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Laplace Runge Lenz Vektor Der auch Runge Lenz Vektor Lenzscher Vektor etc nach Pierre Simon Laplace Carl Runge und Wilhe

Laplace-Runge-Lenz-Vektor

Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor (auch Runge-Lenz-Vektor, Lenzscher Vektor etc., nach Pierre-Simon Laplace, Carl Runge und Wilhelm Lenz) ist eine Erhaltungsgröße der Bewegung in einem 1/r-Potential (z. B. Coulomb-Potential, Gravitationspotential), d. h. er ist auf jedem Punkt der Bahn gleich. Er zeigt vom Brennpunkt der Bahn (Kraftzentrum) zum nächstgelegenen Bahnpunkt (Perihel bei der Erdbahn) und hat somit eine Richtung parallel zur großen Bahnachse. Sein Betrag ist mit der Exzentrizität der Bahn verknüpft. Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor ermöglicht daher die elegante Herleitung der Bahnkurve eines Teilchens (z. B. Planet im Keplerproblem, -Teilchen gestreut an Atomkern) in diesem Kraftfeld, ohne eine einzige Bewegungsgleichung lösen zu müssen.

In der klassischen Mechanik wird der Vektor hauptsächlich benutzt, um die Form und Orientierung der Umlaufbahn eines astronomischen Körpers um einen anderen zu beschreiben, etwa die Bahn eines Planeten um seinen Stern.

Auch in der Quantenmechanik des Wasserstoffatoms spielt der Vektor als Laplace-Runge-Lenz- oder Laplace-Runge-Lenz-Pauli-Operator eine Rolle.

Definition Bearbeiten

Illustration des Laplace-Runge-Lenz-Vektors an einer Ellipsenbahn für vier unterschiedliche Punkte

Sei

ein radialsymmetrisches anziehendes Potential, das mit einer Proportionalitätskonstante umgekehrt proportional zum relativen Abstand zweier Objekte ist. Dann ist der Laplace-Runge-Lenz-Vektor definiert als

wobei

bezeichnet.

Exzentrizitätsvektor Bearbeiten

Der dimensionslose Vektor

heißt Exzentrizitätsvektor. Speziell im Keplerproblem mit kann die Definitionsgleichung in eine Form überführt werden, in der die Masse des bewegten Körpers (z. B. eines beobachteten Satelliten) eliminiert wurde:

Dabei ist

Beweis der Erhaltung Bearbeiten

Direkte Rechnung Bearbeiten

In einem System mit -1/r-Potential gilt Isotropie. Daher gilt Drehimpulserhaltung mit der Konsequenz, dass die Bewegung in einer Ebene senkrecht zum Drehimpuls stattfindet und es eine einfache Beziehung zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit gibt:

Die Winkelgeschwindigkeit bestimmt die Zeitableitung des zweiten Terms von , denn ein Einheitsvektor kann sich nur durch Drehung ändern:

Die Kraft ist nach dem 2. Newtonschen Gesetz die Änderungsrate des Impulses (und wirkt Richtung Zentrum):

Für den ersten Term von gilt damit (beim Tauschen der Vektoren ändert sich ein Vorzeichen)

Durch Subtrahieren folgt nun die Konstanz des Runge-Lenz-Vektors:

Herleitung mithilfe der bac-cab-Regel Bearbeiten

Aus und der Produktregel bei Ableitungen folgt

mit und folgt:

Nun wird angewendet. Beim zweiten Term wird die Quotientenregel und Kettenregel angewendet:

Folgerung aus dem Noether-Theorem Bearbeiten

Obwohl sich in der Literatur teilweise die Aussage findet, es existiere zum Laplace-Runge-Lenz-Vektor keine zugehörige Symmetrietransformation der Lagrangefunktion, kann diese offenbar angegeben werden.

(Dabei ist zu beachten, welche Formulierung des Noether-Theorems zugrunde liegt. [3] verwendet eine allgemeinere Formulierung, die insbesondere geschwindigkeitsabhängige Transformationen zulässt, während sich die Betrachtungen in [2] auf eine Formulierung beschränken, die nur orts- und zeitabhängige Transformationen zulässt.)

Die Lagrangefunktion eines attraktiven -Potentials lautet:

Die der Erhaltung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors zugrunde liegende Symmetrie zeigt sich unter der Variablentransformation

mit drei infinitesimalen Parametern . Mithilfe der Bewegungsgleichungen kann die entsprechende Transformation der Geschwindigkeiten als

identifiziert werden. Durch Einsetzen in die Lagrangefunktion und Taylor-Entwicklung bis zur Ordnung zeigt sich, dass sich diese wie

verhält, wobei der zusätzliche Term eine totale Zeitableitung ist und daher die Wirkung des Systems invariant lässt. Aus dem Noether-Theorem folgt, dass die drei Komponenten des Vektors

erhalten sind.

