative Definition gilt diese Aussage analog.

Eigenschaften Bearbeiten

Orthogonalität Bearbeiten

Die Bessel-Funktionen bilden eine Orthogonalbasis: Es gilt

für und größer 0 und mit als der Delta-Distribution.

Algebraisierung des besselschen Differentialoperators Bearbeiten

Sei

der besselsche Differentialoperator. Für die Bessel-Funktionen gilt also . Mit Hilfe der Hankel-Transformation ist es möglich, diesen Differentialoperator in einen Ausdruck ohne Ableitungen zu überführen. Präzise gilt

Dies ist eine zentrale Eigenschaft der Hankel-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen.

Beziehung zur Fourier-Transformation Bearbeiten

Die Hankel-Transformation hat einige Analogien zur Fourier-Transformation. Insbesondere lässt sich die Hankel-Transformierte durch eine zweidimensionale Fourier-Transformation berechnen. Sei dazu eine radialsymmetrische Funktion. Das heißt, die Funktion ist unabhängig von , weshalb sie im Folgenden nur mit dem Parameter notiert wird. Von dieser Funktion wird nun mit Hilfe der Funktion und der Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte beschrieben.

Um dies zu sehen, wird das Fourier-Integral

von in Polarkoordinaten transformiert, was zu

führt. Dies zeigt, dass eine Fourier-Transformation einer radialsymmetrischen Funktion immer der Hankel-Transformation einer entsprechenden Funktion entspricht. Insbesondere ist es möglich, zu einer gegebenen Funktion eine entsprechende radialsymmetrische Funktion zu konstruieren, mit der man durch Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte von berechnen kann.

Hankel-Transformation für Distributionen Bearbeiten

Ebenfalls wie bei der Fourier-Transformation ist es bei der Hankel-Transformation auf analoge Weise möglich, sie auf Distributionen zu verallgemeinern. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation kann die Hankel-Transformationen nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen definiert werden. Daher definiert man einen neuen Raum und erklärt die Hankel-Transformation für Distributionen auf seinem Dualraum.

Distributionenraum Bearbeiten

Sei , dann ist definiert durch

Auf diesem Vektorraum wird zusätzlich eine Topologie in Form eines Konvergenzbegriffs definiert. Eine Folge konvergiert genau dann gegen Null, wenn

für alle gilt. Durch Bilden des topologischen Dualraums erhält man den Distributionenraum , auf dem man die Hankel-Transformation definieren kann. Beispielsweise sind alle Distributionen mit kompaktem Träger in , wie die Delta-Distribution eine ist, in dem Raum enthalten.

Hankel-Transformation Bearbeiten

Für ist die Hankel-Transformation für alle definiert durch

Der Ausdruck ist wieder eine Hankel-Transformation einer Funktion und daher definiert. Aufgrund der Konstruktion des Raums wird hier allerdings die Konvention für die Transformation verwendet.

Wie bei der Fourier-Transformation für Distributionen führt man auch die Hankel-Transformation nicht auf der Distribution selbst aus, sondern sie wird auf der Testfunktion berechnet.

Beispiele Bearbeiten

Signal
 Hankel-Transformierte
, gültig für
, gültig für ungerades
,

In diesem Abschnitt wird mit die Bessel-Funktionen zweiter Gattung -ter Ordnung, mit die Gammafunktion, mit die imaginäre Einheit und mit wieder die Delta-Distribution bezeichnet. In der Tabelle auf der rechten Seite werden noch zusätzlich einige Paare von Hankel-Transformationen gelistet.

Die Hyperbel 1/t Bearbeiten

Für die Hankel-Transformierte nullter Ordnung von gilt

Die Funktion ist also ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

Die Gaußsche Glockenkurve Bearbeiten

In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Hankel-Transformation von der gaußschen Glockenkurve mit Hilfe der Fourier-Transformation skizziert. Da die Funktion analytisch ist, kann sie auf fortgesetzt werden und ist dort sogar radialsymmetrisch. Daher kann die Hankel-Transformierte mit der Fourier-Transformation über berechnet werden. Für die Fourier-Transformation ist ein Fixpunkt, woraus folgt, dass die Hankel-Transformierte von ebenfalls wieder ist. Also ist die gaußsche Glockenkurve ebenfalls ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

Die Delta-Distribution Bearbeiten

In diesem Beispiel wird die Hankel-Transformation nullter Ordnung der Delta-Distribution berechnet. Es gilt

Der Ausdruck ist als Distribution, die von der konstanten Einsfunktion erzeugt wird, zu verstehen. Im Bereich der Physik notiert man die Delta-Distribution oftmals unpräzise als reellwertige Funktion und nicht als Funktional. In diesem Fall kürzt sich die Berechnung der Hankel-Transformation auf

Möchte man umgekehrt die Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion berechnen, stößt man beim Einsetzen in die Integraldarstellung auf ein divergentes Integral. Aufgrund von Dichtheitsargumenten ist es trotzdem möglich, die Delta-Distribution als Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion aufzufassen.

