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Einsteinkoeffizienten

In Einsteins Ratenbild werden die Einsteinkoeffizienten , und zur Berechnung der spontanen und stimulierten (induzierten) Emission und der Absorption verwendet. Sie werden neben der statistischen Physik u. a. in der Spektroskopie und in der Laserphysik angewendet und wurden 1916 von Albert Einstein eingeführt. und haben die Einheiten und hat die Einheit .

Dargestellt sind die beiden Energieniveaus und , die spontane Emission () sowie die Absorption () und die induzierte Emission ()

Die Einsteinkoeffizienten beschreiben im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse in der Elektronenkonfiguration bspw. eines Atoms oder Moleküls.

Im Folgenden bezeichnen wir den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2. Die Wahrscheinlichkeit der drei Prozesse hängt offensichtlich von der Anzahl der Atome im ausgehenden Zustand ab. Daneben hängen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab (spektrale Energiedichte nach Frequenz ). Einstein führte die Koeffizienten , und als zunächst unbestimmte Proportionalitätskonstanten ein, sodass

  • die Wahrscheinlichkeit der Absorption durch
  • die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission durch und
  • die Wahrscheinlichkeit der spontanen Emission durch

gegeben ist.

Die Zunahme der Teilchenanzahl im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch:

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Summe null:

Aus der Boltzmann-Verteilung weiß man, dass die Besetzung der Zustände mit ihren Energien wie folgt zusammenhängen:

wobei die die statistischen Gewichte bzw. den Entartungsgrad der Zustände darstellen.

Gleichsetzen und Auflösen nach der spektralen Energiedichte der Strahlung liefert:

Durch Koeffizientenvergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz oder dem Rayleigh-Jeans-Gesetz – bei letzterer unter Verwendung der Grenzbedingungen und einer Reihenentwicklung der Exponentialfunktion – erhält man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten:

mit

Sind die Zustände nicht entartet, also , so ist .

Die Lebensdauer des angeregten Zustands, also die durchschnittliche Dauer, bis ein Atom ohne äußere Einwirkung durch spontanen Zerfall in den Grundzustand übergeht, beträgt

Der Einsteinkoeffizient  ist eine stoffspezifische Eigenschaft des Übergangs und kann quantenmechanisch mit Hilfe des Übergangsdipolmoment bestimmt werden.