Erhaltung im Hamilton-Formalismus Bearbeiten

Mit der Hamilton-Funktion des Systems

folgt für die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion und des Laplace-Runge-Lenz-Vektors nach den Koordinaten und Impulsen

und nach den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

Herleitung der Bahnkurve Bearbeiten

Hierfür ist normalerweise, d. h., wenn man das Arbeiten mit der Energie als Erhaltungsgröße vorzieht, eine aufwändige Integration mit mehreren Substitutionen nötig. Dagegen folgt aus der Multiplikation des Runge-Lenz-Vektors mit nun einfach nach der Kosinusbeziehung des Skalarprodukts (pfeillose Buchstaben kennzeichnen stets die Beträge des zugehörigen Vektors):

Hierbei wurden die Zyklizität des Spatproduktes und die Drehimpulsdefinition genutzt. bezeichnet den Winkel zwischen Runge-Lenz- und Ortsvektor.

Durch Umschreiben entsteht eine Kegelschnittgleichung in Polarkoordinaten:

wobei der Term als die numerische Exzentrizität des Kegelschnitts , die die Bahnform Kreis (), Ellipse (), Parabel () oder Hyperbel () bestimmt, identifiziert werden kann.

Hodograph der Kepler-Bahn; die Punkte 1–4 entsprechen denen in obiger Abbildung

Weiterhin ist ebenfalls die Herleitung des Hodographen der Keplerbahn mithilfe des Laplace-Runge-Lenz-Vektors möglich. Da der Drehimpulsvektor senkrecht auf der Bewegungsebene steht, , folgt nach

mit der Lagrange-Identität und einer zyklischen Permutation des Spatprodukts

Bei einer Wahl des Koordinatensystems, sodass der der Drehimpuls in -Richtung zeigt, , und der dazu orthogonale Laplace-Runge-Lenz-Vektor in -Richtung, , folgt:

Der Hodograph ist somit ein Kreis mit Radius , der um vom Zentrum der Kraft verschoben ist. Für die Schnittpunkte des Hodographen mit der -Achse gilt:

Sie sind somit unabhängig vom Drehimpuls und vom Laplace-Runge-Lenz-Vektor.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Der Runge-Lenz-Vektor liegt in der Bahnebene, denn er steht senkrecht zum Drehimpulsvektor:
  • Der Runge-Lenz-Vektor zeigt vom Kraftzentrum der Bahn (einem der beiden Brennpunkte) zum Perizentrum, d. h. zentrumnächsten Punkt der Bahn. Dies folgt sofort aus obiger Bahngleichung, da den Winkel zwischen Orts- und Runge-Lenz-Vektor darstellt und minimal ist für maximalen Nenner, d. h. .
  • Der Runge-Lenz-Vektor hat als Betrag das -Fache der numerischen Exzentrizität der Bahnkurve. Dies wurde bereits bei der Herleitung derselben gezeigt. Da der Exzentrizitätsvektor der Runge-Lenz-Vektor geteilt durch ist, ist dessen Betrag gleich der numerischen Exzentrizität der Bahnkurve.
  • Alle drei Komponenten des Laplace-Runge-Lenz-Vektors sind Erhaltungsgrößen. Da sein Betrag bereits durch die anderen Erhaltungsgrößen Drehimpuls und Energie und seine Lage durch die Orthogonalität zum Drehimpulsvektor vorgegeben sind, liefert der Laplace-Runge-Lenz-Vektors nur eine unabhängige Erhaltungsgröße. Das Kepler-Problem hat daher fünf unabhängige Erhaltungsgrößen (Energie, 3 Komponenten des Drehimpulsvektors, Orientierung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors) für sechs Anfangsbedingungen; es ist daher ein maximal superintegrables System.

Durch den Runge-Lenz-Vektor ist damit aus den Positions- und Geschwindigkeitvektoren eines beobachteten Objekts die vollständige Form und Orientierung seiner Bahn festgelegt, die in einer Ebene senkrecht zum Dreimpulsvektor liegt.

Periheldrehung bei Abweichungen vom Kepler-Potential Bearbeiten

Die Erhaltung des Runge-Lenz-Vektors impliziert, dass die Ellipsen der Planetenbewegung im Kepler-Potential eine feststehende Orientierung im Raum haben.