Quellen Bearbeiten

  • Larry C. Andrews, Bhimsen K. Shivamoggi: Integral Transforms for Engineers. SPIE Press, University of Central Florida, 1999, ISBN 978-0-8194-3232-2, Kapitel 7.
  • Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.
  • L. S. Dube, J. N. Pandey: On the Hankel transform of distributions Tohoku Math. J. (2) Volume 27, Number 3 (1975), 337–354.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage. Springer, ISBN 978-3-540-24999-3, S. 219 bis 223.
  2. ↑ Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.4.
  3. Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.11.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Hankel Transformation ist in der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik eine lineare Integraltransformation welche im Kern auf den Bessel Funktionen erster Gattung basiert Sie ist benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel Anwendungen liegen unter anderem im Bereich der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Inverse Hankel Transformation 3 Eigenschaften 3 1 Orthogonalitat 3 2 Algebraisierung des besselschen Differentialoperators 4 Beziehung zur Fourier Transformation 5 Hankel Transformation fur Distributionen 5 1 Distributionenraum 5 2 Hankel Transformation 6 Beispiele 6 1 Die Hyperbel 1 t 6 2 Die Gausssche Glockenkurve 6 3 Die Delta Distribution 7 Quellen 8 Einzelnachweise 9 WeblinksDefinition BearbeitenBei der Hankel Transformation gibt es unterschiedliche Konventionen sie zu definieren Sei f displaystyle f nbsp eine komplexwertige Funktion und n gt 1 2 displaystyle nu gt tfrac 1 2 nbsp Dann kann man die Hankel Transformation H n displaystyle operatorname H nu nbsp der Ordnung n displaystyle nu nbsp von f displaystyle f nbsp durch F n u H n f t 0 f t J n u t t d t displaystyle F nu u operatorname H nu f t int 0 infty f t cdot J nu ut cdot t mathrm d t nbsp definieren dabei sind die J n x r 0 1 r x 2 2 r n G n r 1 r displaystyle J nu x sum r 0 infty frac 1 r frac x 2 2r nu Gamma nu r 1 r nbsp Bessel Funktionen erster Gattung und G displaystyle Gamma cdot nbsp ist die Gammafunktion Insofern das Integral existiert nennt man H n f t displaystyle operatorname H nu f t nbsp die Hankel Transformierte von f displaystyle f nbsp Diese Konvention der Hankel Transformation wird uberwiegend in diesem Artikel verwendet In einzelnen Abschnitten wird jedoch die im Folgenden dargestellte Variante verwendet worauf in den entsprechenden Abschnitten hingewiesen wird Eine andere Moglichkeit die Hankel Transformation der Ordnung n gt 1 2 displaystyle nu gt tfrac 1 2 nbsp von f displaystyle f nbsp zu definieren ist F n u H n f t 0 f t u t J n u t d t displaystyle F nu u operatorname H nu f t int 0 infty f t cdot sqrt ut cdot J nu ut mathrm d t nbsp Hier werden mit J n displaystyle J nu nbsp ebenfalls die Bessel Funktionen erster Gattung bezeichnet und H n f t displaystyle operatorname H nu f t nbsp heisst auch hier Hankel Transformierte insofern das Integral existiert Inverse Hankel Transformation BearbeitenAhnlich wie bei der Fourier Transformation ist es auch bei der Hankel Transformation unter gewissen Umstanden moglich aus der Hankel Transformierten ihre Ausgangsfunktion zuruckzugewinnen Ein wichtiges Resultat aus der Theorie der Hankel Transformation besagt dass falls f L 1 0 displaystyle f in L 1 0 infty nbsp eine Lebesgue integrierbare Funktion mit beschrankter Variation ist die Ausgangsfunktion f displaystyle f nbsp aus der Hankel Transformierten F n displaystyle F nu nbsp mit der inversen Integraltransformation f t H n 1 F n u 0 F n u J n u t u d u displaystyle f t operatorname H nu 1 F nu u int 0 infty F nu u cdot J nu ut cdot