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Multipolentwicklung Die ist in der Physik ein Verfahren zur Lösung der Poisson Gleichung in drei Raumdimensionen bei der

Multipolentwicklung

Die Multipolentwicklung ist in der Physik ein Verfahren zur Lösung der Poisson-Gleichung in drei Raumdimensionen, bei der die Lösungsfunktion als Laurent-Reihe entwickelt wird. Die Entwicklungskoeffizienten dieser Laurent-Reihe heißen Multipolmomente. Sie wird hauptsächlich in der Elektrostatik und der Magnetostatik verwendet, kann aber auf jedes andere Gebiet der Physik, in dem die Poisson-Gleichung auftritt, verallgemeinert werden.

Die Motivation der Multipolentwicklung liegt darin, das Verhalten von elektrischem Potential und magnetischem Vektorpotential (oder beliebigen anderen Potentialen wie dem Gravitationspotential) in großer Entfernung von Ladungen oder Strömen zu betrachten. Dazu wird angenommen, dass diese das Potential induzierenden Ladungen oder Ströme nur auf einen kleinen Bereich des Raumes beschränkt sind, und die Greensche Funktion des Laplace-Operators, der in der Poisson-Gleichung auftritt, als Taylor-Reihe entwickelt.

Grundlagen Bearbeiten

Die Poisson-Gleichung lässt sich allgemein als

schreiben, wobei der Laplace-Operator, eine Dichte und ein Potential ist (das Minus ist Konvention). Die formale Lösung dieser Gleichung ist:

Ist in einem Volumen lokalisiert, kann für Orte , die weit außerhalb dieses Volumens liegen, , der Bruch in einer Taylor-Reihe in um entwickelt werden:

Dabei bedeutet , dass der Nablaoperator nur auf die gestrichenen Koordinaten und nicht auf wirkt. Nach Bilden der Ableitungen wird diese an der Stelle ausgewertet. Durch Umformen erhält man:

Aus dimensionalen Überlegungen ergibt sich, dass jeder Term in der Taylor-Reihe in zu einem Term im Hauptteil der Laurent-Reihe in führt. Mit anderen Worten, mit zunehmendem Abstand vom betrachteten Volumen, werden die höheren Ordnungen der Multipolmomente immer vernachlässigbarer, da sie immer stärker abfallen.

Die genaue Form der Entwicklung und der Multipole hängt davon ab, in welchem Koordinatensystem sie betrachtet werden.

Kartesische Multipolentwicklung Bearbeiten

Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird die Entwicklung in kartesischen Koordinaten durchgeführt. Dort ist

wobei Einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Dann muss bei einem Summanden -ter Ordnung ein Tensor -ter Stufe, nämlich berechnet werden:

Das Symbol repräsentiert das sogenannte Kronecker-Delta.

Die formale Lösung der Poisson-Gleichung, ist unter Verwendung der Identität wie folgt darstellbar:

Sphärische Multipolentwicklung Bearbeiten

In der sphärischen Multipolentwicklung wird nicht in den einzelnen Koordinaten entwickelt, sondern im Abstand. Dazu wird der Term in Kugelkoordinaten umgeschrieben. Es ist

und

Da dies die erzeugende Funktion der Legendre-Polynome ist, kann die Entwicklung damit geschlossen angegeben werden:

Mithilfe des Additionstheorems für Kugelflächenfunktionen lässt sich das Legendre-Polynom in als Summe über Kugelflächenfunktionen schreiben und damit in und entkoppeln:

Das Einsetzen in die Gleichung für führt zu:

Das sphärische Multipolmoment ist dann definiert als

Durch Koeffizientenvergleich sieht man, dass der Term zum Monopolmoment korrespondiert, der Term zum Dipolmoment et cetera.