Bei kleinen Abweichungen vom 1/r-Potential, z. B. durch Anwesenheit anderer Planeten im Sonnensystem oder infolge der Einsteinschen Relativitätstheorien, kommt es zu einer langsamen Drehung der Bahnachse (Periheldrehung). Wenn eine Abweichung so klein ist, dass ihr Quadrat vernachlässigt werden kann, so ist die Störung der Kepler-Bahn mit Hilfe des Runge-Lenz-Vektors elementar berechenbar. Es sei das Störpotential, das zum Kepler-Potential addiert wird. Für den Runge-Lenz-Vektor findet man (vgl. Beweis der Erhaltung)

Die z-Richtung steht dabei senkrecht zur Bahnebene. Offenbar ist die Bewegung des Runge-Lenz-Vektors nicht zu jedem Zeitpunkt eine Drehung. Eine Drehung ergibt sich aber, wenn infinitesimale Änderungen über einen Umlauf integriert werden. Dafür findet man zunächst

Da quadratische Effekte von vernachlässigbar sein sollen, kann für die ungestörte Bahnkurve eingesetzt werden. Der radiale Einheitsvektor, zerlegt in Komponenten parallel und senkrecht zur Bahnachse, ist

Bei der Kepler-Ellipse ist eine Funktion von , daher ergibt das Integral über eine Periode mit dem Faktor für jedes Störpotential null. Es bleibt nur

wobei eingesetzt wurde und der Drehwinkel durch folgenden Ausdruck gegeben ist:

Bei der Störung einer Planetenbahn durch die Anwesenheit anderer Planeten ist das Störpotential nicht unmittelbar von der Form , erhält aber diese Form durch Mittelung über viele Umläufe von Planeten in einer gemeinsamen Bahnebene.

Quantenmechanik Bearbeiten

In der Quantenmechanik kann im Wasserstoffproblem als Analogon zum Laplace-Runge-Lenz-Vektor der hermitesche Operator

definiert werden, wobei

Insbesondere ist in der Quantenmechanik , da der Kommutator zwischen Impuls- und Drehimpulsoperator nicht verschwindet. Der Hamilton-Operator des Coulomb-Problems ist

und aus der Definition des Drehimpulsoperators folgt die Kommutatorrelation

für alle Komponenten des Laplace-Runge-Lenz-Operators. Da dieser selbst nicht zeitabhängig ist, folgt aus den Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für quantenmechanische Operatoren

Aus der Vertauschbarkeit des Hamilton-Operators und des Laplace-Runge-Lenz-Operators folgt, dass beide einen Satz gemeinsamer Eigenzustände besitzen und insbesondere ebenfalls der Hamilton-Operator und das Quadrat des Laplace-Runge-Lenz-Operators.

Die Kommutatorrelationen für die einzelnen Komponenten des Laplace-Runge-Lenz-Operators lauten

und für den Kommutator der Komponenten des Laplace-Runge-Lenz-Operator und des Drehimpulsoperators

