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Fabri Picasso Theorem Das nach Elio Fabri und Luigi Ettore Picasso ist ein Theorem aus der Quantenfeldtheorie Es besagt

Fabri-Picasso-Theorem

Das Fabri-Picasso-Theorem, nach Elio Fabri und Luigi Ettore Picasso, ist ein Theorem aus der Quantenfeldtheorie. Es besagt, dass die Operatornorm des Ladungsoperators unendlich ist, wenn die zugrundeliegende Symmetriegruppe explizit oder spontan gebrochen wird. Daraus folgt, dass der Ladungsoperator nicht als Operator auf den Zustandsraum angesehen und entsprechend keine Ladung als Eigenwert eines Zustandes definiert werden kann. In diesem Sinn gehört das Fabri-Picasso-Theorem zu den no-go-Theoremen der Quantenfeldtheorie.

Eine Folge des Fabri-Picasso-Theorems ist, dass im Standardmodell aufgrund der spontanen Symmetriebrechung bei der elektroschwachen Wechselwirkung (im Rahmen des Higgs-Mechanismus) eine elektrische Ladung für die elektromagnetische Wechselwirkung existiert, aber keine analoge Ladung für die schwache Wechselwirkung.

Beweis Bearbeiten

Angenommen, es existiert ein hermitescher Ladungsoperator , der auf dem Zustandsraum operiert. Angewandt auf den Zustand des Quantenvakuums gilt aufgrund der Translationsinvarianz des Vakuums und der Tatsache, dass der Ladungsoperator mit dem Impulsoperator vertauscht:

Der Integrand ist in der letzten Form manifest ortsunabhängig; für ein finites Resultat muss also gelten. Exakt dies ist nur für ungebrochene Symmetrien der Fall.

Anwendung auf das Standardmodell Bearbeiten

Der Higgs-Mechanismus führt zu einem Vakuumerwartungswert ungleich Null, so dass

ist ( hat die Dimension einer Energie: ).

Die Generatoren der durch den Higgs-Mechanismus gebrochenen -Symmetriegruppe sind

Es existiert genau eine nichttriviale Linearkombination, die das Vakuum annihiliert:

Aus den Definitionen des schwachen Isospins als Ladung der und der schwachen Hyperladung als Ladung der folgt, dass nach der Symmetriebrechung genau eine valide Ladung übrig bleibt – die elektrische Ladung:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ian J. R. Aitchison und Anthony J. G. Hey: Gauge Theories in Particle Physics, Volume 2: Non-Abelian Gauge Theories: QCD and the Electroweak Theory. 3. Auflage. Institute of Physics Publishing, Bristol, Philadelphia 2004, ISBN 0-7503-0950-4 (englisch).
  • Elio Fabri und Luigi Ettore Picasso: Quantum Field Theory and Approximate Symmetries. In: Phys. Rev. Lett. Band 16, Nr. 10, 1966, S. 408–410 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Das Fabri Picasso Theorem nach Elio Fabri und Luigi Ettore Picasso ist ein Theorem aus der Quantenfeldtheorie Es besagt dass die Operatornorm des Ladungsoperators unendlich ist wenn die zugrundeliegende Symmetriegruppe explizit oder spontan gebrochen wird Daraus folgt dass der Ladungsoperator nicht als Operator auf den Zustandsraum angesehen und entsprechend keine Ladung als Eigenwert eines Zustandes definiert werden kann In diesem Sinn gehort das Fabri Picasso Theorem zu den no go Theoremen der Quantenfeldtheorie Eine Folge des Fabri Picasso Theorems ist dass im Standardmodell aufgrund der spontanen Symmetriebrechung bei der elektroschwachen Wechselwirkung im Rahmen des Higgs Mechanismus eine elektrische Ladung fur die elektromagnetische Wechselwirkung existiert aber keine analoge Ladung fur die schwache Wechselwirkung Inhaltsverzeichnis 1 Beweis 2 Anwendung auf das Standardmodell 3 Siehe auch 4 LiteraturBeweis BearbeitenAngenommen es existiert ein hermitescher Ladungsoperator Q displaystyle hat Q nbsp der auf dem Zustandsraum operiert Angewandt auf den Zustand des Quantenvakuums W displaystyle Omega rangle nbsp gilt aufgrund der Translationsinvarianz des Vakuums und der Tatsache dass der Ladungsoperator mit dem Impulsoperator P displaystyle hat P nbsp vertauscht W Q Q W d 3 x W j 0 x Q W d 3 x W e i P x j 0 0 Q e i P x W d 3 x W j 0 0 Q W displaystyle langle Omega hat Q hat Q Omega rangle int mathrm d 3 x langle Omega j 0 x hat Q Omega rangle int mathrm d 3 x langle Omega e mathrm i hat P cdot x j 0 0 hat Q e mathrm i hat P cdot x Omega rangle int mathrm d 3 x langle Omega j 0 0 hat Q Omega rangle nbsp Der Integrand ist in der letzten Form manifest ortsunabhangig fur ein finites Resultat muss also Q W 0 displaystyle hat Q Omega rangle 0 nbsp gelten Exakt dies ist nur fur ungebrochene Symmetrien der Fall Anwendung auf das Standardmodell BearbeitenDer Higgs Mechanismus fuhrt zu einem Vakuumerwartungswert ungleich Null so dass W 1 2 0 v displaystyle Omega rangle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 0 v end pmatrix nbsp ist v displaystyle v nbsp hat die Dimension einer Energie v 246 GeV displaystyle v approx 246 text GeV nbsp Die Generatoren der durch den Higgs Mechanismus gebrochenen S U 2 L U 1 Y displaystyle SU 2 L otimes U 1 Y nbsp Symmetriegruppe sind die drei Pauli Matrizen s 1 s 2 s 3 displaystyle sigma 1 sigma 2 sigma 3 nbsp fur die S U 2 L displaystyle SU 2 L nbsp die Einheitsmatrix I displaystyle I nbsp fur die U 1 Y displaystyle U 1 Y nbsp Es existiert genau eine nichttriviale Linearkombination die das Vakuum annihiliert 1 2 s 3 1 2 I 2 W 0 displaystyle tfrac 1 2 sigma 3 tfrac 1 2 I 2 Omega rangle 0 nbsp Aus den Definitionen des schwachen Isospins T displaystyle T nbsp als Ladung der S U 2 L displaystyle SU 2 L nbsp und der schwachen Hyperladung Y W displaystyle Y W nbsp als Ladung der U 1 Y displaystyle U 1 Y nbsp folgt dass nach der Symmetriebrechung genau eine valide Ladung ubrig bleibt die elektrische Ladung Q T 3 1 2 Y W displaystyle Q T 3 tfrac 1 2 Y W nbsp Siehe auch BearbeitenSchwache LadungLiteratur BearbeitenIan J R Aitchison und Anthony J G Hey Gauge Theories in Particle Physics Volume 2 Non Abelian Gauge Theories QCD and the Electroweak Theory 3 Auflage Institute of Physics Publishing Bristol Philadelphia 2004 ISBN 0 7503 0950 4 englisch Elio Fabri und Luigi Ettore Picasso Quantum Field Theory and Approximate Symmetries In Phys Rev Lett Band 16 Nr 10 1966 S 408 410 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fabri Picasso Theorem amp oldid 211556059