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Beschränkte Variation In der Analysis ist eine Funktion von beschränkter Variation beschränkter Schwankung wenn ihre tot

Beschränkte Variation

In der Analysis ist eine Funktion von beschränkter Variation (beschränkter Schwankung), wenn ihre totale Variation (totale Schwankung) endlich ist, sie also in gewisser Weise nicht beliebig stark oszilliert. Diese Begriffe hängen eng mit der Stetigkeit und der Integrierbarkeit von Funktionen zusammen.

Beispiele für Funktionen unbeschränkter Variation
Beispiele für Funktionen beschränkter Variation

Der Raum aller Funktionen von beschränkter Variation auf dem Gebiet wird mit bezeichnet.

Das Konzept geht auf Camille Jordan zurück.

Reelle Funktionen Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Die totale Variation einer reellwertigen Funktion , die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, ist das Supremum

wobei dieses Supremum über alle möglichen Partitionen des Intervalls gebildet wird. Das hier angegebene hängt von ab.

Genau die stetigen Funktionen von beschränkter Variation sind Riemann-Stieltjes-integrierbar. Deshalb kann mit einer Halbnorm ausgestattet werden:

Hierbei wird das Supremum über alle stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger und Funktionswerten im Intervall gebildet.

Die Halbnorm stimmt mit dem Supremum, das die beschränkte Variation definiert, überein.

Beispiel Bearbeiten

Beispiel für unbeschränkte Variation

Ein einfaches Beispiel für eine Funktion mit unbeschränkter Variation ist in der Nähe von . Es ist anschaulich einsichtig, dass der Wert des Quotienten für mit zunehmender Annäherung an 0 immer schneller gegen ∞ anwachsen wird und damit der Sinus dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird. Dies zeigt das Bild rechts.

Die Funktion

ist ebenfalls nicht von beschränkter Schwankung im Intervall [0, 1], im Gegensatz zur Funktion:

Hier wird die Variation des Sinusterms, die für stark zunimmt, durch die zusätzliche Potenz genug gedämpft.

Erweiterungen Bearbeiten

Diese Definition kann auch für komplexwertige Funktionen oder Funktionen mit Werten in einem metrischen Raum verwendet werden (ersetze in letzterem Falle durch ).

BV-Funktionen in mehreren Variablen Bearbeiten

Funktionen von beschränkter Variation, oder -Funktionen, sind Funktionen, deren distributionelle Ableitungen endliche vektorwertige Radonmaße sind. Genauer:

Definition Bearbeiten

Sei eine offene Teilmenge von . Eine Funktion ist von beschränkter Variation oder Element von , wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches, signiertes, vektorwertiges Radonmaß ist. D. h., es existiert , so dass

gilt.

Zusammenhang mit rektifizierbaren Wegen Bearbeiten

Eine stetige Funktion kann auch als Weg im metrischen Raum aufgefasst werden. Es gilt, dass genau dann von beschränkter Variation ist, wenn ein rektifizierbarer Weg ist, also eine endliche Länge hat.

Zusammenhang mit der Maßtheorie Bearbeiten

In der Maßtheorie sind die reell-/komplexwertigen Funktionen von beschränkter Variation genau die Verteilungsfunktionen von signierten/komplexen Borelmaßen auf .