mit dem Levi-Civita-Symbol . Insbesondere sind

also existiert ein Satz gemeinsamer Eigenzustände zu beiden Sätzen der Operatoren und .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bruno Cordani: The Kepler problem : group theoretical aspects, regularization and quantization, with application to the study of perturbations. Birkhäuser Verlag, Basel 2003, ISBN 0-8176-6902-7.
  2. Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 10. Auflage. Wiley-VCH, 2016, ISBN 978-3-527-33960-0, S. 98.
  3. Jean-Marc Lévy-Leblond: Conservation Laws for Gauge-Variant Lagrangians in Classical Mechanics. In: American Journal of Physics. Band 39, Nr. 502, 1971, S. 505, doi:10.1119/1.1986202 (englisch).
  4. Herbert Goldstein: More on the prehistory of the Laplace or Runge-Lenz vector. In: American Journal of Physics. Band 44, Nr. 11, 1976, S. 1123–1124, doi:10.1119/1.10202 (englisch).
  5. W. Lenz: Über den Bewegungsverlauf und die Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung. Zeitschrift für Physik A 24 (1924), 197–207.
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Der Laplace Runge Lenz Vektor auch Runge Lenz Vektor Lenzscher Vektor etc nach Pierre Simon Laplace Carl Runge und Wilhelm Lenz ist eine Erhaltungsgrosse der Bewegung in einem 1 r Potential z B Coulomb Potential Gravitationspotential d h er ist auf jedem Punkt der Bahn gleich Er zeigt vom Brennpunkt der Bahn Kraftzentrum zum nachstgelegenen Bahnpunkt Perihel bei der Erdbahn und hat somit eine Richtung parallel zur grossen Bahnachse Sein Betrag ist mit der Exzentrizitat der Bahn verknupft Der Laplace Runge Lenz Vektor ermoglicht daher die elegante Herleitung der Bahnkurve r f displaystyle r varphi eines Teilchens z B Planet im Keplerproblem a displaystyle alpha Teilchen gestreut an Atomkern in diesem Kraftfeld ohne eine einzige Bewegungsgleichung losen zu mussen In der klassischen Mechanik wird der Vektor hauptsachlich benutzt um die Form und Orientierung der Umlaufbahn eines astronomischen Korpers um einen anderen zu beschreiben etwa die Bahn eines Planeten um seinen Stern Auch in der Quantenmechanik des Wasserstoffatoms spielt der Vektor als Laplace Runge Lenz oder Laplace Runge Lenz Pauli Operator eine Rolle Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Exzentrizitatsvektor 2 Beweis der Erhaltung 2 1 Direkte Rechnung 2 2 Herleitung mithilfe der bac cab Regel 2 3 Folgerung aus dem Noether Theorem 2 4 Erhaltung im Hamilton Formalismus 3 Herleitung der Bahnkurve 4 Eigenschaften 5 Periheldrehung bei Abweichungen vom Kepler Potential 6 Quantenmechanik 7 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Illustration des Laplace Runge Lenz Vektors an einer Ellipsenbahn fur vier unterschiedliche PunkteSei V k r displaystyle V frac k r nbsp ein radialsymmetrisches anziehendes Potential das mit einer Proportionalitatskonstante k displaystyle k nbsp umgekehrt proportional zum relativen Abstand zweier Objekte r displaystyle r nbsp ist Dann ist der Laplace Runge Lenz Vektor A displaystyle vec A nbsp definiert als A p L m k e r displaystyle vec A vec p times vec L mk vec e r nbsp wobei p displaystyle vec p nbsp den Impuls des Korpers L displaystyle vec L nbsp seinen Drehimpuls m displaystyle m nbsp seine Masse und e r displaystyle vec e r nbsp den radialen Einheitsvektorbezeichnet Exzentrizitatsvektor Bearbeiten Der dimensionslose Vektor e A m k p L m k e r displaystyle vec e frac vec A mk frac vec p times vec L mk vec e r nbsp heisst Exzentrizitatsvektor 1 Speziell im Keplerproblem mit k G M m displaystyle k GMm nbsp kann die Definitionsgleichung in eine Form uberfuhrt werden in der die Masse m displaystyle m nbsp des bewegten Korpers z B eines beobachteten Satelliten eliminiert wurde e v h G M e r displaystyle vec e frac vec v times vec h GM vec e r nbsp Dabei ist v displaystyle vec v nbsp der Geschwindigkeitsvektor h displaystyle vec h nbsp der spezifische Drehimpuls G displaystyle G nbsp die Gravitationskonstante und M displaystyle M nbsp die Masse im