Das Kurven Linien Weg oder Konturintegral erweitert den gewohnlichen Integralbegriff fur die Integration in der komplexen Ebene Funktionentheorie oder im mehrdimensionalen Raum Vektoranalysis Den Weg die Linie oder die Kurve uber die integriert wird nennt man den Integrationsweg Wegintegrale uber geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral Umlaufintegral 1 oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol displaystyle textstyle oint geschrieben Inhaltsverzeichnis 1 Reelle Wegintegrale 1 1 Wegintegral erster Art 1 1 1 Anmerkungen 1 2 Wegintegral zweiter Art 1 3 Einfluss der Parametrisierung 1 4 Kurvenintegrale 1 5 Wegelement und Langenelement 1 6 Rechenregeln 2 Notation fur Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven 3 Beispiele 4 Wegunabhangigkeit 5 Komplexe Wegintegrale 6 Siehe dagegen 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseReelle Wegintegrale BearbeitenWegintegral erster Art Bearbeiten nbsp Illustration eines Kurvenintegrals erster Art uber ein SkalarfeldDas Wegintegral einer stetigen Funktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp entlang eines stuckweise stetig differenzierbaren Weges g a b R n displaystyle gamma colon a b to mathbb R n nbsp ist definiert als g f d s a b f g t g t 2 d t displaystyle int limits gamma f mathrm d s int limits a b f gamma t dot gamma t 2 mathrm d t nbsp Dabei bezeichnet g displaystyle dot gamma nbsp die Ableitung von g displaystyle gamma nbsp nach t displaystyle t nbsp und g t 2 displaystyle dot gamma t 2 nbsp die euklidische Norm des Vektors g t displaystyle dot gamma t nbsp Die Bildmenge C g a b displaystyle mathcal C gamma a b nbsp ist eine stuckweise glatte Kurve in R n displaystyle mathbb R n nbsp Anmerkungen Bearbeiten Ein Beispiel fur eine solche Funktion f displaystyle f nbsp ist ein Skalarfeld mit kartesischen Koordinaten Ein Weg g displaystyle gamma nbsp kann eine Kurve C displaystyle mathcal C nbsp entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen Fur f 1 displaystyle f equiv 1 nbsp ergibt das Wegintegral erster Art die Lange des Weges g displaystyle gamma nbsp Der Weg g displaystyle gamma nbsp bildet u a a R displaystyle a in mathbb R nbsp auf den Anfangspunkt der Kurve ab und b R displaystyle b in mathbb R nbsp auf deren Endpunkt t a b displaystyle t in a b nbsp ist ein Element der Definitionsmenge von g displaystyle gamma nbsp und steht allgemein nicht fur die Zeit d t displaystyle mathrm d t nbsp ist das zugehorige Differential Wegintegral zweiter Art Bearbeiten nbsp Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art uber ein VektorfeldDas Wegintegral uber ein stetiges Vektorfeld f R n R n displaystyle mathbf f colon mathbb R n rightarrow mathbb R n nbsp mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral uber das Skalarprodukt aus f g displaystyle mathbf f circ gamma nbsp und g displaystyle dot gamma nbsp g f x d x a b f g t g t d t displaystyle int limits gamma mathbf f mathbf x cdot mathrm d mathbf x int limits a b mathbf f gamma t cdot dot gamma t mathrm d t nbsp Einfluss der Parametrisierung Bearbeiten Sind g a b R n displaystyle gamma colon a b to mathbb R n nbsp und h c d R n displaystyle eta colon c d to mathbb R n nbsp einfache d h g a b displaystyle gamma a b nbsp und h c d displaystyle eta c d nbsp sind injektiv Wege mit g a h c displaystyle gamma a eta c nbsp und g b h d displaystyle gamma b eta d nbsp und demselben Bild parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve bis auf Doppelpunkte genau einmal so stimmen die Integrale entlang g displaystyle gamma nbsp und h displaystyle eta nbsp uberein Dies rechtfertigt den Namen Kurvenintegral ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant kann der Weg in der Notation unterdruckt werden Kurvenintegrale Bearbeiten Da eine Kurve C displaystyle mathcal C nbsp das Bild eines Weges g displaystyle gamma nbsp ist entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen Kurvenintegral 1 Art C f d s a b f g t g t 2 d t displaystyle int limits mathcal C f mathrm d s int limits a b f gamma t dot gamma t 2 mathrm d t nbsp Kurvenintegral 2 Art C f x d x a b f g t g t d t displaystyle int limits mathcal C mathbf f mathbf x cdot mathrm d mathbf x int limits a b mathbf f gamma t cdot dot gamma t mathrm d t nbsp Ein Spezialfall ist wieder die Lange der durch g displaystyle gamma nbsp parametrisierten Kurve C displaystyle mathcal C nbsp L a n g e v o n C C d s a b g t 2 d t displaystyle mathrm L ddot a nge von mathcal C int limits mathcal C mathrm d s int limits a b dot gamma t 2 mathrm d t nbsp Wegelement und Langenelement Bearbeiten Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck