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überdeckungssatz von Vitali Der ist ein Satz der Maßtheorie eines Teilgebiets der Mathematik das sich mit der Verallgeme

Überdeckungssatz von Vitali

Der Überdeckungssatz von Vitali ist ein Satz der Maßtheorie, eines Teilgebiets der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Längen-, Flächen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Der Satz ist ein Hilfsmittel für den Beweis, dass für das Lebesgue-Stieltjes-Maß die Radon-Nikodým-Ableitung (bezüglich des Borel-Maßes) und die gewöhnliche Ableitung übereinstimmen. Der Satz ist nach Giuseppe Vitali benannt, der ihn 1908 bewies.

Rahmenbedingungen Bearbeiten

Es bezeichnen das Lebesgue-Maß und das äußere Lebesgue-Maß, also das äußere Maß, das von dem Lebesgueschen Prämaß erzeugt wird. Eine Mengenfamilie von offenen, abgeschlossenen oder halboffenen Intervallen mit heißt eine Vitali-Überdeckung einer (nicht notwendigerweise messbaren) Menge , wenn für alle und alle ein existiert, so dass und .

Aussage Bearbeiten

Ist für eine beliebige Menge mit eine Vitali-Überdeckung gegeben, so gibt es für jedes eine endliche Anzahl von disjunkten Intervallen in , so dass

gilt.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Uberdeckungssatz von Vitali ist ein Satz der Masstheorie eines Teilgebiets der Mathematik das sich mit der Verallgemeinerung von Langen Flachen und Volumenbegriffen beschaftigt Der Satz ist ein Hilfsmittel fur den Beweis dass fur das Lebesgue Stieltjes Mass die Radon Nikodym Ableitung bezuglich des Borel Masses und die gewohnliche Ableitung ubereinstimmen Der Satz ist nach Giuseppe Vitali benannt der ihn 1908 bewies Inhaltsverzeichnis 1 Rahmenbedingungen 2 Aussage 3 Weblinks 4 LiteraturRahmenbedingungen BearbeitenEs bezeichnen l displaystyle lambda nbsp das Lebesgue Mass und h displaystyle eta nbsp das aussere Lebesgue Mass also das aussere Mass das von dem Lebesgueschen Pramass erzeugt wird Eine Mengenfamilie V displaystyle mathcal V nbsp von offenen abgeschlossenen oder halboffenen Intervallen I displaystyle I nbsp mit l I gt 0 displaystyle lambda I gt 0 nbsp heisst eine Vitali Uberdeckung einer nicht notwendigerweise messbaren Menge A R displaystyle A subset mathbb R nbsp wenn fur alle x A displaystyle x in A nbsp und alle e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein I V displaystyle I in mathcal V nbsp existiert so dass x I displaystyle x in I nbsp und l I lt e displaystyle lambda I lt varepsilon nbsp Aussage BearbeitenIst fur eine beliebige Menge A R displaystyle A subset mathbb R nbsp mit h A lt displaystyle eta A lt infty nbsp eine Vitali Uberdeckung V displaystyle mathcal V nbsp gegeben so gibt es fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp eine endliche Anzahl von disjunkten Intervallen I1 I2 In displaystyle I 1 I 2 dots I n nbsp in V displaystyle mathcal V nbsp so dass h A i 1nIn lt e displaystyle eta left A setminus bigcup i 1 n I n right lt varepsilon nbsp gilt Weblinks BearbeitenI A Vinogradova Vitali theorem In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Uberdeckungssatz von Vitali amp oldid 159968073