Gravitationszentrum z B eines Sterns oder Planeten Beweis der Erhaltung BearbeitenDirekte Rechnung Bearbeiten In einem System mit 1 r Potential gilt Isotropie Daher gilt Drehimpulserhaltung mit der Konsequenz dass die Bewegung in einer Ebene senkrecht zum Drehimpuls stattfindet und es eine einfache Beziehung zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit gibt L r p m r 2 w c o n s t displaystyle vec L vec r times vec p mr 2 vec omega mathrm const nbsp Die Winkelgeschwindigkeit bestimmt die Zeitableitung des zweiten Terms von A displaystyle vec A nbsp denn ein Einheitsvektor kann sich nur durch Drehung andern d d t m k e r m k w e r displaystyle frac mathrm d mathrm d t mk vec e r mk vec omega times vec e r nbsp Die Kraft ist nach dem 2 Newtonschen Gesetz die Anderungsrate des Impulses und wirkt Richtung Zentrum F k r 2 e r d p d t displaystyle vec F frac k r 2 vec e r frac mathrm d vec p mathrm d t nbsp Fur den ersten Term von A displaystyle vec A nbsp gilt damit beim Tauschen der Vektoren andert sich ein Vorzeichen d d t p L k r 2 e r m r 2 w m k w e r displaystyle frac mathrm d mathrm d t vec p times vec L left frac k r 2 vec e r right times left mr 2 vec omega right mk vec omega times vec e r nbsp Durch Subtrahieren folgt nun die Konstanz des Runge Lenz Vektors d d t A 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d t vec A vec 0 nbsp Herleitung mithilfe der bac cab Regel Bearbeiten A p L m k e r displaystyle A vec p times vec L mk vec e r nbsp Aus L 0 displaystyle dot vec L 0 nbsp und der Produktregel bei Ableitungen folgt d d t A p L m k e r displaystyle frac mathrm d mathrm d t vec A dot vec p times vec L mk dot vec e r nbsp mit p F k r 2 e r displaystyle dot vec p vec F frac k r 2 vec e r nbsp und p r m displaystyle vec p dot vec r m nbsp folgt d A d t k e r r 2 r r m k m e r m k r r 3 r r m k d r r d t displaystyle frac mathrm d vec A mathrm d t frac k hat e r r 2 times vec r times dot vec r m k m dot hat e r mk frac vec r r 3 times vec r times dot vec r mk frac mathrm d frac vec r r mathrm d t nbsp Nun wird a b c b a c c a b displaystyle vec a times vec b times vec c vec b ac vec c ab nbsp angewendet Beim zweiten Term wird die Quotientenregel und Kettenregel angewendet d A d t m k r r r r 3 r r r r 3 r 1 r r r r r 3 0 displaystyle frac mathrm d vec A mathrm d t mk left vec r left frac vec r cdot dot vec r r 3 right dot vec r left frac vec r cdot vec r r 3 right dot vec r frac 1 r vec r frac vec r cdot dot vec r r 3 right 0 nbsp Folgerung aus dem Noether Theorem Bearbeiten Obwohl sich in der Literatur teilweise die Aussage findet es existiere zum Laplace Runge Lenz Vektor keine zugehorige Symmetrietransformation der Lagrangefunktion 2 kann diese offenbar angegeben werden 3 Dabei ist zu beachten welche Formulierung des Noether Theorems zugrunde liegt 3 verwendet eine allgemeinere Formulierung die insbesondere geschwindigkeitsabhangige Transformationen zulasst wahrend sich die Betrachtungen in 2 auf eine Formulierung beschranken die nur orts und zeitabhangige Transformationen zulasst Die Lagrangefunktion eines attraktiven 1 r displaystyle 1 r nbsp Potentials lautet L 1 2 m v 2 k r displaystyle mathcal L frac 1 2 m vec v 2 frac k r nbsp Die der Erhaltung des Laplace Runge Lenz Vektors zugrunde liegende Symmetrie zeigt sich unter der Variablentransformation r i r i r i m e k v i r k 1 2 r i v k 1 2 r v d i k displaystyle r i to r i r i m varepsilon k left v i r k frac 1 2 r i v k frac 1 2 vec r cdot vec v delta ik right nbsp mit drei infinitesimalen Parametern e k displaystyle varepsilon k nbsp Mithilfe der Bewegungsgleichungen kann die entsprechende Transformation der Geschwindigkeiten als v i v i v i 1 2 m e k v i v k v 2 d i k k m r i r k r 3 k m d i k r displaystyle v i to v i v i frac 1 2 m varepsilon k left v i v k vec v 2 delta ik frac k m frac r i r k r 3 frac k m frac delta ik r right nbsp identifiziert werden Durch Einsetzen in die Lagrangefunktion und Taylor Entwicklung bis zur Ordnung O e k displaystyle