d s g t 2 d t displaystyle mathrm d s dot gamma t 2 mathrm d t nbsp heisst skalares Wegelement oder Langenelement Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck d x g t d t displaystyle mathrm d mathbf x dot gamma t mathrm d t nbsp heisst vektorielles Wegelement Rechenregeln Bearbeiten Seien g f x displaystyle int limits gamma mathbf f mathbf x nbsp g g x displaystyle int limits gamma mathbf g mathbf x nbsp Kurvenintegrale gleicher Art also entweder beide erster oder beide zweiter Art sei das Urbild der beiden Funktionen f displaystyle mathbf f nbsp und g displaystyle mathbf g nbsp von gleicher Dimension und sei g a b R n displaystyle gamma colon a b to mathbb R n nbsp Dann gelten fur a displaystyle alpha nbsp b R displaystyle beta in mathbb R nbsp und c a b displaystyle c in mathbb a b nbsp die folgenden Rechenregeln a g f x b g g x g a f x b g x displaystyle alpha int limits gamma mathbf f mathbf x beta int limits gamma mathbf g mathbf x int limits gamma alpha mathbf f mathbf x beta mathbf g mathbf x nbsp Linearitat g f x g a c f x g c b f x displaystyle int limits gamma mathbf f mathbf x int limits gamma a c mathbf f mathbf x int limits gamma c b mathbf f mathbf x nbsp Zerlegungsadditivitat Notation fur Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven BearbeitenIst g displaystyle gamma nbsp ein geschlossener Weg so schreibt man statt g displaystyle displaystyle int limits gamma nbsp auch g displaystyle displaystyle oint limits gamma nbsp und analog fur geschlossene Kurven C displaystyle mathcal C nbsp statt C displaystyle displaystyle int limits mathcal C nbsp auch C displaystyle displaystyle oint limits mathcal C nbsp Mit dem Kreis im Integral mochte man deutlich machen dass g displaystyle gamma nbsp geschlossen ist Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation Beispiele BearbeitenIst C displaystyle mathcal C nbsp der Graph einer Funktion f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp so wird diese Kurve durch den Wegg a b R 2 t t f t displaystyle gamma colon a b to mathbb R 2 quad t mapsto t f t nbsp dd parametrisiert Wegen g t 2 1 f t 2 displaystyle dot gamma t 2 sqrt 1 f t 2 nbsp dd ist die Lange der Kurve gleich C d s a b 1 f t 2 d t displaystyle int limits mathcal C mathrm d s int limits a b sqrt 1 f t 2 mathrm d t nbsp dd Eine Ellipse mit grosser Halbachse a displaystyle a nbsp und kleiner Halbachse b displaystyle b nbsp wird durch a cos t b sin t displaystyle a cos t b sin t nbsp fur t 0 2 p displaystyle t in 0 2 pi nbsp parametrisiert Ihr Umfang ist also 0 2 p a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t d t 4 a 0 p 2 1 e 2 cos 2 t d t displaystyle int limits 0 2 pi sqrt a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t mathrm d t 4a int limits 0 frac pi 2 sqrt 1 varepsilon 2 cos 2 t mathrm d t nbsp dd Dabei bezeichnet e displaystyle varepsilon nbsp die numerische Exzentrizitat 1 b 2 a 2 displaystyle sqrt 1 b 2 a 2 nbsp der Ellipse Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet Wegunabhangigkeit BearbeitenIst ein Vektorfeld F displaystyle mathbf F nbsp ein Gradientenfeld d h F displaystyle mathbf F nbsp ist der Gradient eines skalaren Feldes V displaystyle V nbsp mit V F displaystyle mathbf nabla V mathbf F nbsp so gilt fur die Ableitung der Verkettung von V displaystyle V nbsp und r t displaystyle mathbf r t nbsp d d t V r t V r t r t F r t r t displaystyle frac mathrm d mathrm d t V mathbf r t mathbf nabla V mathbf r t cdot dot mathbf r t mathbf F mathbf r t cdot dot mathbf r t nbsp was gerade dem Integranden des Wegintegrals uber F displaystyle mathbf F nbsp auf r t displaystyle mathbf r t nbsp entspricht Daraus folgt fur eine gegebene Kurve S displaystyle mathcal S nbsp S F x d x a b F r t r t d t a b d d t V r t d t V r b V r a displaystyle int limits mathcal S mathbf F mathbf x cdot mathrm d mathbf x int limits a b mathbf F mathbf r t cdot dot mathbf r t mathrm d t int limits a b frac mathrm d mathrm d t V mathbf r t mathrm d t V mathbf r b V mathbf r a nbsp nbsp Zwei beliebige Kurven S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp und S 2 displaystyle mathcal S 2 nbsp in einem GradientenfeldDies bedeutet dass das Integral von F displaystyle mathbf F nbsp uber S displaystyle mathcal S nbsp ausschliesslich von den Punkten r b displaystyle mathbf r b nbsp und r a displaystyle mathbf r a nbsp abhangt und der Weg dazwischen irrelevant fur das Ergebnis ist Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als wegunabhangig bezeichnet Insbesondere gilt fur das Ringintegral uber die geschlossene Kurve S displaystyle mathcal S nbsp mit zwei beliebigen Wegen