u mathrm d u nbsp zuruckgewonnen werden kann Die Hankel Transformation und ihre inverse Transformation sind also gleich Sie kann daher als involutive Abbildung verstanden werden Fur die alternative Definition gilt diese Aussage analog Eigenschaften BearbeitenOrthogonalitat Bearbeiten Die Bessel Funktionen bilden eine Orthogonalbasis Es gilt 0 J n u t J n u t t d t d u u u displaystyle int 0 infty J nu ut cdot J nu u t cdot t mathrm d t frac delta u u u nbsp fur u displaystyle u nbsp und u displaystyle u nbsp grosser 0 und mit d displaystyle delta nbsp als der Delta Distribution Algebraisierung des besselschen Differentialoperators Bearbeiten Sei B n f r 2 d 2 d r 2 r d d r r 2 n 2 f displaystyle B nu f left r 2 frac mathrm d 2 mathrm d r 2 r frac mathrm d mathrm d r r 2 nu 2 right f nbsp der besselsche Differentialoperator Fur die Bessel Funktionen gilt also B n J n 0 displaystyle B nu J nu 0 nbsp Mit Hilfe der Hankel Transformation ist es moglich diesen Differentialoperator in einen Ausdruck ohne Ableitungen zu uberfuhren Prazise gilt H n B n f s s 2 H n f s displaystyle operatorname H nu B nu f s s 2 operatorname H nu f s nbsp Dies ist eine zentrale Eigenschaft der Hankel Transformation zum Losen von Differentialgleichungen 2 Beziehung zur Fourier Transformation BearbeitenDie Hankel Transformation hat einige Analogien zur Fourier Transformation Insbesondere lasst sich die Hankel Transformierte durch eine zweidimensionale Fourier Transformation berechnen Sei dazu ϕ R 2 C displaystyle phi colon mathbb R 2 to mathbb C nbsp eine radialsymmetrische Funktion Das heisst die Funktion f r 8 ϕ r cos 8 r sin 8 displaystyle f r theta phi r cos theta r sin theta nbsp ist unabhangig von 8 displaystyle theta nbsp weshalb sie im Folgenden nur mit dem Parameter r displaystyle r nbsp notiert wird Von dieser Funktion f displaystyle f nbsp wird nun mit Hilfe der Funktion ϕ displaystyle phi nbsp und der Fourier Transformation die Hankel Transformierte beschrieben Um dies zu sehen wird das Fourier Integral F ϕ 3 1 3 2 1 2 p R 2 ϕ x y e i x 3 1 y 3 2 d x y displaystyle mathcal F phi xi 1 xi 2 frac 1 2 pi int mathbb R 2 phi x y e i x xi 1 y xi 2 mathrm d x y nbsp von ϕ displaystyle phi nbsp in Polarkoordinaten transformiert was zu F ϕ s cos s s sin s 1 2 p r 0 r 8 0 2 p ϕ r cos 8 r sin 8 e i s r cos 8 s d 8 d r 1 2 p r 0 r f r a 0 2 p e i s r cos a d a d r r 0 r f r J 0 s r d r displaystyle begin aligned mathcal F phi s cos sigma s sin sigma amp frac 1 2 pi int r 0 infty r int theta 0 2 pi phi r cos theta r sin theta e isr cos theta sigma mathrm d theta mathrm d r amp frac 1 2 pi int r 0 infty rf r int alpha 0 2 pi e isr cos alpha mathrm d alpha mathrm d r amp int r 0 infty rf r J 0 sr mathrm d r end aligned nbsp fuhrt Dies zeigt dass eine Fourier Transformation einer radialsymmetrischen Funktion immer der Hankel Transformation einer entsprechenden Funktion entspricht Insbesondere ist es moglich zu einer gegebenen Funktion f 0 C displaystyle f colon 0 infty to mathbb C nbsp eine entsprechende radialsymmetrische Funktion ϕ displaystyle phi nbsp zu konstruieren mit der man durch Fourier Transformation die Hankel Transformierte von f displaystyle f nbsp berechnen kann Hankel Transformation fur Distributionen BearbeitenEbenfalls wie bei der Fourier Transformation ist es bei der Hankel Transformation auf analoge Weise moglich sie auf Distributionen zu verallgemeinern Im Gegensatz zur Fourier Transformation kann die Hankel Transformationen nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen definiert werden Daher definiert man einen neuen Raum H n 0 displaystyle H nu 0 infty nbsp und erklart die Hankel Transformation fur