mathcal O varepsilon k nbsp zeigt sich dass sich diese wie L L L m k e k v k r r v r 3 r k L m k e k d d t r k r displaystyle mathcal L to mathcal L mathcal L mk varepsilon k left frac v k r frac vec r cdot vec v r 3 r k right mathcal L mk varepsilon k frac mathrm d mathrm d t frac r k r nbsp verhalt wobei der zusatzliche Term eine totale Zeitableitung ist und daher die Wirkung des Systems invariant lasst Aus dem Noether Theorem folgt dass die drei Komponenten des Vektors A k m v i r k 1 2 r i v k 1 2 r v d i k L v i m k r k r m 2 v r v k m k r k r displaystyle A k m left v i r k frac 1 2 r i v k frac 1 2 vec r cdot vec v delta ik right frac partial mathcal L partial v i mk frac r k r m 2 vec v times vec r times vec v k mk frac r k r nbsp erhalten sind Erhaltung im Hamilton Formalismus Bearbeiten Mit der Hamilton Funktion des Systems H p 2 2 m k r displaystyle mathcal H frac vec p 2 2m frac k r nbsp folgt fur die partiellen Ableitungen der Hamilton Funktion und des Laplace Runge Lenz Vektors nach den Koordinaten und Impulsen H r i k r i r 3 H p i p i m A r i p 2 e i p i p m k e i r m k r i r 3 r A p i 2 p i r 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displaystyle vec r nbsp nun einfach nach der Kosinusbeziehung des Skalarprodukts pfeillose Buchstaben kennzeichnen stets die Betrage des zugehorigen Vektors A r A r cos f r p L m k r L r p m k r L 2 m k r displaystyle vec A cdot vec r Ar cos varphi vec r cdot left vec p times vec L right mkr vec L cdot left vec r times vec p right mkr L 2 mkr nbsp Hierbei wurden die Zyklizitat des Spatproduktes und die Drehimpulsdefinition genutzt f displaystyle varphi nbsp bezeichnet den Winkel zwischen Runge Lenz und Ortsvektor Durch Umschreiben entsteht eine Kegelschnittgleichung in Polarkoordinaten r L 2 m k 1 A m k cos f L 2 m k 1 e k cos f displaystyle r frac L 2 mk 1 frac A mk cos varphi frac L 2 mk 1 varepsilon k cos varphi nbsp wobei der Term A m k displaystyle A mk nbsp als die numerische Exzentrizitat des Kegelschnitts e k displaystyle varepsilon k nbsp die die Bahnform Kreis e k 0 displaystyle varepsilon k 0 nbsp Ellipse 0 lt e k lt 1 displaystyle 0 lt varepsilon k lt 1 nbsp Parabel e k 1 displaystyle varepsilon k 1 nbsp oder Hyperbel e k gt 1 displaystyle varepsilon k gt 1 nbsp bestimmt identifiziert werden kann nbsp Hodograph der Kepler Bahn die Punkte 1 4 entsprechen denen in obiger AbbildungWeiterhin ist ebenfalls die Herleitung des Hodographen der Keplerbahn mithilfe des Laplace Runge Lenz Vektors moglich Da der Drehimpulsvektor senkrecht auf der Bewegungsebene steht A p 0 displaystyle vec A cdot vec p 0 nbsp folgt nach m k r r p L A displaystyle frac mk r vec r vec p times vec L vec A nbsp mit der Lagrange Identitat und einer zyklischen Permutation des Spatprodukts m 2 k 2 p 2 L 2 2 A p L A 2 displaystyle m 2 k 2 p 2 L 2 2 vec A times vec p cdot vec L A 2 nbsp Bei einer Wahl des Koordinatensystems sodass der der Drehimpuls in z displaystyle z nbsp Richtung zeigt L L e z displaystyle vec L L vec e z nbsp und der dazu orthogonale Laplace Runge Lenz Vektor in x displaystyle x nbsp Richtung A A e x displaystyle vec A A vec e x nbsp folgt 4 p x 2 p y A L 2 m k L 2 displaystyle p x 2 left p y frac A L right 2 left frac mk L right 2 nbsp Der Hodograph ist somit ein Kreis mit Radius m k L displaystyle mk L nbsp der um A L displaystyle A L nbsp vom Zentrum der Kraft verschoben ist Fur die Schnittpunkte des Hodographen mit der x displaystyle x nbsp Achse p 0 displaystyle p 0 nbsp gilt p 0 m 2 k 2 L 2 A 2 L 2 2 m E displaystyle p 0 pm sqrt frac m 2 k 2 L 2 frac A 2 L 2 pm sqrt 2m E nbsp Sie sind somit unabhangig vom Drehimpuls und vom Laplace Runge Lenz Vektor Eigenschaften BearbeitenDer Runge Lenz Vektor liegt in der Bahnebene denn er steht senkrecht zum Drehimpulsvektor L A L p L m k L r r p L L m k r p r r 0 displaystyle vec L cdot vec A vec L cdot left vec p times vec L right mk frac vec L cdot vec r r vec p cdot left vec L times vec L right mk frac left vec r times vec p