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Geometrische Maßtheorie Die ist das Studium geometrischer Eigenschaften durch die Maßtheorie Sie liegt zwischen der Diff

Geometrische Maßtheorie

Die Geometrische Maßtheorie ist das Studium geometrischer Eigenschaften durch die Maßtheorie. Sie liegt zwischen der Differentialgeometrie und der Topologie und liefert allgemeinere Ansätze als die Differentialgeometrie, da auch Flächen und Abbildungen mit Singularitäten betrachtet werden. Sie ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Variationsrechnung.

Klassische Anwendungsprobleme sind Minimalflächen mit Singularitäten und nichtlineare partielle Differentialgleichungen mit Singularitäten.

Geschichte Bearbeiten

Eines der ältesten Probleme der geometrischen Maßtheorie ist der Beweis der Existenz einer Minimalfläche, wobei eine Randbedingungen vorgegeben ist. Dieses Problem nennt man Plateau-Problem.

Zu den ersten Arbeiten auf dem Gebiet der geometrischen Maßtheorie gehören die Resultate von Abram Besikowitsch.

In den 1950–1960er Jahren erschienen fundamentale Resultate von Mathematikern wie Ennio De Giorgi, Ernst Robert Reifenberg, Herbert Federer und Wendell Fleming. Der Begriff des Stroms stammt von Georges de Rham.

Als einer der Meilensteine gilt die Arbeit Normal and Integral Currents von Federer und Fleming.

Maße Bearbeiten

Grundlegende Begriffe sind das -dimensionale Hausdorff-Maß und das -dimensionale sphärische Maß .

Hausdorff-Maß und sphärisches Maß Bearbeiten

Radon-Maß Bearbeiten

Dichte eines Maßes Bearbeiten

Sei das -dimensionale Volumen der Einheitskugel im euklidischen Raum

Sei ein Maß auf , ein fixer Punkt und .

  • Die obere -dimensionale Dichte von in ist definiert als
  • Die untere -dimensionale Dichte von in ist definiert als
  • Wenn , dann spricht man von der -dimensionalen Dichte von in .

bezeichnet die abgeschlossene Kugel um mit Radius .

Caccioppoli-Mengen Bearbeiten

Definition (Caccioppoli) Bearbeiten

Sei Lebesgue-messbare Menge in . ist eine Caccioppoli-Menge oder eine Menge mit (lokalem) endlichem Perimeter in falls für jede kompakte Menge gilt

Die Menge ist nach Renato Caccioppoli benannt.

Rektifizierbarkeit Bearbeiten

Zentrale Objekte sind die rektifizierbaren Mengen, mit denen sich der approximative Tangentialraum definieren lässt.

Rektifizierbare Menge Bearbeiten

Approximativer Tangentialraum Bearbeiten

Ströme und Varifaltigkeiten Bearbeiten

Strom Bearbeiten

Sei und mit bezeichne den topologischen Dualraum von . Dann ist ein -dimensionaler Strom auf .

Erläuterungen Bearbeiten

Ein Strom ist somit ein stetiges, lineares Funktional auf dem Raum der -Formen auf mit kompaktem Träger. ist der Vektorraum aller -Ströme auf .

Wichtige Klassen von Strömen sind normale Ströme (Ströme mit endlicher Masse) und Integral-Ströme.

Varifaltigkeit Bearbeiten

Eine Varifaltigkeit ist eine unorientierte Verallgemeinerung der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, die auch Singularitäten besitzen kann. Sei eine offene Teilmenge von und die Graßmann-Mannigfaltigkeit, wobei und . Im allgemeinsten Fall wird die Varifaltigkeit als Radonmaß auf dem kartesischen Produkt

definiert.

Hilfsmittel Bearbeiten

Überdeckungssätze Bearbeiten

Zentrale Sätze sind der Überdeckungssatz von Vitali und der Überdeckungssatz von Besikowitsch.

Überdeckungssatz von Besikowitsch Bearbeiten

Seien und eine Familie von abgeschlossenen, nicht-degenerierten Kugeln in und entweder sei die Menge der Mittelpunkte der Kugeln in beschränkt oder . Dann existieren eine positive Konstante und Teilfamilien , so dass

  • jedes disjunkt und höchstens abzählbar ist und
  • .

Flächen- und Koflächenformel Bearbeiten

Sei eine Lipschitz-Funktion, und mit bezeichnen wir das Lebesgue-Maß und mit bezeichnen wir die -dimensionale Jacobi-Determinante von , die nachfolgend definiert wird.

Verallgemeinerte Jacobi-Determinante Bearbeiten

Falls , dann

Falls , dann

Falls , dann

Flächenformel Bearbeiten

Falls , dann gilt

für jede Lebesgue-messbare Menge .

Koflächenformel Bearbeiten

Falls , dann gilt

für jede Lebesgue-messbare Menge .

