Die Rektifizierbare Menge ist ein zentraler Begriff aus der geometrischen Masstheorie Eine solche Menge hat stuckweise glatte Eigenschaften und teilt somit fast uberall Eigenschaften einer differenzierbarer Mannigfaltigkeit Insbesondere sind diese Mengen von Bedeutung weil sie einen approximativen Tangentialraum induzieren 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Aquivalente Definition 2 Approximativer Tangentialraum 2 1 Erlauterungen 3 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSeien m n N displaystyle m n in mathbb N nbsp mit m n displaystyle m leq n nbsp Eine Menge S R n displaystyle S subseteq mathbb R n nbsp heisst abzahlbar m displaystyle m nbsp rektifizierbar falls Folgendes gilt Es existieren eine Menge S 0 R n displaystyle S 0 subset mathbb R n nbsp mit H m S 0 0 displaystyle mathcal H m S 0 0 nbsp und eine Familie F j R m R n j N displaystyle F j colon mathbb R m to mathbb R n j in mathbb N nbsp von Lipschitz Funktionen sodass gilt S S 0 j 1 F j R m displaystyle S subseteq S 0 cup bigcup j 1 infty F j mathbb R m nbsp dabei bezeichnet H m displaystyle mathcal H m nbsp das m displaystyle m nbsp dimensionale Hausdorff Mass auf R m displaystyle mathbb R m nbsp Aquivalente Definition Bearbeiten Da sich fur eine Teilmenge S j R m displaystyle S j subset mathbb R m nbsp eine Lipschitz Funktion f S j R n displaystyle f colon S j to mathbb R n nbsp zu einer Lipschitz Funktion F R m R n displaystyle F colon mathbb R m to mathbb R n nbsp fortsetzen lasst wobei fur die Lipschitz Konstanten C F r C f displaystyle C F rC f nbsp mit einer Konstante r displaystyle r nbsp gilt lasst sich der Begriff auch mit folgenden gleichwertigen Bedingungen formulieren Es existieren eine Menge S 0 R n displaystyle S 0 subset mathbb R n nbsp mit H m S 0 0 displaystyle mathcal H m S 0 0 nbsp eine Familie S j j N displaystyle S j j in mathbb N nbsp von Teilmengen des R m displaystyle mathbb R m nbsp und eine Familie F j S j R n j N displaystyle F j colon S j to mathbb R n j in mathbb N nbsp von Lipschitz Funktionen sodass gilt S S 0 j 1 F j S j displaystyle S S 0 cup bigcup j 1 infty F j S j nbsp Approximativer Tangentialraum BearbeitenSei S R n displaystyle S subseteq mathbb R n nbsp von Hausdorff Dimension m displaystyle m nbsp und H m displaystyle mathcal H m nbsp messbar mit H m S K lt displaystyle mathcal H m S cap K lt infty nbsp fur jede kompakte Menge K R n displaystyle K subseteq mathbb R n nbsp Dann nennt man einen m displaystyle m nbsp dimensionalen linearen Unterraum L displaystyle L nbsp von R n displaystyle mathbb R n nbsp den H m displaystyle mathcal H m nbsp approximativen Tangentialraum von S displaystyle S nbsp in x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp genau dann wenn lim l 0 l 1 S x f y d H m y L f y d H m y displaystyle lim limits lambda to 0 int lambda 1 S x f y mathrm d mathcal H m y int L f y mathrm d mathcal H m y nbsp fur alle f C c R n displaystyle f in C c mathbb R n nbsp Dieser existiert genau dann fur H m displaystyle mathcal H m nbsp fast jedes x S displaystyle x in S nbsp wenn S displaystyle S nbsp abzahlbar m displaystyle m nbsp rektifizierbar ist Erlauterungen Bearbeiten Es gilt y l 1 S x displaystyle y in lambda 1 S x nbsp genau dann wenn l y x S displaystyle lambda y x in S nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Steven G Krantz Harold R Parks Geometric Integration Theory Springer Verlag 2008 ISBN 978 0 8176 4679 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rektifizierbare Menge amp oldid 228595515