right cdot vec r r 0 nbsp Der Runge Lenz Vektor zeigt vom Kraftzentrum der Bahn einem der beiden Brennpunkte zum Perizentrum d h zentrumnachsten Punkt der Bahn Dies folgt sofort aus obiger Bahngleichung da f displaystyle varphi nbsp den Winkel zwischen Orts und Runge Lenz Vektor darstellt und r displaystyle r nbsp minimal ist fur maximalen Nenner d h cos f 1 f 0 displaystyle cos varphi 1 Rightarrow varphi 0 nbsp Der Runge Lenz Vektor hat als Betrag das m k displaystyle mk nbsp Fache der numerischen Exzentrizitat der Bahnkurve Dies wurde bereits bei der Herleitung derselben gezeigt Da der Exzentrizitatsvektor der Runge Lenz Vektor geteilt durch m k displaystyle mk nbsp ist ist dessen Betrag gleich der numerischen Exzentrizitat der Bahnkurve Alle drei Komponenten des Laplace Runge Lenz Vektors sind Erhaltungsgrossen Da sein Betrag bereits durch die anderen Erhaltungsgrossen Drehimpuls und Energie und seine Lage durch die Orthogonalitat zum Drehimpulsvektor vorgegeben sind liefert der Laplace Runge Lenz Vektors nur eine unabhangige Erhaltungsgrosse Das Kepler Problem hat daher funf unabhangige Erhaltungsgrossen Energie 3 Komponenten des Drehimpulsvektors Orientierung des Laplace Runge Lenz Vektors fur sechs Anfangsbedingungen es ist daher ein maximal superintegrables System Durch den Runge Lenz Vektor ist damit aus den Positions und Geschwindigkeitvektoren eines beobachteten Objekts die vollstandige Form und Orientierung seiner Bahn festgelegt die in einer Ebene senkrecht zum Dreimpulsvektor liegt Periheldrehung bei Abweichungen vom Kepler Potential BearbeitenDie Erhaltung des Runge Lenz Vektors impliziert dass die Ellipsen der Planetenbewegung im Kepler Potential eine feststehende Orientierung im Raum haben Bei kleinen Abweichungen vom 1 r Potential z B durch Anwesenheit anderer Planeten im Sonnensystem oder infolge der Einsteinschen Relativitatstheorien kommt es zu einer langsamen Drehung der Bahnachse Periheldrehung Wenn eine Abweichung so klein ist dass ihr Quadrat vernachlassigt werden kann so ist die Storung der Kepler Bahn mit Hilfe des Runge Lenz Vektors elementar berechenbar 5 Es sei F r displaystyle Phi r nbsp das Storpotential das zum Kepler Potential addiert wird Fur den Runge Lenz Vektor findet man vgl Beweis der Erhaltung d A d t r F r e r m r 2 w m r 2 r F r e z e r d f d t displaystyle frac mathrm d vec A mathrm d t partial r Phi r vec e r times mr 2 vec omega mr 2 partial r Phi r vec e z times vec e r frac mathrm d varphi mathrm d t nbsp Die z Richtung steht dabei senkrecht zur Bahnebene Offenbar ist die Bewegung des Runge Lenz Vektors nicht zu jedem Zeitpunkt eine Drehung Eine Drehung ergibt sich aber wenn infinitesimale Anderungen uber einen Umlauf integriert werden Dafur findet man zunachst D A 1 U m l a u f 0 T d A d t d t m e z 0 2 p r 2 r F r e r d f r r f displaystyle left Delta vec A right mathrm 1 Umlauf int 0 T frac mathrm d vec A mathrm d t mathrm d t m vec e z times int 0 2 pi r 2 partial r Phi r vec e r mathrm d varphi qquad qquad r r varphi nbsp Da quadratische Effekte von F displaystyle Phi nbsp vernachlassigbar sein sollen kann fur r f displaystyle r varphi nbsp die ungestorte Bahnkurve eingesetzt werden Der radiale Einheitsvektor zerlegt in Komponenten parallel und senkrecht zur Bahnachse ist e r f e A cos f e sin f displaystyle vec e r varphi vec e A cos varphi vec e perp sin varphi nbsp Bei der Kepler Ellipse ist r f displaystyle r varphi nbsp eine Funktion von cos f displaystyle cos varphi nbsp daher ergibt das Integral uber eine Periode mit dem Faktor sin f displaystyle sin varphi nbsp fur jedes Storpotential F r displaystyle Phi r nbsp null Es bleibt nur D A 1 U m l a u f e z D f A displaystyle left Delta vec A right mathrm 1 Umlauf vec e z Delta varphi times vec A nbsp wobei A m k e e A displaystyle vec A mk varepsilon vec e A nbsp eingesetzt wurde und der Drehwinkel D f displaystyle Delta varphi nbsp durch folgenden Ausdruck gegeben ist D f 1 k e 0 2 p r f 2 r F r f cos f d f displaystyle