Umrechnung Bearbeiten

Die Umrechnung zwischen kartesischen und sphärischen Multipolmomenten erfolgt, indem die Kugelflächenfunktionen in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden. Für das Monopolmoment erhält man

und für die drei Dipolmomente

Für höhere Momente ist die Umrechnung nichttrivial, da in der sphärischen Multipolentwicklung Terme auftreten, der korrespondierende Tensor jedoch Komponenten hat. Da die Anzahl der Freiheitsgrade unabhängig vom Koordinatensystem sein muss, sieht man dadurch, dass nicht alle kartesischen Multipolmomente unabhängig voneinander sind. Unter anderem ist der Quadrupoltensor symmetrisch und spurfrei, was die Freiheitsgrade einschränkt. Da die Anzahl der sphärischen Multipolmomente nur linear anwächst und die der kartesischen exponentiell, ist für höhere Momente die Angabe der kartesischen Multipolmomente nicht zweckdienlich.

Anwendungen Bearbeiten

Elektrostatik Bearbeiten

In der Elektrostatik lässt sich die Poisson-Gleichung für das Potential aus der ersten Maxwell-Gleichung ableiten. In der Coulomb-Eichung lautet sie

mit dem elektrischen Potential , der (elektrischen) Ladungsdichte und der elektrischen Feldkonstante . Die ersten drei Momente des elektrostatischen Potentials sind die Gesamtladung , das elektrische Dipolmoment und die Quadrupolmomente .

Magnetostatik Bearbeiten

In der Magnetostatik führen die Maxwell-Gleichungen in Coulomb-Eichung zu Poisson-Gleichungen für das Vektorpotential

mit der elektrischen Stromdichte und der Permeabilität des Vakuums . Der magnetische Monopol verschwindet, da in einer räumlich lokalisierten Stromverteilung immer genauso viel hinein wie hinaus fließt. Der Term führender Ordnung ist daher das magnetische Dipolmoment. Um die Tensorstruktur im Dipolmoment zu vereinfachen, kann die Identität

verwendet werden. Damit wird

mit dem magnetischen Dipolmoment

Gravitation Bearbeiten

In der Gravitation ergibt es sich, dass keine negativen Massen als Ladungen existieren. Dennoch können formal gravitative Multipole definiert werden. Beginnend mit der Poisson-Gleichung aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz

mit der Gravitationskonstante und der Massendichte ist der gravitative Monopol die Gesamtmasse und der gravitative Dipol der Massenmittelpunkt .