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Golubov, Variation of a function, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  2. Golubov, Function of boundes variation, Encyclopedia of Mathematics, Springer
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In der Analysis ist eine Funktion von beschrankter Variation beschrankter Schwankung wenn ihre totale Variation totale Schwankung endlich ist sie also in gewisser Weise nicht beliebig stark oszilliert Diese Begriffe hangen eng mit der Stetigkeit und der Integrierbarkeit von Funktionen zusammen Beispiele fur Funktionen unbeschrankter VariationBeispiele fur Funktionen beschrankter VariationDer Raum aller Funktionen von beschrankter Variation auf dem Gebiet W displaystyle Omega wird mit B V W displaystyle BV Omega bezeichnet Das Konzept geht auf Camille Jordan zuruck 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Reelle Funktionen 1 1 Definition 1 2 Beispiel 1 3 Erweiterungen 2 BV Funktionen in mehreren Variablen 2 1 Definition 3 Zusammenhang mit rektifizierbaren Wegen 4 Zusammenhang mit der Masstheorie 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseReelle Funktionen BearbeitenDefinition Bearbeiten Die totale Variation einer reellwertigen Funktion f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist ist das Supremum sup P i f x i 1 f x i displaystyle sup P sum i f x i 1 f x i nbsp wobei dieses Supremum uber alle moglichen Partitionen P x 1 x n x 1 lt lt x n displaystyle P x 1 dotsc x n mid x 1 lt dotsb lt x n nbsp des Intervalls a b displaystyle a b nbsp gebildet wird Das hier angegebene n displaystyle n nbsp hangt von P displaystyle P nbsp ab Genau die stetigen Funktionen von beschrankter Variation sind Riemann Stieltjes integrierbar Deshalb kann B V a b displaystyle BV a b nbsp mit einer Halbnorm ausgestattet werden n f sup f a b f x f x d x displaystyle n f sup varphi int a b f x varphi x mathrm d x nbsp Hierbei wird das Supremum uber alle stetig differenzierbaren Funktionen f displaystyle mathrm varphi nbsp mit kompaktem Trager und Funktionswerten im Intervall 1 1 displaystyle 1 1 nbsp gebildet Die Halbnorm stimmt mit dem Supremum das die beschrankte Variation definiert uberein Beispiel Bearbeiten nbsp Beispiel fur unbeschrankte VariationEin einfaches Beispiel fur eine Funktion mit unbeschrankter Variation ist x sin 1 x displaystyle textstyle x mapsto sin frac 1 x nbsp in der Nahe von x 0 displaystyle x 0 nbsp Es ist anschaulich einsichtig dass der Wert des Quotienten 1 x displaystyle tfrac 1 x nbsp fur x 0 displaystyle x to 0 nbsp mit zunehmender Annaherung an 0 immer schneller gegen anwachsen wird und damit der Sinus dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird Dies zeigt das Bild rechts Die Funktion f x 0 falls x 0 x sin 1 x falls x 0 displaystyle f x begin cases 0 amp text falls x 0 x sin 1 x amp text falls x neq 0 end cases nbsp ist ebenfalls nicht von beschrankter Schwankung im Intervall 0 1 im Gegensatz zur Funktion g x 0 falls x 0 x 2 sin 1 x falls x 0 displaystyle g x begin cases 0 amp text falls x 0 x 2 sin 1 x amp text falls x neq 0 end cases nbsp Hier wird die Variation des Sinusterms die fur x 0 displaystyle x to 0 nbsp stark zunimmt durch die zusatzliche Potenz genug gedampft Erweiterungen Bearbeiten Diese Definition kann auch fur komplexwertige Funktionen oder Funktionen mit Werten in einem metrischen Raum Y d displaystyle Y d nbsp verwendet werden ersetze in letzterem Falle f x i 1 f x i displaystyle vert f x i 1 f x i vert nbsp durch d f x i f x i 1 displaystyle d f x i f x i 1 nbsp BV Funktionen in mehreren Variablen BearbeitenFunktionen von beschrankter Variation oder B V displaystyle BV nbsp Funktionen sind Funktionen deren distributionelle Ableitungen endliche vektorwertige Radonmasse sind Genauer Definition Bearbeiten Sei W displaystyle Omega nbsp eine offene Teilmenge von R n displaystyle mathbb R n nbsp Eine Funktion u L 1 W displaystyle u in L 1 Omega nbsp ist von beschrankter Variation oder Element von B V W displaystyle BV Omega nbsp wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches signiertes vektorwertiges Radonmass ist D h es existiert D u M W R n displaystyle Du in mathcal M Omega mathbb R n nbsp so dass W u x div f x d x W f D u x fur alle f C c 1 W R n displaystyle int Omega u x operatorname div varphi x mathrm d x int Omega langle varphi Du x rangle qquad text fur alle varphi in C c 1 Omega mathbb R n nbsp gilt Zusammenhang mit rektifizierbaren Wegen BearbeitenEine stetige Funktion f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp kann auch als Weg im metrischen Raum R displaystyle mathbb R nbsp aufgefasst werden Es gilt dass f displaystyle f nbsp genau dann von beschrankter Variation ist wenn f displaystyle f nbsp ein rektifizierbarer Weg ist also eine endliche Lange hat Zusammenhang mit der Masstheorie BearbeitenIn der Masstheorie sind die reell komplexwertigen Funktionen von beschrankter Variation genau die Verteilungsfunktionen von signierten komplexen Borelmassen auf R displaystyle mathbb R nbsp Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 5 Auflage Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 49977 0 Gerald Teschl Topics in Real and Functional Analysis 2011 freie Onlineversion Luigi Ambrosio Nicola Fusco and Diego Pallara Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems Oxford 2000 Weblinks BearbeitenGolubov Function of bounded variation Encyclopedia of Mathematics SpringerEinzelnachweise Bearbeiten Golubov Variation of a function Encyclopedia of Mathematics Springer Golubov Function of boundes variation Encyclopedia of Mathematics Springer Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Beschrankte Variation amp oldid 237522190