Delta varphi frac 1 k varepsilon int 0 2 pi r varphi 2 partial r Phi r varphi cos varphi mathrm d varphi nbsp Bei der Storung einer Planetenbahn durch die Anwesenheit anderer Planeten ist das Storpotential nicht unmittelbar von der Form F r displaystyle Phi r nbsp erhalt aber diese Form durch Mittelung uber viele Umlaufe von Planeten in einer gemeinsamen Bahnebene Quantenmechanik BearbeitenIn der Quantenmechanik kann im Wasserstoffproblem als Analogon zum Laplace Runge Lenz Vektor der hermitesche Operator A 1 2 m p L L p Z a ℏ c x x displaystyle hat vec A frac 1 2m left hat vec p times hat vec L hat vec L times hat vec p right Z alpha hbar c frac hat vec x hat vec x nbsp definiert werden wobei p displaystyle hat vec p nbsp der Impulsoperator L displaystyle hat vec L nbsp der Drehimpulsoperator und x displaystyle hat vec x nbsp der Ortsoperator sind sowie Z displaystyle Z nbsp die Kernladungszahl a displaystyle alpha nbsp die Feinstrukturkonstante ℏ displaystyle hbar nbsp das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum c displaystyle c nbsp die Lichtgeschwindigkeit und m displaystyle m nbsp die Masse des Elektrons sind Insbesondere ist in der Quantenmechanik L p p L displaystyle textstyle hat vec L times hat vec p neq hat vec p times hat vec L nbsp da der Kommutator zwischen Impuls und Drehimpulsoperator nicht verschwindet Der Hamilton Operator des Coulomb Problems H displaystyle hat H nbsp ist H p 2 2 m Z a ℏ c 1 x displaystyle hat H frac hat vec p 2 2m Z alpha hbar c frac 1 hat vec x nbsp und aus der Definition des Drehimpulsoperators folgt die Kommutatorrelation H A i 0 displaystyle hat H hat A i 0 nbsp fur alle Komponenten des Laplace Runge Lenz Operators Da dieser selbst nicht zeitabhangig ist folgt aus den Heisenbergschen Bewegungsgleichungen fur quantenmechanische Operatoren d d t A t A i ℏ H A 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d t hat vec A frac partial partial t hat vec A frac mathrm i hbar hat H hat vec A 0 nbsp Aus der Vertauschbarkeit des Hamilton Operators und des Laplace Runge Lenz Operators folgt dass beide einen Satz gemeinsamer Eigenzustande besitzen und insbesondere ebenfalls der Hamilton Operator und das Quadrat des Laplace Runge Lenz Operators Die Kommutatorrelationen fur die einzelnen Komponenten des Laplace Runge Lenz Operators lauten A i A j 2 i ℏ H e i j k L k m displaystyle hat A i hat A j 2 mathrm i hbar hat H varepsilon ijk frac hat L k m nbsp und fur den Kommutator der Komponenten des Laplace Runge Lenz Operator und des Drehimpulsoperators A i L j i ℏ c e i j k L k displaystyle hat A i hat L j mathrm i hbar c varepsilon ijk hat L k nbsp mit dem Levi Civita Symbol e displaystyle varepsilon nbsp Insbesondere sind A 2 A j A 2 L j A 2 L 2 L 2 A j L 2 L j 0 displaystyle hat vec A 2 A j hat vec A 2 L j hat vec A 2 hat vec L 2 hat vec L 2 hat A j hat vec L 2 hat L j 0 nbsp also existiert ein Satz gemeinsamer Eigenzustande zu beiden Satzen der Operatoren H L 2 L 3 A 2 displaystyle hat H hat vec L 2 hat L 3 hat vec A 2 nbsp und H L 2 A 2 A 3 displaystyle hat H hat vec L 2 hat vec A 2 hat A 3 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Bruno Cordani The Kepler problem group theoretical aspects regularization and quantization with application to the study of perturbations Birkhauser Verlag Basel 2003 ISBN 0 8176 6902 7 Friedhelm Kuypers Klassische Mechanik 10 Auflage Wiley VCH 2016 ISBN 978 3 527 33960 0 S 98 Jean Marc Levy Leblond Conservation Laws for Gauge Variant Lagrangians in Classical Mechanics In American Journal of Physics Band 39 Nr 502 1971 S 505 doi 10 1119 1 1986202 englisch Herbert Goldstein More on the prehistory of the Laplace or Runge Lenz vector In American Journal of Physics Band 44 Nr 11 1976 S 1123 1124 doi 10 1119 1 10202 englisch W Lenz Uber den Bewegungsverlauf und die Quantenzustande der gestorten Keplerbewegung Zeitschrift fur Physik A 24 1924 197 207 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Laplace Runge Lenz Vektor amp oldid 234709341