Ungleichungen Bearbeiten

Poincaré-Ungleichungen Bearbeiten

Isoperimetrische Ungleichung Bearbeiten

Sobolev-Ungleichung Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0.
  • Francesco Maggi: Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems - An Introduction to Geometric Measure Theory. Hrsg.: Cambridge University Press.
  • Frank Morgan: Geometric Measure Theory - A Beginner's Guide. Hrsg.: Academic Press. ISBN 978-0-12-804489-6.
  • Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Hrsg.: Springer Verlag. 1969.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Herbert Federer, Wendell H. Fleming: Normal and integral currents. In: Annals of Mathematics, 2nd Series, Bd. 72. Nr. 3, 1960, S. 458–520.
  2. Francesco Maggi: Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems - An Introduction to Geometric Measure Theory. Hrsg.: Cambridge University Press.
  3. Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, S. 125, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0.
  4. Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, S. 121, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0.
  5. Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, S. 135, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Geometrische Masstheorie ist das Studium geometrischer Eigenschaften durch die Masstheorie Sie liegt zwischen der Differentialgeometrie und der Topologie und liefert allgemeinere Ansatze als die Differentialgeometrie da auch Flachen und Abbildungen mit Singularitaten betrachtet werden Sie ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Variationsrechnung Klassische Anwendungsprobleme sind Minimalflachen mit Singularitaten und nichtlineare partielle Differentialgleichungen mit Singularitaten Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Masse 2 1 Hausdorff Mass und spharisches Mass 2 2 Radon Mass 2 3 Dichte eines Masses 3 Caccioppoli Mengen 3 1 Definition Caccioppoli 4 Rektifizierbarkeit 4 1 Rektifizierbare Menge 4 2 Approximativer Tangentialraum 5 Strome und Varifaltigkeiten 5 1 Strom 5 1 1 Erlauterungen 5 2 Varifaltigkeit 6 Hilfsmittel 6 1 Uberdeckungssatze 6 1 1 Uberdeckungssatz von Besikowitsch 6 2 Flachen und Koflachenformel 6 2 1 Verallgemeinerte Jacobi Determinante 6 2 2 Flachenformel 6 2 3 Koflachenformel 6 3 Ungleichungen 6 3 1 Poincare Ungleichungen 6 3 2 Isoperimetrische Ungleichung 6 3 3 Sobolev Ungleichung 7 Literatur 8 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenEines der altesten Probleme der geometrischen Masstheorie ist der Beweis der Existenz einer Minimalflache wobei eine Randbedingungen vorgegeben ist Dieses Problem nennt man Plateau Problem Zu den ersten Arbeiten auf dem Gebiet der geometrischen Masstheorie gehoren die Resultate von Abram Besikowitsch In den 1950 1960er Jahren erschienen fundamentale Resultate von Mathematikern wie Ennio De Giorgi Ernst Robert Reifenberg Herbert Federer und Wendell Fleming Der Begriff des Stroms stammt von Georges de Rham Als einer der Meilensteine gilt die Arbeit Normal and Integral Currents 1 von Federer und Fleming Masse BearbeitenGrundlegende Begriffe sind das m displaystyle m nbsp dimensionale Hausdorff Mass H m displaystyle mathcal H m nbsp und das m displaystyle m nbsp dimensionale spharische Mass S m displaystyle mathcal S m nbsp Hausdorff Mass und spharisches Mass Bearbeiten Hauptartikel Hausdorff Mass Radon Mass Bearbeiten Hauptartikel Radonmass Dichte eines Masses Bearbeiten Sei W m displaystyle Omega m nbsp das m displaystyle m nbsp dimensionale Volumen der Einheitskugel im euklidischen Raum W m 2 p m 2 m G m 2 G 1 2 m G m 2 1 displaystyle Omega m frac 2 pi m 2 m Gamma m 2 frac Gamma 1 2 m Gamma m 2 1 nbsp Sei m displaystyle mu nbsp ein Mass auf R n displaystyle mathbb R n nbsp p R n displaystyle p in mathbb R n nbsp ein fixer Punkt und 0 m lt displaystyle 0 leq m lt infty nbsp Die obere m displaystyle m nbsp dimensionale Dichte von m displaystyle mu nbsp in p displaystyle p nbsp ist definiert als8 m m p lim sup r 0 m B r p W m r m displaystyle Theta m mu p limsup limits r downarrow 0 frac mu left bar B r p right Omega m r m nbsp dd Die untere m displaystyle m nbsp dimensionale Dichte von m displaystyle mu nbsp in p displaystyle p nbsp ist 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operatorname supp T subset K sup limits mathbb R n T leq 1 right lt infty nbsp Die Menge ist nach Renato Caccioppoli benannt Rektifizierbarkeit BearbeitenZentrale Objekte sind die rektifizierbaren Mengen mit denen sich der approximative Tangentialraum definieren