Literatur Bearbeiten

  • T. Fließbach: Elektrodynamik. Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-2021-0.
  • J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter Verlag, ISBN 3-11-018970-4.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Multipolentwicklung ist in der Physik ein Verfahren zur Losung der Poisson Gleichung in drei Raumdimensionen bei der die Losungsfunktion als Laurent Reihe entwickelt wird Die Entwicklungskoeffizienten dieser Laurent Reihe heissen Multipolmomente Sie wird hauptsachlich in der Elektrostatik und der Magnetostatik verwendet kann aber auf jedes andere Gebiet der Physik in dem die Poisson Gleichung auftritt verallgemeinert werden Die Motivation der Multipolentwicklung liegt darin das Verhalten von elektrischem Potential und magnetischem Vektorpotential oder beliebigen anderen Potentialen wie dem Gravitationspotential in grosser Entfernung von Ladungen oder Stromen zu betrachten Dazu wird angenommen dass diese das Potential induzierenden Ladungen oder Strome nur auf einen kleinen Bereich des Raumes beschrankt sind und die Greensche Funktion des Laplace Operators der in der Poisson Gleichung auftritt als Taylor Reihe entwickelt Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1 Kartesische Multipolentwicklung 1 2 Spharische Multipolentwicklung 1 3 Umrechnung 2 Anwendungen 2 1 Elektrostatik 2 2 Magnetostatik 2 3 Gravitation 3 LiteraturGrundlagen BearbeitenDie Poisson Gleichung lasst sich allgemein als D ϕ r f r displaystyle Delta phi vec r f vec r nbsp schreiben wobei D displaystyle Delta nbsp der Laplace Operator f displaystyle f nbsp eine Dichte und ϕ displaystyle phi nbsp ein Potential ist das Minus ist Konvention Die formale Losung dieser Gleichung ist ϕ r 1 4 p d 3 r f r r r displaystyle phi vec r frac 1 4 pi int mathrm d 3 vec r frac f vec r vec r vec r nbsp Ist f r displaystyle f vec r nbsp in einem Volumen lokalisiert kann fur Orte r displaystyle vec r nbsp die weit ausserhalb dieses Volumens liegen r r displaystyle r gg r nbsp der Bruch in einer Taylor Reihe in r displaystyle vec r nbsp um r 0 displaystyle vec r 0 nbsp entwickelt werden 1 r r n 0 1 n r n 1 r r r 0 displaystyle frac 1 left vec r vec r right sum n 0 infty frac 1 n left vec r cdot vec nabla right n left frac 1 left vec r vec r right right vec r 0 nbsp Dabei bedeutet displaystyle vec nabla nbsp dass der Nablaoperator displaystyle vec nabla nbsp nur auf die gestrichenen Koordinaten r displaystyle vec r nbsp und nicht auf r displaystyle vec r nbsp wirkt Nach Bilden der Ableitungen wird diese an der Stelle r 0 displaystyle vec r 0 nbsp ausgewertet Durch Umformen erhalt man 1 r r n 0 1 n r n 1 r displaystyle frac 1 left vec r vec r right sum n 0 infty frac 1 n left vec r cdot vec nabla right n frac 1 r nbsp Aus dimensionalen Uberlegungen ergibt sich dass jeder Term in der Taylor Reihe in r displaystyle vec r nbsp zu einem Term r 1 displaystyle r 1 nbsp im Hauptteil der Laurent Reihe in r displaystyle r nbsp fuhrt Mit anderen Worten mit zunehmendem Abstand vom betrachteten Volumen werden die hoheren Ordnungen der Multipolmomente immer vernachlassigbarer da sie immer starker abfallen Die genaue Form der Entwicklung und der Multipole hangt davon ab in welchem Koordinatensystem sie betrachtet werden Kartesische Multipolentwicklung Bearbeiten Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird die Entwicklung in kartesischen Koordinaten durchgefuhrt Dort ist r r i i displaystyle vec r cdot vec nabla r i partial i nbsp wobei Einsteinsche Summenkonvention