Die Einsteinkoeffizienten hängen nicht von der Temperatur ab. Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der Wärmestrahlung ist stattdessen eine Folge der Temperaturabhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeiten  und , die in der Regel durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben wird.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121–128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916)
  • Ausführliche Herleitung: H. Haken/H.C. Wolf: Atom- und Quantenphysik, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, ISBN 3540026215, S. 59, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  • Walter J. Moore, Dieter O. Hummel: Physikalische Chemie. 4. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin New York, 1986, ISBN 3-11-010979-4, S. 893–896
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In Einsteins Ratenbild werden die Einsteinkoeffizienten B 12 displaystyle B 12 B 21 displaystyle B 21 und A 21 displaystyle A 21 zur Berechnung der spontanen und stimulierten induzierten Emission und der Absorption verwendet Sie werden neben der statistischen Physik u a in der Spektroskopie und in der Laserphysik angewendet und wurden 1916 von Albert Einstein eingefuhrt B 12 displaystyle B 12 und B 21 displaystyle B 21 haben die Einheiten m k g displaystyle mathrm frac m kg und A 21 displaystyle A 21 hat die Einheit 1 s displaystyle mathrm frac 1 s Dargestellt sind die beiden Energieniveaus E 1 displaystyle E 1 und E 2 displaystyle E 2 die spontane Emission A 21 displaystyle A 21 sowie die Absorption B 12 displaystyle B 12 und die induzierte Emission B 21 displaystyle B 21 Die Einsteinkoeffizienten beschreiben im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse in der Elektronenkonfiguration bspw eines Atoms oder Molekuls die Absorption eines Photons aus einem elektromagnetischen Feld durch die ein Ubergang in einen angeregten Zustand ausgelost wird die stimulierte Emission eines Photons in eine bereits besetzte Mode eines elektromagnetischen Feldes wobei das Atom vom angeregten in den Grundzustand ubergeht die spontane Emission eines Photons in eine unbesetzte Mode Im Folgenden bezeichnen wir den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2 Die Wahrscheinlichkeit der drei Prozesse hangt offensichtlich von der Anzahl N i displaystyle N i der Atome im ausgehenden Zustand ab Daneben hangen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab spektrale Energiedichte nach Frequenz u displaystyle u Einstein fuhrte die Koeffizienten B 12 displaystyle B 12 B 21 displaystyle B 21 und A 21 displaystyle A 21 als zunachst unbestimmte Proportionalitatskonstanten ein sodass die Wahrscheinlichkeit der Absorption durch B 12 N 1 u displaystyle B 12 cdot N 1 cdot u die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission durch B 21 N 2 u displaystyle B 21 cdot N 2 cdot u und die Wahrscheinlichkeit der spontanen Emission durch A 21 N 2 displaystyle A 21 cdot N 2 gegeben ist Die Zunahme der Teilchenanzahl im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch d N 1 d t d N 2 d t N 1 B 12 u N 2 B 21 u N 2 A 21 displaystyle frac mathrm d N 1 mathrm d t frac mathrm d N 2 mathrm d t N 1 cdot B 12 cdot u N 2 cdot B 21 cdot u N 2 cdot A 21 dd Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Summe null d N 1 d t d N 2 d t 0 N 2 N 1 B 12 u A 21 B 21 u displaystyle frac mathrm d N 1 mathrm d t frac mathrm d N 2 mathrm d t 0 Rightarrow frac N 2 N 1 frac B 12 cdot u A 21 B 21 cdot u dd Aus der Boltzmann Verteilung weiss man dass die Besetzung der Zustande mit ihren Energien wie folgt zusammenhangen N 2 N 1 g 2 g 1 e E 2 k B T e E 1 k B T g 2 g 1 e D E k B T displaystyle frac N 2 N 1 frac g 2 g 1 cdot frac mathrm e E 2 k mathrm B cdot T mathrm e E 1 k mathrm B cdot T frac g 2 g 1 cdot mathrm e Delta E k mathrm B cdot T dd wobei die g i displaystyle g i die statistischen Gewichte bzw den Entartungsgrad der Zustande i 1 2 displaystyle i 1 2 darstellen Gleichsetzen und Auflosen nach der spektralen Energiedichte der Strahlung liefert u A 21 B 21 1 B 12 B 21 g 1 g 2 e D E k B T 1 displaystyle u frac A 21 B 21 cdot frac 1 frac B 12 B 21 cdot frac g 1 g 2 mathrm e Delta E k mathrm B cdot T 1 Durch Koeffizientenvergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz oder dem Rayleigh Jeans Gesetz bei letzterer unter Verwendung der Grenzbedingungen und einer Reihenentwicklung der Exponentialfunktion erhalt man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten g 1 B 12 g 2 B 21 displaystyle g 1 cdot B 12 g 2 cdot B 21 B 21 A 21 l 3 8 p h displaystyle B 21 A 21 cdot frac lambda 3 8 pi h mit der Wellenlange l displaystyle lambda der Planck Konstante h displaystyle h Sind die Zustande nicht entartet also g 1 g 2 1 displaystyle g 1 g 2 1 so ist B 12 B 21 B displaystyle B 12 B 21 B Die Lebensdauer des angeregten Zustands also die durchschnittliche Dauer bis ein Atom ohne aussere Einwirkung durch spontanen Zerfall in den Grundzustand ubergeht betragt t 1 A 21 displaystyle tau frac 1 A 21 Der Einsteinkoeffizient A 21 displaystyle A 21 ist eine stoffspezifische Eigenschaft des Ubergangs und kann quantenmechanisch mit Hilfe des Ubergangsdipolmoment M i k displaystyle vec M ik bestimmt werden Die Einsteinkoeffizienten hangen nicht von der Temperatur ab Die Temperaturabhangigkeit der Energieverteilung der Warmestrahlung ist stattdessen eine Folge der Temperaturabhangigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeiten N 1 displaystyle N 1 und N 2 displaystyle N 2 die in der Regel durch die Boltzmann Verteilung beschrieben wird Siehe auch BearbeitenBesetzungsinversionLiteratur BearbeitenA Einstein Zur Quantentheorie der Strahlung Physikalische Zeitschrift 18 1917 121 128 Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zurich 18 1916 Ausfuhrliche Herleitung H Haken H C Wolf Atom und Quantenphysik 8 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2004 ISBN 3540026215 S 59 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Walter J Moore Dieter O Hummel Physikalische Chemie 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin New York 1986 ISBN 3 11 010979 4 S 893 896 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einsteinkoeffizienten amp oldid 237658867