S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp und S 2 displaystyle mathcal S 2 nbsp S F x d x 1 S 1 2 F x d x 2 S 2 1 F x d x 0 displaystyle oint limits mathcal S mathbf F mathbf x mathrm d mathbf x int limits 1 mathcal S 1 2 mathbf F mathbf x mathrm d mathbf x int limits 2 mathcal S 2 1 mathbf F mathbf x mathrm d mathbf x 0 nbsp Dies ist insbesondere in der Physik von grosser Bedeutung da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgrosse ist werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet Das skalare Feld V displaystyle V nbsp ist dabei das Potential oder die potentielle Energie Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie d i die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie Gemass dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht Wegunabhangigkeit lasst sich auch mit Hilfe der Integrabilitatsbedingung zeigen nbsp Die Kurve g displaystyle gamma nbsp umlauft das Zentrum z 0 displaystyle z 0 nbsp zweimalIst das Vektorfeld nur in einer kleinen Umgebung U displaystyle U nbsp eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven ausserhalb von U displaystyle U nbsp proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhangig vom genauen Verlauf der Kurve siehe Algebraische Topologie Methodik Komplexe Wegintegrale BearbeitenIst f a b C displaystyle f colon a b to mathbb C nbsp eine komplexwertige Funktion dann nennt man f displaystyle f nbsp integrierbar wenn Re f displaystyle operatorname Re f nbsp und Im f displaystyle operatorname Im f nbsp integrierbar sind Man definiert a b f x d x a b Re f x d x i a b Im f x d x displaystyle int limits a b f x mathrm d x int limits a b operatorname Re f x mathrm d x mathrm i int limits a b operatorname Im f x mathrm d x nbsp Das Integral ist damit C displaystyle mathbb C nbsp linear Ist f displaystyle f nbsp im Intervall a b displaystyle a b nbsp stetig und F displaystyle F nbsp eine Stammfunktion von f displaystyle f nbsp so gilt wie im Reellen a b f x d x F b F a displaystyle int limits a b f x mathrm d x F b F a nbsp Der Integralbegriff wird nun auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert Ist f U C displaystyle f colon U to mathbb C nbsp eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet U C displaystyle U subseteq mathbb C nbsp und ist g 0 1 U displaystyle gamma colon 0 1 to U nbsp ein stuckweise stetig differenzierbarer Weg in U displaystyle U nbsp so ist das Wegintegral von f displaystyle f nbsp entlang des Weges g displaystyle gamma nbsp definiert als g f g f z d z 0 1 f g t g t d t displaystyle int limits gamma f int limits gamma f z mathrm d z int limits 0 1 f gamma t cdot dot gamma t mathrm d t nbsp Der Malpunkt bezeichnet hier komplexe Multiplikation Die zentrale Aussage uber Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz Fur eine holomorphe Funktion f displaystyle f nbsp hangt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von g displaystyle gamma nbsp ab Ist U displaystyle U nbsp einfach zusammenhangend so hangt das Integral also uberhaupt nicht von g displaystyle gamma nbsp sondern nur von Anfangs und Endpunkt ab Analog zum reellen Fall definiert man die Lange des Weges g displaystyle gamma nbsp durch L g 0 1 g t d t displaystyle operatorname L gamma int limits 0 1 left dot gamma t right mathrm d t nbsp Fur theoretische Zwecke ist folgende Ungleichung die Standardabschatzung von besonderem Interesse g f z d z L g C displaystyle left int gamma f z mathrm d z right leq operatorname L gamma cdot C nbsp wenn f z C displaystyle left f z right leq C nbsp fur alle z g 0 1 displaystyle z in gamma 0 1 nbsp gilt Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhangig von der Parametrisierung des Weges g displaystyle gamma nbsp d h es ist nicht zwingend notwendig 0 1 displaystyle 0 1 nbsp als Parameterbereich zu wahlen wie sich durch Substitution zeigen lasst Dies erlaubt die Definition komplexer Kurvenintegrale indem man den obigen Formeln den Weg g displaystyle gamma nbsp durch eine Kurve C displaystyle mathcal C nbsp in C displaystyle mathbb C nbsp ersetzt Siehe dagegen BearbeitenPfadintegralLiteratur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 2 1981 5 Auflage Teubner 1990 ISBN 3 519 42222 0 S 369 Satz 180 1 S 391 Satz 184 1 S 393 Satz 185 1 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Kurvenintegral Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Kurvenintegrale bei Matroids MatheplanetEinzelnachweise Bearbeiten Klaus Knothe Heribert Wessels Finite Elemente Eine Einfuhrung fur Ingenieure 3 Auflage 1999 ISBN 3 540 64491 1 S 524 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kurvenintegral amp oldid 234440535