Distributionen auf seinem Dualraum Distributionenraum Bearbeiten Sei n R displaystyle nu in mathbb R nbsp dann ist H n 0 displaystyle H nu 0 infty nbsp definiert durch H n 0 ϕ C 0 k m N 0 sup x 0 x m 1 x d d x k x n 1 2 ϕ x lt displaystyle H nu 0 infty left phi in C infty 0 infty left forall k m in mathbb N 0 sup x in 0 infty left x m left tfrac 1 x tfrac mathrm d mathrm d x right k x nu frac 1 2 phi x right lt infty right right nbsp Auf diesem Vektorraum wird zusatzlich eine Topologie in Form eines Konvergenzbegriffs definiert Eine Folge ϕ j H n 0 displaystyle phi j subset H nu 0 infty nbsp konvergiert genau dann gegen Null wenn lim j sup x 0 x m 1 x d d x k x n 1 2 ϕ j x 0 displaystyle lim j to infty sup x in 0 infty left x m left tfrac 1 x tfrac mathrm d mathrm d x right k x nu frac 1 2 phi j x right 0 nbsp fur alle k m N 0 displaystyle k m in mathbb N 0 nbsp gilt Durch Bilden des topologischen Dualraums erhalt man den Distributionenraum H n 0 displaystyle H nu 0 infty nbsp auf dem man die Hankel Transformation definieren kann Beispielsweise sind alle Distributionen mit kompaktem Trager in 0 displaystyle 0 infty nbsp wie die Delta Distribution eine ist in dem Raum H n 0 displaystyle H nu 0 infty nbsp enthalten Hankel Transformation Bearbeiten Fur T H n 0 displaystyle T in H nu 0 infty nbsp ist die Hankel Transformation fur alle ϕ H n 0 displaystyle phi in H nu 0 infty nbsp definiert durch H n T ϕ T H n ϕ displaystyle operatorname H nu T phi T operatorname H nu phi nbsp Der Ausdruck H n ϕ displaystyle operatorname H nu phi nbsp ist wieder eine Hankel Transformation einer Funktion und daher definiert Aufgrund der Konstruktion des Raums H n 0 displaystyle H nu 0 infty nbsp wird hier allerdings die Konvention H n ϕ 0 f t u t J n u t d t displaystyle textstyle operatorname H nu phi int 0 infty f t sqrt ut J nu ut mathrm d t nbsp fur die Transformation verwendet Wie bei der Fourier Transformation fur Distributionen fuhrt man auch die Hankel Transformation nicht auf der Distribution selbst aus sondern sie wird auf der Testfunktion ϕ displaystyle phi nbsp berechnet Beispiele BearbeitenSignalf t displaystyle f t nbsp Hankel TransformierteF 0 u H 0 f u displaystyle F 0 u operatorname H 0 f u nbsp 1 displaystyle 1 nbsp d u u displaystyle delta u u nbsp gultig fur u 0 displaystyle u neq 0 nbsp 1 t displaystyle 1 t nbsp 1 u displaystyle 1 u nbsp t displaystyle t nbsp 1 u 3 displaystyle 1 u 3 nbsp t 3 displaystyle t 3 nbsp 9 u 5 displaystyle 9 u 5 nbsp t m displaystyle t m nbsp 2 m 1 G m 2 1 u m 2 G m 2 displaystyle frac 2 m 1 Gamma m 2 1 u m 2 Gamma m 2 nbsp gultig fur ungerades m displaystyle m nbsp 1 t 2 z 2 displaystyle frac 1 sqrt t 2 z 2 nbsp e u z u 2 z p u K 1 2 u z displaystyle frac e u z u sqrt frac 2 z pi u K 1 2 u z nbsp 1 t 2 z 2 displaystyle frac 1 t 2 z 2 nbsp K 0 u z displaystyle K 0 uz nbsp z C displaystyle z in mathbb C nbsp e i a t t displaystyle e mathrm i at t nbsp i a 2 u 2 a gt 0 u lt a displaystyle mathrm i sqrt a 2 u 2 quad a gt 0 u lt a nbsp 1 u 2 a 2 a gt 0 u gt a displaystyle 1 sqrt u 2 a 2 quad a gt 0 u gt a nbsp e a 2 t 2 2 displaystyle e a 2 t 2 2 nbsp e u 2 2 a 2 a 2 displaystyle frac e u 2 2a 2 a 2 nbsp t 2 f t displaystyle t 2 f t nbsp d 2 F n d u 2 1 u d F n d u displaystyle frac d 2 F nu du 2 frac 1 u frac dF nu du nbsp In diesem Abschnitt wird mit K n z displaystyle K n z nbsp die Bessel Funktionen zweiter Gattung n displaystyle n nbsp ter Ordnung mit G displaystyle Gamma nbsp die Gammafunktion mit i displaystyle mathrm i nbsp die imaginare Einheit und mit d displaystyle delta nbsp wieder die Delta Distribution bezeichnet In der Tabelle auf der rechten Seite werden noch