verwendet wird Dann muss bei einem Summanden n displaystyle n nbsp ter Ordnung ein Tensor n displaystyle n nbsp ter Stufe namlich k 1 n i k 1 r displaystyle textstyle prod k 1 n partial i k frac 1 r nbsp berechnet werden 1 r r 1 r r i i 1 r 1 2 r i r j i j 1 r O r 3 1 r r i r i r 3 1 2 r i r j 3 r i r j r 2 d i j r 5 O r 3 displaystyle begin aligned frac 1 left vec r vec r right amp frac 1 r r i partial i frac 1 r frac 1 2 r i r j partial i partial j frac 1 r mathcal O r 3 amp frac 1 r r i frac r i r 3 frac 1 2 r i r j frac 3r i r j r 2 delta ij r 5 mathcal O r 3 end aligned nbsp Das Symbol d i j displaystyle delta ij nbsp reprasentiert das sogenannte Kronecker Delta Die formale Losung ϕ r displaystyle phi vec r nbsp der Poisson Gleichung ist unter Verwendung der Identitat r i r j r 2 d i j r 2 r i r j d i j displaystyle r i r j r 2 delta ij r 2 r i r j delta ij nbsp wie folgt darstellbar ϕ r 1 4 p 1 r f r d 3 r Monopol r i r 3 d 3 r r i f r Dipol 1 2 r i r j r 5 d 3 r 3 r i r j r 2 d i j f r Quadrupolmoment 1 4 p 1 r q r i r 3 p i 1 2 r i r j r 5 Q i j displaystyle begin aligned phi vec r amp frac 1 4 pi bigg frac 1 r underbrace int f vec r mathrm d 3 vec r text Monopol frac r i r 3 underbrace int mathrm d 3 vec r r i f vec r text Dipol frac 1 2 frac r i r j r 5 underbrace int mathrm d 3 vec r left 3r i r j r 2 delta ij right f vec r text Quadrupolmoment dots bigg amp frac 1 4 pi left frac 1 r q frac r i r 3 p i frac 1 2 frac r i r j r 5 Q ij dots right end aligned nbsp Spharische Multipolentwicklung Bearbeiten In der spharischen Multipolentwicklung wird nicht in den einzelnen Koordinaten entwickelt sondern im Abstand Dazu wird der Term in Kugelkoordinaten umgeschrieben Es ist r r r displaystyle vec r cdot vec nabla r partial r nbsp und 1 r r 1 r 1 1 r 2 r 2 2 r r cos 8 8 displaystyle frac 1 vec r vec r frac 1 r frac 1 sqrt 1 frac r 2 r 2 2 frac r r cos theta theta nbsp Da dies die erzeugende Funktion der Legendre Polynome P l displaystyle P l nbsp ist kann die Entwicklung damit geschlossen angegeben werden 1 r r l 0 P l cos 8 8 r l r l 1 1 r cos 8 8 r r 2 1 2 3 cos 2 8 8 1 r 2 r 3 O r 3 displaystyle frac 1 vec r vec r sum l 0 infty P l cos theta theta frac r l r l 1 frac 1 r cos theta theta frac r r 2 frac 1 2 3 cos 2 theta theta 1 frac r 2 r 3 mathcal O r 3 nbsp Mithilfe des Additionstheorems fur Kugelflachenfunktionen lasst sich das Legendre Polynom in cos 8 8 displaystyle cos theta theta nbsp als Summe uber Kugelflachenfunktionen Y l m displaystyle Y lm nbsp schreiben und damit in 8 displaystyle theta nbsp und 8 displaystyle theta nbsp entkoppeln P l cos 8 8 4 p 2 l 1 m l l Y l m 8 f Y l m 8 f displaystyle P l cos theta theta frac 4 pi 2l 1 sum m l l Y lm theta varphi Y lm theta varphi nbsp Das Einsetzen in die Gleichung fur ϕ displaystyle phi nbsp fuhrt zu ϕ 1 4 p l 0 m l l 4 p 2 l 1 Y l m 8 f 1 r l 1 d 3 r 4 p 2 l 1 Y l m 8 f f r r l displaystyle phi frac 1 4 pi sum l 0 infty sum m l l sqrt frac 4 pi 2l 1 Y lm theta varphi frac 1 r l 1 int mathrm d 3 vec r sqrt frac 4 pi 2l 1 Y lm theta varphi f vec r r l nbsp Das spharische Multipolmoment q l m displaystyle q lm nbsp ist dann definiert als q l m d 3 r 4 p 2 l 1 Y l m 8 f f r r l displaystyle q lm int mathrm d 3 vec r sqrt frac 4 pi 2l 1 Y lm theta varphi f vec r r l nbsp Durch Koeffizientenvergleich sieht man dass der Term l 0 displaystyle l 0 nbsp zum Monopolmoment korrespondiert der Term l 1 displaystyle l 1 nbsp zum Dipolmoment et cetera Umrechnung Bearbeiten Die Umrechnung zwischen kartesischen