lasst Rektifizierbare Menge Bearbeiten Hauptartikel Rektifizierbare Menge Approximativer Tangentialraum Bearbeiten Hauptartikel Rektifizierbare Menge Approximativer TangentialraumStrome und Varifaltigkeiten BearbeitenStrom Bearbeiten Hauptartikel Strom Mathematik Sei U R n displaystyle U subseteq mathbb R n nbsp und mit D m U displaystyle mathcal D m U nbsp bezeichne den topologischen Dualraum von D m U C c U m R n displaystyle mathcal D m U C c infty left U wedge m mathbb R n right nbsp Dann ist T D m U displaystyle T in mathcal D m U nbsp ein m displaystyle m nbsp dimensionaler Strom auf U displaystyle U nbsp Erlauterungen Bearbeiten Ein Strom ist somit ein stetiges lineares Funktional auf dem Raum der m displaystyle m nbsp Formen auf U displaystyle U nbsp mit kompaktem Trager D m U displaystyle mathcal D m U nbsp ist der Vektorraum aller m displaystyle m nbsp Strome auf U displaystyle U nbsp Wichtige Klassen von Stromen sind normale Strome Strome mit endlicher Masse und Integral Strome Varifaltigkeit Bearbeiten Hauptartikel Varifaltigkeit Eine Varifaltigkeit ist eine unorientierte Verallgemeinerung der differenzierbaren Mannigfaltigkeit die auch Singularitaten besitzen kann Sei W displaystyle Omega nbsp eine offene Teilmenge von R n displaystyle mathbb R n nbsp und G r n displaystyle G r n nbsp die Grassmann Mannigfaltigkeit wobei n r Z displaystyle n r in mathbb Z nbsp und 0 r n displaystyle 0 leq r leq n nbsp Im allgemeinsten Fall wird die Varifaltigkeit als Radonmass auf dem kartesischen Produkt G r W W G r n displaystyle G r Omega Omega times G r n nbsp definiert Hilfsmittel BearbeitenUberdeckungssatze Bearbeiten Zentrale Satze sind der Uberdeckungssatz von Vitali und der Uberdeckungssatz von Besikowitsch Uberdeckungssatz von Besikowitsch Bearbeiten Seien n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und B displaystyle mathcal B nbsp eine Familie von abgeschlossenen nicht degenerierten Kugeln in R n displaystyle mathbb R n nbsp und entweder sei die Menge C displaystyle C nbsp der Mittelpunkte der Kugeln in B displaystyle mathcal B nbsp beschrankt oder sup diam B B B lt displaystyle sup left operatorname diam B B in mathcal B right lt infty nbsp Dann existieren eine positive Konstante K n displaystyle K n nbsp und Teilfamilien B 1 B K n displaystyle mathcal B 1 ldots mathcal B K n nbsp so dass jedes B i displaystyle mathcal B i nbsp disjunkt und hochstens abzahlbar ist und C i 1 K n B B i B displaystyle C subset bigcup i 1 K n bigcup limits B in mathcal B i B nbsp Flachen und Koflachenformel Bearbeiten Sei f R m R n displaystyle f mathbb R m to mathbb R n nbsp eine Lipschitz Funktion und mit L m displaystyle mathcal L m nbsp bezeichnen wir das Lebesgue Mass und mit J m f displaystyle J m f 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nbsp dann gilt A J n f x d L m x R n H m n A f 1 y d L n y displaystyle int A J n f x mathrm d mathcal L m x int mathbb R n mathcal H m n left A cap f 1 y right mathrm d mathcal L n y nbsp fur jede Lebesgue messbare Menge A R m displaystyle A subseteq mathbb R m nbsp 5 Ungleichungen Bearbeiten Poincare Ungleichungen Bearbeiten Hauptartikel Poincare Ungleichung Isoperimetrische Ungleichung Bearbeiten Hauptartikel Isoperimetrische Ungleichung Sobolev Ungleichung BearbeitenLiteratur BearbeitenSteven G Krantz Harold R Parks Geometric Integration Theory Hrsg Birkhauser ISBN 978 0 8176 4676 9 doi 10 1007 978 0 8176 4679 0 Francesco Maggi Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems An Introduction to Geometric Measure Theory Hrsg Cambridge University Press Frank Morgan Geometric Measure Theory A Beginner s Guide Hrsg Academic Press ISBN 978 0 12 804489 6 Herbert Federer Geometric Measure Theory Hrsg Springer Verlag 1969 Einzelnachweise Bearbeiten Herbert Federer Wendell H Fleming Normal and integral currents In Annals of Mathematics 2nd Series Bd 72 Nr 3 1960 S 458 520 Francesco Maggi Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems An Introduction to Geometric Measure Theory Hrsg Cambridge University Press Steven G Krantz Harold R Parks Geometric Integration Theory Hrsg Birkhauser ISBN 978 0 8176 4676 9 S 125 doi 10 1007 978 0 8176 4679 0 Steven G Krantz Harold R Parks Geometric Integration Theory Hrsg Birkhauser ISBN 978 0 8176 4676 9 S 121 doi 10 1007 978 0 8176 4679 0 Steven G Krantz Harold R Parks Geometric Integration Theory Hrsg Birkhauser ISBN 978 0 8176 4676 9 S 135 doi 10 1007 978 0 8176 4679 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Geometrische Masstheorie amp oldid 235280782