zusatzlich einige Paare von Hankel Transformationen gelistet 3 Die Hyperbel 1 t Bearbeiten Fur die Hankel Transformierte nullter Ordnung von 1 t displaystyle tfrac 1 t nbsp gilt H 0 1 t s 0 t 1 t J 0 s t d t 0 J 0 s t d t 1 s displaystyle begin aligned operatorname H 0 left frac 1 t right s amp int 0 infty t cdot frac 1 t cdot J 0 st mathrm d t amp int 0 infty J 0 st mathrm d t amp frac 1 s end aligned nbsp Die Funktion 1 t displaystyle tfrac 1 t nbsp ist also ein Fixpunkt der Hankel Transformation Die Gausssche Glockenkurve Bearbeiten In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Hankel Transformation von der gaussschen Glockenkurve e x 2 2 displaystyle e frac x 2 2 nbsp mit Hilfe der Fourier Transformation skizziert Da die Funktion analytisch ist kann sie auf C R 2 displaystyle mathbb C cong mathbb R 2 nbsp fortgesetzt werden und ist dort sogar radialsymmetrisch Daher kann die Hankel Transformierte mit der Fourier Transformation uber R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp berechnet werden Fur die Fourier Transformation ist e x 2 2 displaystyle e frac x 2 2 nbsp ein Fixpunkt woraus folgt dass die Hankel Transformierte von e x 2 2 displaystyle e frac x 2 2 nbsp ebenfalls wieder e x 2 2 displaystyle e frac x 2 2 nbsp ist Also ist die gausssche Glockenkurve ebenfalls ein Fixpunkt der Hankel Transformation 2 Die Delta Distribution Bearbeiten In diesem Beispiel wird die Hankel Transformation nullter Ordnung der Delta Distribution d displaystyle delta nbsp berechnet Es gilt H 0 1 u d 0 ϕ H 0 d 0 1 u ϕ d 0 H 0 1 u ϕ H 0 1 u ϕ 0 0 u u J 0 0 ϕ u d u 0 ϕ u d u displaystyle begin aligned operatorname H 0 tfrac 1 u delta 0 phi amp operatorname H 0 delta 0 tfrac 1 u phi delta 0 operatorname H 0 tfrac 1 u phi operatorname H 0 tfrac 1 u phi 0 amp int 0 infty tfrac u u J 0 0 phi u mathrm d u amp int 0 infty phi u mathrm d u end aligned nbsp Der Ausdruck 0 ϕ u d u displaystyle textstyle int 0 infty phi u mathrm d u nbsp ist als Distribution die von der konstanten Einsfunktion erzeugt wird zu verstehen Im Bereich der Physik notiert man die Delta Distribution oftmals unprazise als reellwertige Funktion und nicht als Funktional In diesem Fall kurzt sich die Berechnung der Hankel Transformation auf H 0 1 u d 0 t 0 d u 1 u u J 0 t u d u J 0 0 1 displaystyle operatorname H 0 tfrac 1 u delta 0 t int 0 infty delta u cdot frac 1 u cdot u cdot J 0 tu mathrm d u J 0 0 1 nbsp Mochte man umgekehrt die Hankel Transformierte der konstanten Einsfunktion berechnen stosst man beim Einsetzen in die Integraldarstellung auf ein divergentes Integral Aufgrund von Dichtheitsargumenten ist es trotzdem moglich die Delta Distribution als Hankel Transformierte der konstanten Einsfunktion aufzufassen Quellen BearbeitenLarry C Andrews Bhimsen K Shivamoggi Integral Transforms for Engineers SPIE Press University of Central Florida 1999 ISBN 978 0 8194 3232 2 Kapitel 7 Alexander D Poularikas The Transforms and Applications Handbook 2 Auflage CRC Press 2000 ISBN 978 0 8493 8595 7 Kapitel 9 L S Dube J N Pandey On the Hankel transform of distributions Tohoku Math J 2 Volume 27 Number 3 1975 337 354 Einzelnachweise Bearbeiten Bernd Jahne Digitale Bildverarbeitung 6 Auflage Springer ISBN 978 3 540 24999 3 S 219 bis 223 a b Alexander D Poularikas The Transforms and Applications Handbook 2 Auflage CRC Press 2000 ISBN 978 0 8493 8595 7 Kapitel 9 4 Alexander D Poularikas The Transforms and Applications Handbook 2 Auflage CRC Press 2000 ISBN 978 0 8493 8595 7 Kapitel 9 11 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Hankel Transform In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hankel Transformation amp oldid 215637627