und spharischen Multipolmomenten erfolgt indem die Kugelflachenfunktionen in kartesischen Koordinaten ausgedruckt werden Fur das Monopolmoment erhalt man q 00 q displaystyle q 00 q nbsp und fur die drei Dipolmomente q 10 p 3 q 1 1 p 1 i p 2 2 displaystyle q 10 p 3 quad q 1 pm 1 frac mp p 1 mathrm i p 2 sqrt 2 nbsp Fur hohere Momente ist die Umrechnung nichttrivial da in der spharischen Multipolentwicklung 2 l 1 displaystyle 2l 1 nbsp Terme auftreten der korrespondierende Tensor jedoch 3 l displaystyle 3 l nbsp Komponenten hat Da die Anzahl der Freiheitsgrade unabhangig vom Koordinatensystem sein muss sieht man dadurch dass nicht alle kartesischen Multipolmomente unabhangig voneinander sind Unter anderem ist der Quadrupoltensor symmetrisch und spurfrei was die Freiheitsgrade einschrankt Da die Anzahl der spharischen Multipolmomente nur linear anwachst und die der kartesischen exponentiell ist fur hohere Momente die Angabe der kartesischen Multipolmomente nicht zweckdienlich Anwendungen BearbeitenElektrostatik Bearbeiten In der Elektrostatik lasst sich die Poisson Gleichung fur das Potential aus der ersten Maxwell Gleichung ableiten In der Coulomb Eichung lautet sie D ϕ r e 0 displaystyle Delta phi frac rho varepsilon 0 nbsp mit dem elektrischen Potential ϕ displaystyle phi nbsp der elektrischen Ladungsdichte r displaystyle rho nbsp und der elektrischen Feldkonstante e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp Die ersten drei Momente des elektrostatischen Potentials sind die Gesamtladung Q displaystyle Q nbsp das elektrische Dipolmoment p displaystyle vec p nbsp und die Quadrupolmomente Q i j displaystyle Q ij nbsp Magnetostatik Bearbeiten In der Magnetostatik fuhren die Maxwell Gleichungen in Coulomb Eichung zu Poisson Gleichungen fur das Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp D A m 0 j displaystyle Delta vec A mu 0 vec j nbsp mit der elektrischen Stromdichte j displaystyle vec j nbsp und der Permeabilitat des Vakuums m 0 displaystyle mu 0 nbsp Der magnetische Monopol verschwindet da in einer raumlich lokalisierten Stromverteilung immer genauso viel hinein wie hinaus fliesst Der Term fuhrender Ordnung ist daher das magnetische Dipolmoment Um die Tensorstruktur im Dipolmoment zu vereinfachen kann die Identitat r i d 3 r r i j n r 1 2 e l k n r l d 3 r e i j k r i j j displaystyle r i int mathrm d 3 vec r r i j n vec r frac 1 2 varepsilon lkn r l int mathrm d 3 vec r varepsilon ijk r i j j nbsp verwendet werden Damit wird A m 0 m r r 3 O r 3 displaystyle vec A mu 0 frac vec mu times r r 3 mathcal O r 3 nbsp mit dem magnetischen Dipolmoment m 1 2 d 3 r r j r displaystyle vec mu frac 1 2 int mathrm d 3 vec r vec r times vec j vec r nbsp Gravitation Bearbeiten In der Gravitation ergibt es sich dass keine negativen Massen als Ladungen existieren Dennoch konnen formal gravitative Multipole definiert werden Beginnend mit der Poisson Gleichung aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz D F 4 p G r displaystyle Delta Phi 4 pi G rho nbsp mit der Gravitationskonstante G displaystyle G nbsp und der Massendichte r displaystyle rho nbsp ist der gravitative Monopol die Gesamtmasse M displaystyle M nbsp und der gravitative Dipol der Massenmittelpunkt r S displaystyle vec r S nbsp Literatur BearbeitenT Fliessbach Elektrodynamik Spektrum Akademischer Verlag ISBN 3 8274 2021 0 J D Jackson Klassische Elektrodynamik de Gruyter Verlag ISBN 3 11 018970 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Multipolentwicklung amp oldid 232006546